Główna zawartość

Kurs: Fizyka > Rozdział 2

Lekcja 1: Ruch pocisku w dwóch wymiarach

Czym są składowe prędkości?

Dowiedz się, jak uprościć wektory rozbijając je na składowe. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Dlaczego rozbijamy wektory na składowe?

Ruch dwuwymiarowy jest bardziej złożony niż ruch jednowymiarowy, ponieważ prędkości mogą wskazywać kierunek ukośny, nie tylko pionowy i poziomy. Na przykład, piłka bejsbolowa mogłaby poruszać się w kierunku pionowym i poziomym w tym samym czasie, z ukośną prędkością

v

. Możemy "rozbić" wektor prędkości

v

piłki bejsbolowej, to znaczy ustalić prędkość piłki w kierunku poziomym

v_{x}

i pionowym

v_{y}

, tak, by uprościć nasze obliczenia.

Równania ruchu piłki bejsbolowej znacznie się upraszczają, jeśli rozpatrzyć oddzielnie ruch w kierunku poziomym i ruch w kierunku pionowym.

Tak. Możemy rozłożyć wektor na dowolne dwa prostopadłe (ogólnie - niewspółliniowe) kierunki (np. wektor

v

, mógłby być rozłożony na dwa kierunki tak, jak pokazano poniżej). Możemy wybrać dwa kierunki, które nie są prostopadłe i okazuje się, że w przypadku szczególnej teorii względności najwygodniej jest tak właśnie zrobić.

Na ogół jednak najprościej jest rozłożyć wektor na dowolne dwa prostopadłe kierunki. Najczęściej wygodnie jest wybrać kierunek poziomy i pionowy, ponieważ na przykład przyspieszenie grawitacyjne działa w kierunku pionowym (tj. prosto w dół).

Typowe zadania często wyraźnie nawiązują do kierunku poziomego i pionowego w przyrodzie i najlepiej rozwiązać je przy użyciu osi pionowej i poziomej. Na przykład, "Jaki jest poziomy zasięg pocisku" lub "Jaką wysokość osiąga pocisk?".

Rozłożenie prędkości ukośnej

v

, na składową poziomą

v_{x}

i składową pionową

v_{y}

, pozwala nam poradzić sobie z każdym kierunkiem osobno. W gruncie rzeczy, będziemy w stanie zamienić jeden trudny dwuwymiarowy problem na dwa łatwiejsze problemy jednowymiarowe. Ta sztuczka, polegająca na rozkładaniu wektorów na składowe, działa także wtedy, gdy wektor jest czymś innym niż wektorem prędkości (np. wektorem siły, momentu, pola elektrycznego itd.). Właściwie będziemy używać tej sztuczki w fizyce wielokrotnie, więc ważne jest żeby stać się naprawdę dobrym w radzeniu sobie ze składowymi wektorów, tak szybko jak to możliwe.

Jak rozkładamy wektor na składowe?

Before we talk about breaking up vectors, we should note that trigonometry already gives us the ability to relate the side lengths of a right triangle—hypotenuse, opposite, adjacent—and one of the angles,

θ

, as seen below.

\sin θ = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przeciwprostokątna}

\cos θ = \frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna}

\tan θ = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przyprostokątna przyległa}

Gdy rozkładamy wektor na dwie prostopadłe składowe, wektor i jego składowe -

v, v_{y}, v_{x}

- tworzą trójkąt prostokątny. To dlatego możemy stosować trygonometrię do obliczania związków pomiędzy długością wektora a długościami jego składowych. Zauważ, że

v_{x}

ma interpretację przyprostokątnej przyległej,

v_{y}

interpretujemy jako przyprostokątną naprzeciwległą, a

v

jako przeciwprostokątną.

\sin θ = \frac{v_{y}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v}

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Jeśli zmieniamy nasz kąt, biorąc pod uwagę inny kąt (kąt pomiędzy wektorem i osią pionową), prawa trygonometrii pozostaną takie same, ale to co zwykliśmy nazywać przyprostokątną przeciwległą stanie się przyprostokątną przyległą i na odwrót.

