Główna zawartość

Kurs: Fizyka > Rozdział 1

Lekcja 4: Wzory kinematyczne i ruch pocisku

Czym są wzory kinematyczne?

Przedstawiamy najważniejsze równania, którymi posłużysz się, by analizować ruch ze stałym przyspieszeniem.

Czym są wzory kinematyczne?

Wzory kinematyczne to zestaw równań, które odnoszą się kinematyki, to znaczy do sytuacji, a której badamy ruch, ale nie zastanawiamy się nad jego przyczyną. Wzory kinematyczne wiążą ze sobą pięć podanych poniżej wielkości fizycznych:

Δ x Przemieszczenie

t Przedział czasu

v_{0} Prędkość początkowa

v Prędkość końcowa

a Stałe przyśpieszenie

W tych równaniach,

t

przedstawia przedział czasu w którym obiekt wykonał przemieszczenie

Δ x

. Prawdopodobnie, bardziej zrozumiałe byłoby zapisanie przedziału czasu jako

Δ t

, ale równania kinematyczne są już wystarczająco zabazgrane, dlatego ludzie zazwyczaj pomijają znak

Δ

, przed czasem

t

, ze względu na przejrzystość równania.

Musimy tylko upewnić się że wiemy o tym, że zapisując

t

, tak naprawdę mamy na myśli przedział czasu

Δ t

Jeśli mamy dane trzy z tych pięciu zmiennych kinematycznych -

Δ x, t, v_{0}, v, a

- dla obiektu ze stałym przyśpieszeniem, możemy wykorzystać wzory (pokazane poniżej), żeby obliczyć jedną szukaną zmienną.

Wzory kinematyczne, często są zapisywane jako następujące cztery równania.

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Ponieważ równania kinematyczne mają zastosowanie tylko wtedy, gdy przyśpieszenie jest stałe w rozpatrywanym przedziale czasu, musimy uważać żeby nie stosować ich kiedy przyśpieszenie się zmienia. Równania kinematyczne, zakładają również że wszystkie zmienne odnoszą się do tego samego kierunku i zwrotu: poziomy

x

, pionowy

y

, etc.

Jeśli do równania kinematycznego podstawisz prędkość początkową

v_{0 x}

, której kierunek i zwrot jest wzdłuż w osi poziomej, pozostałe zmienne które podstawiasz do tego równania -

Δ x, v_{x}, a_{x}

- również powinny mieć kierunek i zwrot osi poziomej.

Jeśli do równania kinematycznego podstawisz prędkość początkową

v_{0 y}

, w kierunku osi pionowej, pozostałe zmienne które podstawiasz do tego równania

(Δ y, v_{y}, a_{y})

, również powinny mieć kierunek osi pionowej.

Innymi słowy, żeby wszystko było jasne - równania kinematyczne dla danego kierunku (np.

x

), powinny tak naprawdę być zapisane z indeksem, żeby oznaczyć kierunek, jak pokazano poniżej.

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

\frac{v_{x} + v_{0 x}}{2} = \frac{Δ x}{t}

Jednakże, uwzględnianie wszystkich tych indeksów może spowodować bałagan. Dlatego podręczniki, programy i nauczyciele często pomijają indeksy, pamiętając tylko o tym, że równania kinematyczne będą działały dla dowolnego kierunku (nawet po skosie), w którym przyśpieszenie ma stałą wartość, pod warunkiem, że uwzględniasz zmienne tylko w tym konkretnym kierunku.

Czym jest spadek swobodny (np. pocisku) ?

Mogłoby się wydawać, że skoro wzory kinematyczne dotyczą tylko ruchu ze stałym przyspieszeniem, ich użycie jest mocno ograniczone. Okazuje się jednak, że jedna z najbardziej powszechnych form ruchu, spadek swobodny, powodowana jest właśnie przez stałe przyspieszenie.

