Elastyczność lub sprężystość to zjawisko polegające na tym, że ciało ulega odwracalnemu odkształceniu (ściśnięciu, rozciągnięciu, lub skręceniu) pod wpływem siły. To znaczy, że gdy działanie siły ustaje, ciało powraca do poprzedniego kształtu i w ten sposób może wykonać pracę. Zasada zachowania energii podpowiada nam, że powinna istnieć energia potencjalna sprężystości, którą ciało posiadałoby w stanie zdeformowanym i która byłaby przekształcana na pracę, gdy ciało powraca do poprzedniego kształtu. Energię potencjalną sprężystości wykorzystujemy w różnych urządzeniach:

W tego typu urządzeniach wykorzystuje się materiały mające dużą granicę sprężystości, ale każdy materiał posiada granicę, powyżej której deformacja jest nieodwracalna, to znaczy zdeformowane ciało nie powraca już do pierwotnego kształtu. W ubiegłym stuleciu popularne były zegarki, których mechanizm uruchamiała sprężyna w kształcie spirali. Ten rodzaj magazynowania energii nie znalazł zastosowania w smartformach, ponieważ nie ma materiału, którego granica sprężystości byłaby dostatecznie duża by zapewnić wystarczającą gestość energii.

W artykule prawie Hooke'a przeczytasz, że wartość siły, $f$‍ z jaką idealna sprężyna reaguje na deformację $F$‍ jest proporcjonalna do zmiany długości sprężyny $\mathrm{\Delta }x$‍,

where $k$‍ is some positive number known as the spring constant. The spring force is a conservative force and conservative forces have potential energies associated with them.

Z definicji pracy wynika, że pole powierzchni ograniczonej wykresem siły w zależności od przesunięcia równa się pracy wykonanej przez tę siłę. Na rysunku 1 przedstawiono wykres zależności siły deformującej, której praca równa się zmianie energii potencjalnej sprężyny, w zależności od przesunięcia. Powierzchnia ograniczona wykresem sily i osią przesunięcia ma kształt trójkąta prostokątnego. Zakładając, że cała praca siły zamienia się w energię potencjalną sprężyny $U$‍, otrzymujemy:

Zadanie 1. Stałą sprężystości amortyzatora ciężarówki wynosi $5\cdot {10}^4\mathrm{N}/\mathrm{m}$‍. Pusta skrzynia ciężarówki znajduje się $0,8$‍ m nad powierzchnią drogi. Po załadowaniu skrzynia osiada tak, że znajduje się na wysokości $0,7$‍ m nad powierzchnią drogi. Ile wynosi energia potencjalna sprężystości zmagazynowana w czterech amortyzatorach?

Zadanie 2a. Doświadczony łucznik jest w stanie napiąć łuk siłą sięgającą 300 N, pociągając cięciwę ku sobie o $0,6$‍ m. Zakładając, że łuk można potraktować jak idealną sprężynę, oblicz jej stałą sprężystości.

Zadanie 2b: . Oblicz energię potencjalną napiętego łuku.

Zadanie 2c: Zakładając, że masa strzały równa się 30 g, oszacuj prędkość z jaką strzała wyleci z łuku.

Zadanie 2d: Po tym, jak proces uwalniania cięciwy i przyspieszania strzały sfilmowano specjalną, szybką kamerą, okazało się, że prędkość strzały jest mniejsza niż wynika to z założonego w naszym rozwiązaniu bilansu energii. Jakiej przemiany energii nie uwzględniliśmy w obliczeniach?

W artykule na temat sprężystości i elastyczności, w rzeczywistości sprężyny spełniają prawo Hooke'a tylko w pewnym zakresie wartości siły. W przypadku niektórych materiałów, takich jak guma czy plastik mamy do czynienia ze zjawiskiem histerezy; zależność siły w zależności od wydłużenia bądź skrócenia wygląda inaczej gdy materiał ulega deformacji niż gdy powraca do pierwotnego kształtu.

Zjawisko histerezy nie ma jednak wpływu na matematyczny opis energii potencjalnej sprężystości, którą w każdym przypadku równa się polu powierzchni obszaru ograniczonego wykresem siły i osią opisującą wydłużenie deformowanego materiału.

Do tej pory rozpatrywaliśmy sprężynę jako obiekt jednowymiarowy. W rzeczywistości mamy do czynienia z elastycznością trójwymiarowych przedmiotów. Okazuje się, że w tym przypadku energię potencjalną sprężystości można obliczyć w podobny sposób z tym, ż rolę wykresu siły w zależności od zmiany długości pełni wykres naprężenia w zależności od deformacji.

W przypadku trójwymiarowym, odpowiednik prawa Hooke'a dla sprężyny ma postać:

Gęstość energii, czyli stosunek $\mathrm{energii}\mathrm{spr}\mathrm{ę}\mathrm{ż}\mathrm{ysto}\mathrm{ś}\mathrm{ci}/\mathrm{obj}\mathrm{ę}\mathrm{to}\mathrm{ś}\mathrm{ci}=\frac{1}{2}(\mathrm{napr}\mathrm{ę}\mathrm{ż}\mathrm{enie}\cdot \mathrm{deformacja})$‍

Zadanie 3. Na rysunku 3 przedstawiono wykres naprężenie w zależności od odkształcenia dla gumowej taśmy. Na wykresie, górna krzywa odpowiada rozciąganiu taśmy, a dolna jej powrotowi do stanu początkowego. Ponieważ guma, z której wykonano taśmę, nie jest idealnie elastyczna, siła, z jaką guma działa na zaczep, kurcząc się, jest mniejsza od siły, która powoduje jej rozciąganie. Pole powierzchni fioletowego obszaru równe jest energii potencjalnej sprężystości, którą można wykorzystać do wykonania pracy. Obszar pomiędzy krzywymi opisującymi rozciąganie i kurczenie do stanu początkowego zamalowano na żółto. Pole powierzchni tego obszaru równa się energii rozproszonej w postaci energii termicznej w czasie kolejnych cykli rozciągania i powrotu do stanu początkowego.

Gumowa taśma ma długość $100\mathrm{mm}$‍, szerokość $10\mathrm{mm}$‍ i grubość $1\mathrm{mm}$‍. Oszacuj, ile energii rozprasza się w postaci energii termicznej w ciągu jednego cyklu rozciągania i kurczenia się taśmy.

[1] http://itila.blogspot.com/2014/05/energy-density-of-spring.html