\sin ϕ = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przeciwprostokątna} = \frac{v_{x}}{v}

\cos ϕ = \frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna} = \frac{v_{y}}{v}

\tan ϕ = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przyprostokątna przyległa} = \frac{v_{x}}{v_{y}}

Zauważ, że

v

w tych wzorach zawsze oznacza długość wektora prędkości, szybkość, która nie może być ujemna. Składowe

v_{x}

v_{y}

są składowymi wektora, które mogą mieć dowolny znak. Na ogół przyjmujemy zasadę że dla składowej poziomej

x

kierunek ujemny wskazuje w lewo, a dla składowej pionowej

y

w dół.

Jak wyznaczyć wartość i kąt wektora wypadkowego?

W poprzednich rozdziałach zobaczyliśmy, jak można rozłożyć wektor na składową poziomą i pionową. Powiedzmy jednak, że zaczynasz od pewnych podanych składowych prędkości

v_{y}

v_{x}

. W jaki sposób możesz wykorzystać składowe, żeby znaleźć wartość

v

oraz kąt nachylenia

θ

wypadkowego wektora prędkości?

Wyznaczenie wartości wypadkowego wektora prędkości nie jest zbyt trudne, ponieważ dla dowolnego trójkąta prostokątnego długości boków i przeciwprostokątna, będzie wyrażona przez twierdzenie Pitagorasa.

v^{2} = {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}

Pierwiastkując, dostaniemy wartość wektora wypadkowego wyrażonego przez jego składowe.

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Jeżeli znamy obie składowe wektora wypadkowego, możemy wyznaczyć jego kąt nachylenia, korzystając z funkcji

tan θ

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Obliczając odwrotność funkcji tangens, otrzymujemy kąt nachylenia wypadkowego wektora prędkości wyrażonego przez jego składowe.

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

Ponieważ definicja funkcji

\tan

, zawiera jedynie składowe

v_{y}

v_{x}

wektora, pozwala nam z łatwością wyznaczyć kąt

θ

wektora, nie znając długości wektora wypadkowego

v

Jednak jeśli znamy długość wektora wypadkowego

v

oraz składowe

v_{y}

v_{x}

, możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa lub tangensa, żeby wyznaczyć kąt wektora wypadkowego.

Co jest trudnego w składowych wektora?

Kiedy korzystamy z funkcji

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

, fakt że wstawiamy

v_{y}

w liczniku jako bok przeciwległy i

v_{x}

w mianowniku jako przyległy, oznacza że mierzymy kąt od osi poziomej. Czasem może być trudno zrozumieć jak narysować ten kąt. Oto sposób, żeby dowiedzieć się jak to zrobić.

Zakładając, że wybraliśmy prawo/górę jako kierunek dodatni, to jeżeli składowa pozioma

v_{x}

jest dodatnia, wektor jest skierowany w prawą stronę. Jeżeli składowa pozioma

v_{x}

jest ujemna, wektor jest skierowany w lewą stronę.

Zakładając, że wybraliśmy w górę jako kierunek dodatni, to jeżeli składowa pionowa

v_{y}

jest dodatnia, wektor jest skierowany w górę. Jeżeli składowa pozioma

v_{y}

jest ujemna, wektor jest skierowany w dół.

Na przykład, jeżeli składowe wektora są równe

v_{x} = - 12 m/s

v_{y} = 10 m/s

, wektor musi być skierowany w lewo - ponieważ składowa

v_{x}

jest ujemna - i w górę - ponieważ składowa

v_{y}

jest dodatnia, tak więc narysujemy go tak jak pokazano poniżej.

Pytanie kontrolne: Jeśli składowe prędkości papierowego samolotu są równe

v_{x} = - 7 m/s

v_{y} = - 5 m/s

, w którym kierunku porusza się samolot (zakładając że wybieramy prawą stronę i górę jako kierunki dodatnie)?