Wszystkie swobodnie spadające przedmioty na Ziemi, niezależnie od ich masy, mają stałe przyspieszenie skierowane w dół, będące wynikiem działania grawitacji. Jego wartość jest równa

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} (wartość przyspieszenia będącego efektem siły grawitacji)

Swobodnie spadające ciało to obiekt, którego przyspieszenie powodowane jest tylko przez siłę grawitacji. Zazwyczaj zakładamy, że opór powietrza jest na tyle niewielki, że możemy go pominąć w obliczeniach, co oznacza, że jakikolwiek upuszczony przedmiot czy np. wystrzelony pocisk porusza się ze stałym przyspieszeniem skierowanym w dół i wartością

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Gdy się nad tym zastanowimy, to jest to zarówno dziwne jak i bardzo wygodne. To dziwne, ponieważ oznacza to, że duży głaz będzie przyspieszał w takim samym tempie jak mały kamień, a jeśli upuścimy je z tej samej wysokości, to uderzą w ziemię w tym samym czasie.

Jest to natomiast o tyle wygodne, że w obliczeniach nie musimy znać masy - wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

bez względu na ich masę - tak długo jak opór powietrza jest pomijalnie mały

Zauważ, że

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

jest jedynie wartością przyspieszenia ziemskiego. Jeżeli kierunek w górę wybieramy jako dodatni, musimy przyjąć wartość przyśpieszenia ziemskiego dla pocisku ze znakiem minus

a_{y} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, kiedy podstawiamy ją do równania kinematycznego.

Ostrzeżenie: Kiedy używamy równań kinematycznych, zapominanie o uwzględnieniu znaku minus jest jednym z najczęstszych źródeł błędów.

Jak stosować równania kinematyki?

Należy dobierać wzór w ten sposób, by zawierał zarówno nieznaną nam zmienną, jak i pozostałe trzy zmienne, które już znamy. Dzięki temu, będziemy w stanie wyliczyć szukaną zmienną będącą jedyną nieznaną wartością w równaniu.

Na przykład: powiedzmy że książka leżąca na ziemi została kopnięta na wprost z prędkością początkową

v_{0} = 5 m/s

, po czym w ciągu

t = 3 s

przesunęła się o

Δ x = 8 m

. Moglibyśmy skorzystać z równania

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, żeby obliczyć nieznaną wartość przyśpieszenia książki (zakładając że przyśpieszenie było stałe), ponieważ znamy każdą inną zmienną w tym równaniu

(Δ x, v_{0}, t)

oprócz

a

Wskazówka: Zauważ, że w każdym równaniu brakuje jednej z pięciu zmiennych—

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (W tym równaniu brakuje Δ x .)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (W tym równaniu brakuje a .)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (W tym równaniu brakuje v .)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (W tym równaniu brakuje t .)

Aby wybrać, które równanie kinematyczne jest odpowiednie dla rozwiązania Twojego problemu, ustal których zmiennych nie podano, i nie trzeba ich wyznaczać. Na przykład w powyższym zadaniu prędkość końcowa książki

v

nie była podana, ani o nią nie pytano - mogliśmy więc zastosować równanie nie zawierające prędkości

v

. W równaniu

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

nie występuje

v

, więc jest to właściwe równanie do wyznaczenia

a

Tak, powinno.

5. Δ x = v t - \frac{1}{2} a t^{2} (W tym równaniu nie występuje v_{0} .)

Piąte równanie kinematyczne wygląda tak jak trzecie

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, z wyjątkiem prędkości początkowej

v_{0}

zastąpionej prędkością końcową

v

, oraz znaku plus zastąpionego znakiem minus. Możemy to wyprowadzić podstawiając pierwsze równanie kinematyczne do trzeciego.

Piąte równanie kinematyczne często nie jest tak użyteczne, ponieważ prędkość początkowa jest zazwyczaj znana/podana w wielu sytuacjach.

Jak wyprowadzić pierwsze równanie kinematyki, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Ten wzór kinematyczny jest prawdopodobnie najłatwiejszy do wyprowadzenia, ponieważ tak naprawdę jest to jedynie przekształcona wersja definicji przyśpieszenia. Możemy zacząć od definicji przyśpieszenia,

a = \frac{Δ v}{Δ t}

Tak. Jeśli przedział czasu

Δ t

jest duży, równanie

a = \frac{Δ v}{Δ t}

jest przyśpieszeniem średnim w danym przedziale czasu.