Nie zawsze. Problem w tym, że kiedy podstawiamy ujemna wartość składowych do wzoru

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

, wiele kalkulatorów nie rozróżnia czy ujemny znak dotyczy górnej czy dolnej składowej. Podobnie, jeśli podstawimy obie składowe z ujemnym znakiem, kalkulator pozbędzie się minusa i wyznaczy kąt taki, jak w przypadku gdy obie składowe miały wartości dodatnie.

Sytuacja jest denerwująca, ale można sobie z nią poradzić. Dlatego przydatnym sposobem jest po prostu podstawienie do wzoru

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

wszystkich składowych ze znakiem dodatnim i skorzystanie z reguł o znakach składowych, żeby ustalić w której ćwiartce układu współrzędnych narysować wektor (tak jak zrobimy to w dalszej części rozwiązań).

Jak wyglądają rozwiązane zadania ze składowymi wektora?

Przykład 1: Podkręć jak Beckham

Piłka jest kopnięta w górę i w prawo pod kątem

30^{\circ}

z prędkością 24,3 m/s, tak jak pokazano poniżej.

Jaka jest pionowa składowa prędkości w danej chwili?

Jaka jest pozioma składowa prędkości w danej chwili?

Żeby wyznaczyć składową pionową, skorzystamy z funkcji

s i n θ = \frac{przyprostokątna naprzeciwległa}{przeciwprostokątna} = \frac{v_{y}}{v}

. Przeciwprostokątna jest równa wartości prędkości 24,3 m/s, natomiast

v_{y}

jest przyprostokątną naprzeciwległą do kąta

30^{\circ}

\sin θ = \frac{v_{y}}{v} (skorzystaj z definicji sinusa.)

v_{y} = v \sin θ (wyznacz składową pionową.)

v_{y} = (24, 3 m/s) \sin (30^{\circ}) (podstaw znane wartości.)

v_{y} = 12, 2 m/s (obliczasz i gotowe!)

Do wyznaczenia składowej poziomej, wykorzystamy funkcję

\cos θ = \frac{przyległa}{przeciwprostokątna} = \frac{v_{x}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v} (skorzystaj z definicji cosinusa.)

v_{x} = v \cos θ (wyznacz składową poziomą.)

v_{x} = (24, 3 m/s) \cos (30^{\circ}) (podstaw znane wartości.)

v_{x} = 21, 0 m/s (obliczasz i gotowe!)

Przykład 2: Rozzłoszczona mewa

Mewa lata nad Seattle z poziomą składową prędkości równą

v_{x} = 14, 6 m/s

i składową pionową prędkości równą

v_{y} = - 8, 62 m/s

Jaka jest wartość wypadkowej prędkości mewy?

Jaki jest kąt wypadkowej prędkości mewy?

Przyjmijmy, że kierunki w prawo/a górę oznaczają kierunki dodatnie i że wszystkie kąty będą mierzone od dodatniej osi x, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, żeby wyznaczyć wartość wypadkowego wektora prędkości.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (Twierdzenie Pitagorasa.)

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} (oblicz pierwiastek arytmetyczny z obu stron równania)

v = \sqrt{(14, 6 m/s)^{2} + (- 8, 62 m/s)^{2}} (podstaw znane wartości.)

v = 17, 0 m/s (obliczasz i gotowe!)

Do wyznaczenia kąta, skorzystamy z definicji

tangensa

. Ponieważ znamy wartość

v

, moglibyśmy skorzystać z definicji

sinusa

lub

cosinusa

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}} (skorzystaj z definicji tangensa.)

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}}) (oblicz kąt korystając z funkcji arctangens)

θ = \tan^{- 1} (\frac{8, 62 m/s}{14, 6 m/s}) (podstaw długości składowych)

θ = 30, 6^{\circ} (obliczasz i gotowe!)

Ponieważ składowa pionowa jest równa

v_{y} = - 8, 62 m/s

, wiemy że wektor jest skierowany w dół. Ponieważ składowa pozioma jest równa

v_{x} = 14, 6 m/s

, wiemy że wektor jest skierowany w prawo. Dlatego narysujemy wektor w czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Tak więc, mewa porusza się z szybkością

17, 0 m/s

pod kątem

30, 6^{\circ}

poniżej osi poziomej, tak jak pokazano poniżej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.