Tak więc wzór który wyprowadzamy tak naprawdę zakłada, że przyspieszenie

a

jest przyspieszeniem średnim

a_{ś r}

. Jednakże, jeśli przyspieszenie jest stałe, przyspieszenie chwilowe

a_{i}

będzie równe przyspieszeniu średniemu

a_{ś r}

, w tej sytuacji nie musimy martwić się o szczegóły i możemy oznaczyć przyspieszenie po prostu jako

a

Dlatego żeby równanie kinematyczne które wyprowadzamy było prawdziwe, przyspieszenie powinno być stałe. W przeciwnym razie

a

we wzorze odnosi się do przyspieszenia średniego, a nie przyspieszenia chwilowego.

Teraz możemy zamienić

Δ v

na definicje przyrostu prędkości

v - v_{0}

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

Na koniec, jeśli wyznaczymy

v

otrzymujemy

v = v_{0} + a Δ t

i jeśli zgodzimy się używać

t

zamiast

Δ t

, otrzymujemy pierwsze równanie kinematyki.

v = v_{0} + a t

Jak wyprowadzić drugie równanie kinematyczne, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Dobrym sposobem by zobrazować sobie wyprowadzenie tego wzoru jest rozważenie wykresu prędkości obiektu ze stałym przyspieszniem, innymi słowy ze stałym nachyleniem i prędkością początkową

v_{0}

, tak jak pokazano na wykresie poniżej.

Pole powierzchni pod wykresem prędkości jest zawsze równe przemieszczeniu $Δ x$ ‍. Stąd wynika, że pole powierzchni pod tym wykresem prędkości jest równe przemieszczeniu

Δ x

obiektu.

Δ x = całkowite pole

Dla uproszczenia, możemy rozbić ten obszar na niebieski prostokąt i czerwony trójkąt, tak jak pokazano na powyższym wykresie.

Wysokość niebieskiego prostokąta jest równa

v_{0}

, szerokość jest równa

t

, więc pole niebieskiego prostokąta jest równe

v_{0} t

.
Podstawa czerwonego trójkąta jest równa

t

, wysokość jest równa

v - v_{0}

, więc pole czerwonego trójkąta jest równe

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

Pole całkowite, będzie sumą pól niebieskiego prostokąta i czerwonego trójkąta.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

Jeśli przemnożymy

\frac{1}{2} t

przez nawias to dostaniemy

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Możemy uprościć równanie grupując wyrazy zawierające

v_{0}

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

Ostatecznie, zwijając wyrazy prawej strony pod nawias, otrzymujemy drugie równanie kinematyczne.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

To równanie jest o tyle interesujące, że gdy podzielimy obie strony przez

t

otrzymamy

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. Możemy z tego wyczytać, że prędkość średnia

\frac{Δ x}{t}

jest równa średniej końcowej i początkowej prędkości

\frac{v + v_{0}}{2}

. Należy jednak pamiętać, że wzór ten jest prawdziwy tylko dla ruchu ze stałym przyspieszeniem, ponieważ został wyprowadzony z wykresu prędkości od czasu, który miał stałe nachylenie (przyspieszenie).

Jak wyprowadzić trzecie równanie kinematyczne, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Są dwa sposoby na wyprowadzenie trzeciego równania kinematycznego

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Jedno z nich to całkiem zgrabne wyprowadzenie geometryczne, drugie natomiast jest nieco bardziej skomplikowane i wymaga większej pracy z algebrą. Najpierw zajmiemy się tym pierwszym, zgrabnym.

Rozważmy obiekt, który rusza ze stałą prędkością

v_{0}

i utrzymuje stałe przyśpieszenie do prędkości końcowej

v

, tak jak pokazano na poniższym wykresie.

Ponieważ pole pod wykresem prędkości oznacza przemieszczenie

Δ x

, oba wyrażenia po prawej stornie równania

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, przedstawiają pole na powyższym wykresie.

Wyrażenie

v_{0} t

przedstawia pole niebieskiego prostokąta, ponieważ

P_{p r o s t o k ą t a} = h w

Wyrażenie

\frac{1}{2} a t^{2}

przedstawia pole czerownego trójkąta, ponieważ

P_{t r ó j k ą t a} = \frac{1}{2} b h

To jest to. Wzór

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

jest prawdziwy ponieważ pole figury pod wykresem jest równe przemieszczeniu. Założyliśmy, że wykres prędkości jest linią prostą , dlatego mogliśmy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta. W związku z tym, to równanie kinematyczne jest prawdziwe (podobnie jak pozostałe) jedynie przy założeniu, że przyspieszenie jest stałe.

Oto alternatywne wyprowadzenie metodą podstawiania. Trzecie równanie kinematyczne możemy wyprowadzić przez podstawienie pierwszego równania kinematycznego

v = v_{0} + a t

, do drugiego równania kinematycznego

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

Jeśli weźmiemy drugie równanie kinematyczne

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

i za

v

wstawimy

v_{0} + a t

, otrzymamy

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Możemy rozwinąć prawą stronę

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Uproszczenie wyrażeń

\frac{v_{0}}{2}

po prawej stronie równania daje nam

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

Na końcu mnożymy obie strony przez

t

i otrzymujemy trzecie równanie kinematyczne

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Ponownie wykorzystaliśmy inne równania kinematyczne, które wymagały stałego przyśpieszenia, dlatego trzecie równanie kinematyczne także jest prawdziwe tylko przy założeniu, że przyśpieszenie jest stałe.

Jak wyprowadzić czwarte równanie kinematyczne, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Zacznijmy od drugiego równania:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Chcemy wyeliminować

t

z tego równania. W tym celu wyznaczamy z pierwszego równania kinematyki

v = v_{0} + a t

czas. Otrzymujemy

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. Jeśli podstawimy tak otrzymane wyrażenie jako

t

do drugiego równania kinematyki otrzymamy

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Mnożąc ułamki po prawej stronie otrzymujemy

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

Wyznaczając z tego równania

v^{2}

otrzymujemy czwarte równanie kinematyczne

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Co w równaniach kinematyki jest mylące?

Ludzie często zapominają o tym, że równania kinematyczne są prawdziwe tylko przy założeniu, ze przyspieszenie jest stałe w rozpatrywanym przedziale czasowym

Czasem wartości zmiennych nie są podane wprost, a raczej szyfrem. Na przykład "ruszyć z miejsca" oznacza

v_{0} = 0

, "puszczono" często oznacza

v_{0} = 0

, a "zatrzymać się" rozumiemy jako

v = 0

. Przyjmuje się również, że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, dlatego zazwyczaj wartość przyspieszenia z jakim ciała spadają swobodnie nie jest podawana.

Ludzie często zapominają o tym, że wszystkie zmienne występujące w równaniach kinematycznych:

Δ x, v_{o}, v, a

poza

t

mogą przyjmować wartości ujemne. Brak minusa jest bardzo powszechnym źródłem błędów. Jeśli zwrot w górę jest przyjęty jako dodatni - przyspieszenie ciała lecącego swobodnie musi mieć ujemną wartość

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Trzecie równanie kinematyczne,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, może wymagać rozwiązania równania kwadratowego - zobacz przykład 3 rozwiązany poniżej.

Ludzie często zapominają, że jeżeli wybiorą dowolny przedział czasowy wielkości zmienne które wstawiamy do równań kinematycznych muszą być spójne z tym przedziałem czasowym. Innymi słowy, prędkość początkowa

v_{0}

i położenie początkowe musi być prędkością ciała i jego położeniem w chwili rozpoczęcia tego przedziału czasu

t

. Podobnie prędkość końcowa

v

i położenie końcowe są określane dla końca analizowanego przedziału czasu

t

Jak wyglądają rozwiązane przykłady z równaniami kinematycznymi?

Przykład 1: Pierwsze równanie kinematyki, $v = v_{0} + a t$ ‍

Balon wypełniony wodą, jest upuszczony z bardzo wysokiego budynku.

Jaka jest prędkość balonu z wodą, po opadaniu przez $t = 2, 35 s$ ‍?

Zakładając, że zwrot w górę jest dodatni, wielkości które znamy przyjmują wartości:

v_{0} = 0

(Ponieważ w chwili upuszczenia balon był w spoczynku)

t = 2, 35 s

(Ponieważ chcemy znaleźć wartość prędkości po tym czasie)

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(Sugeruje to spadek swobodny balonu.)

Jeśli zaczekasz wystarczająco długo to tak, ale nie użyjemy tego w naszym równaniu z dwóch powodów.

Po pierwsze, rozważamy jedynie przedział czasu równy

2, 35 s

, który prawdopodobnie jest mniejszy niż czas potrzebny do uderzenia w ziemię.

Po drugie, równania kinematyczne możemy stosować jedynie dla przedziału czasu ze stałym przyspieszeniem. Kiedy balon z wodą uderza w ziemię, przyśpieszenie zmienia się gwałtownie od uderzenia. Dlatego jeśli utrzymujemy, że przyśpieszenie w naszym równaniu jest równe

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, dlatego że obiekt spada swobodnie, wtedy nie możemy przyjąć że prędkość końcowa jest jest równa zeru, ponieważ jest to już część ruchu kiedy obiekt zderzał się z ziemią (tj. nie spadał swobodnie), wtedy zaprzeczylibyśmy sami sobie.

Gdybyśmy znali przyśpieszenie przed uderzeniem i to przyśpieszenie byłoby stałe, moglibyśmy zastosować wzory kinematyczne dla przedziału czasu podczas uderzenia. Ale nie jest to pytanie które tutaj rozważamy i w większości problemów swobodnego spadku, będziemy rozważać tylko czas po wypuszczeniu i czas przed uderzeniem.

W tej sytuacji ruch odbywa się w pionie, dlatego będziemy używać jako zmiennej położenia

y

zamiast

x

. Symbol który wybieramy tak naprawdę nie ma znaczenia, pod warunkiem że jesteśmy konsekwentni w wyborze, ale oś pionową zwykle zaznaczamy w ten sposób.

Ponieważ nie znamy przemieszczenia

Δ y

i nie pytano nas o przemieszczenie

Δ y

- wykorzystamy pierwsze równanie kinematyki

v = v_{0} + a t

(w którym

Δ y

nie występuje).

v = v_{0} + a t (Użyj pierwszego równania kinematyki, ponieważ nie zawiera Δ y .)

v = 0 m/s + (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (2, 35 s) (Podstaw znane wartości)

v = - 23, 1 m/s (Obliczasz i gotowe !)

Uwaga: Prędkość końcowa jest ujemna, ponieważ balon z wodą poruszał się w dół.

Przykład 2: Drugie równanie kinematyki, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Leopard biegnie z prędkością

6, 20

m/s a po ujrzeniu mirażu, który przybrał formę ciężarówki z lodami zwiększył prędkość do

23, 1

m/s w czasie

3, 3

Jaki dystans pokonał leopard podczas zwiększania prędkości z $6, 2 m/s$ ‍ do $23, 1 m/s$ ‍ ?

Zakładając, że początkowy kierunek ruchu jest dodatni, znane wielkości przyjmują wartości

v_{0} = 6, 20 m/s

(Prędkość początkowa leoparda)

v = 23, 1 m/s

(Prędkość końcowa leoparda)

t = 3, 30 s

(Czas jaki zajęło leopardowi przyspieszanie)

Ponieważ nie znamy przyspieszenia

a

i nie interesuje nas jego wartość, użyjemy drugiego równania kinematycznego

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, w którym nie występuje

a

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Użyj drugiego równania kinematycznego, ponieważ nie ma w nim a .)

Δ x = (\frac{23, 1 m/s + 6, 20 m/s}{2}) (3, 30 s) (Podstaw znane wartości)

Δ x = 48, 3 m (Obliczasz i gotowe)

Przykład 3: Trzecie równanie kinematyki, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Uczeń jest rozdrażniony rozwiązywaniem pracy domowej z kinematyki, dlatego rzuca swój ołówek pionowo w górę z prędkością

18, 3 m/s

Ile czasu zajmie, zanim ołówek osiągnie wysokość $12, 2 m$ ‍ powyżej poziomu z którego został wyrzucony?

Zakładając, że zwrot w górę jest dodatni, wielkości które znamy przyjmują wartości:

v_{0} = 18, 3 m/s

(ponieważ była to początkowa prędkość skierowana w górę)

Δ y = 12, 2 m

(ponieważ chcemy wyznaczyć czas w którym ołówek wykonał takie przemieszczenie)

a = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(ponieważ ołówek jest ciałem spadającym swobodnie)

Ponieważ nie znamy prędkości końcowej

v

i nie byliśmy proszeni o jej wyznaczenie, skorzystamy z trzeciego równania kinematyki dla kierunku pionowego

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, w którym nie występuje

v .

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (zacznij od trzeciego równania kinematyki)

Zazwyczaj rozwiązujemy nasze wyrażenie algebraicznie względem zmiennej którą chcemy obliczyć, ale to równanie kinematyczne nie może być rozwiązane algebraicznie względem czasu, jeżeli żadna ze zmiennych nie jest równa zeru. Jest tak, ponieważ kiedy żadna ze zmiennych nie jest równa zeru oraz czas

t

jest nieznany, równanie staje się równaniem kwadratowym. Możemy to zobaczyć podstawiając znane wartości do wzoru.

12, 2 m = (18, 3 m/s) t + \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} (podstaw znane wartości)

Żeby przedstawić to w bardziej przystępnej formie równania kwadratowego, przenosimy wszystko na jedna stronę równania. Odejmując obustronnie

12, 2 m

otrzymujemy

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} + (18, 3 m/s) t - 12, 2 m (zapisz wyrażenie w postaci równania kwadratowego)

Na tym etapie rozwiązujemy równanie kwadratowe względem czasu

t

. Rozwiązania równania kwadratowego w postaci

a t^{2} + b t + c = 0

, wyznaczamy za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. W naszym równaniu, zmienne są równe odpowiednio

a = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18, 3 m/s

c = - 12, 2 m

Tak więc podstawiając wartości do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego otrzymujemy

t = \frac{- 18, 3 m/s \pm \sqrt{(18, 3 m/s)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (- 12, 2 m)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})]}

Ponieważ we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego jest znak "plus-minus" - otrzymujemy dwie wartości czasu

t

: pierwszą, gdy wstawiamy znak

+

i drugą, gdy wstawiamy znak

-

. Rozwiązaniem powyższego równania kwadratowego są dwie wartości czasu:

t = 0,869 s

t = 2, 86 s

Otrzymujemy dwa dodatnie rozwiązania, ponieważ mamy dwa czasy po których ołówek osiąga wysokość

12, 2 m

. Mniejsza wartość odnosi się do czasu który był wymagany żeby ołówek po raz pierwszy osiągnął wysokość (przemieszczenie w pionie)

12, 2 m

. Większa wartość odnosi się do czasu który był wymagany żeby ołówek poleciał w górę, przeleciał przez wysokość

12, 2 m

, osiągnął wysokość maksymalną a następnie opadając, ponownie osiągnął wysokość

12, 2 m

Aby znaleźć odpowiedź na nasze pytanie: "ile czasu potrzeba, żeby ołówek osiągnął wysokość

12, 2 m

powyżej poziomu z którego został wyrzucony?" powinniśmy wybrać mniejszą wartość czasu

t = 0,869 s

Jeśli równanie kwadratowe daje ujemne i dodatnie rozwiązanie, wtedy obiekt tylko jeden raz osiąga określoną wysokość po tym, gdy zostanie wyrzucony. W tym przypadku możemy po prostu wybrać rozwiązanie z dodatnią wartością czasu i czas ujemny pominąć.

Ujemna wartość czasu, pokazuje moment przed wyrzuceniem ołówka, w którym ołówek byłby na określonym w zadaniu położeniu. Innymi słowy, zakładając że ołówek był na swojej trajektorii zanim został wyrzucony i już osiągnął zakładane położenie z określoną prędkością początkową. (Przeanalizuj jak przebiega wykres funkcji kwadratowej przed wyrzuceniem ołówka).

Przykład 4: Czwarte równanie kinematyki, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Motocyklista porusza się z prędkością równą

23, 4 m/s

. Widząc przed sobą korek decyduje się zwolnić na odcinku

50, 2 m

, ze stałą wartością przyśpieszenia równą

3, 20 \frac{m}{s^{2}}

. Przyjmij, że motocyklista podczas całego ruchu porusza się na wprost.

Jaka jest prędkość motocyklisty po tym, gdy zwalniał na odcinku równym $50, 2 m$ ‍?

Zakładając, że początkowy kierunek ruchu jest dodatni, znane wielkości przyjmują wartości

v_{0} = 23, 4 m/s

(Początkowa prędkość motocyklisty)

a = - 3, 20 \frac{m}{s^{2}}

(Przyspieszenie jest ujemne, ponieważ motocyklista zwalnia, a zwrot "do przodut" przyjęliśmy za dodatni)

Δ x = 50, 2 m

(Chcemy wyznaczyć prędkość motocyklisty po przebyciu tego odcinka)

Ponieważ nie znamy czasu ruchu

t

i nie byliśmy proszeni o jego wyznaczenie, skorzystamy z czwartego równania kinematyki dla kierunku wzdłuż osi poziomej

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

.w którym nie występuje czas

t

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (rozpocznij od czwartego równania kinematyki)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (wyznaczamy algebraicznie prędkość końcową)

Zwróć uwagę, że jeżeli wyciągasz pierwiastek kwadratowy - otrzymujesz dwie możliwe odpowiedzi (dodatnia lub ujemną). Ponieważ nasz motocyklista nadal będzie jechał w tym samym kierunku w którym rozpoczął jazdę oraz założyliśmy, że ten kierunek jest dodatni, wybierzemy odpowiedź dodatnią

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:

v_{x} = \sqrt{(23, 4 m/s)^{2} + 2 (- 3, 20 \frac{m}{s^{2}}) (50, 2 m)} (podstawiając znane wartości)

v_{x} = 15, 0 m/s (obliczasz i gotowe)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Fizyka

Kurs: Fizyka > Rozdział 1

Czym są wzory kinematyczne?

Czym jest spadek swobodny (np. pocisku) ?

Jak stosować równania kinematyki?

Jak wyprowadzić pierwsze równanie kinematyki, v=v0+at‍ ?

Jak wyprowadzić drugie równanie kinematyczne, Δx=(v+v02)t‍ ?

Jak wyprowadzić trzecie równanie kinematyczne, Δx=v0t+12at2‍ ?

Jak wyprowadzić czwarte równanie kinematyczne, v2=v02+2aΔx‍ ?

Co w równaniach kinematyki jest mylące?

Jak wyglądają rozwiązane przykłady z równaniami kinematycznymi?

Przykład 1: Pierwsze równanie kinematyki, v=v0+at‍

Przykład 2: Drugie równanie kinematyki, Δx=(v+v02)t‍

Przykład 3: Trzecie równanie kinematyki, Δx=v0t+12at2‍

Przykład 4: Czwarte równanie kinematyki, v2=v02+2aΔx‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Jak wyprowadzić pierwsze równanie kinematyki, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Jak wyprowadzić drugie równanie kinematyczne, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Jak wyprowadzić trzecie równanie kinematyczne, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Jak wyprowadzić czwarte równanie kinematyczne, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Przykład 1: Pierwsze równanie kinematyki, $v = v_{0} + a t$ ‍

Przykład 2: Drugie równanie kinematyki, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Przykład 3: Trzecie równanie kinematyki, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Przykład 4: Czwarte równanie kinematyki, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