Green's theorem proof (part 1)

Weźmy pętlę na płaszczyźnie (x,y). To jest oś y, to jest oś x, zaś pętla będzie wyglądała tak. Przyjmijmy, że narysowałem jakąś losową pętlę, zorientowaną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W ten sposób. Moglibyśmy nazwać tę pętlę, idziemy odwrotnie do ruchu wskazówek zegara, moglibyśmy ją nazwać c. Weźmy teraz pole wektorowe. Będzie ono specyficzne, nazwijmy je p, p(x,y), bo jego wektory są skierowane poziomo, czyli są wielokrotnościami wektora i [Khan jednostkę urojoną oznacza przez j, przyp. tłum.] Tak więc wyrażają się wzorem p(x,y) = P(x,y) * i. Nie ma współczynników pionowych, więc gdybyśmy mieli sobie wyobrazić te pole wektorowe, to wszystkie wektory są wielokrotnościami wektora i. Mogą to być oczywiście ujemne wielokrotności, więc wektory mogą być też zwrócone w drugą stronę. Ale wszystkie są poziome. Wszystkie idą z lewej na prawą, lub z prawej na lewą. Tak właśnie wygląda nasze pole wektorowe. Naszym zadaniem jest znalezienie całki krzywoliniowej wzdłuż pętli c, czyli zamkniętej drogi c, z funkcji p(x,y) względem dr, gdzie dr jest standardowym oznaczeniem dla całki krzywoliniowej. Zetknęliśmy się już z nim wcześniej. dr to inaczej dx * i + dy * j. Moglibyście spytać, czy to nie jest po prostu (dx / dt) * dt * i + (dy / dt) * dt * j ? I oczywiście mielibyście rację, ale jak widać różniczki się skracają i zostajemy znowu z dx i z dy. Wiele razy już robiliśmy takie przejście. Pozostawię to w tej postaci, bo jeżeli będziemy sprytni, to w ogóle nie będziemy musieli się przejmować parametrem t. Więc zajmijmy się pierwotną postacią dr, czyli zależną tylko od dx i dy. Tę całkę możemy przepisać jako całkę krzywoliniową, zapiszę to niżej, jako całkę krzywoliniową po pętli c z iloczynu tego i p. Zapiszę to na fioletowo. Mamy więc pole wektorowe p razy dx, bo dy to zero, więc dy * j jest równe 0 * j czyli jest to po prostu 0, więc uprościliśmy całkę do tej tutaj. Jest ona równa naszej całce wyjściowej, ale całkujemy już tylko po x. Pamiętacie, jak powiedziałem, że przy odrobinie sprytu nie będziemy musieli się przejmować zmienną t? Że będziemy mogli policzyć tę całkę po x? Więc sprawdźmy, czy to prawda. Spójrzmy na najmniejszą i największą wartość x na pętli. To jest nasza wartość najmniejsza, nazwijmy ją a. A to jest nasza wartość największa, nazwijmy ją b. Co możemy teraz zrobić, to podzielić naszą pętlę na dwie funkcje zależne od x. Czyli y wyrazić jako funkcję x. Tę dolną nazwijmy y1(x). To jest najzwyklejsza krzywa. Pamiętacie, kiedy zajmowaliśmy się standardowymi całkami? Tutaj analogicznie możecie rozumieć to jako f(x), bo to przecież funkcja od x. A to nazwijmy y2(x). Świetnie. Więc mamy dwie krzywe zależne od x, pierwsza z nich to y1(x), oznaczmy ją na purpurowo, gdzie dla y1 x przebiega wartości od a do b, a druga krzywa to y2(x), gdzie x przebiega wartości od b do a. Razem dają całą pętlę. Teraz możemy przepisać naszą całkę, która jest oczywiście równa tej całce, jako równą całce po krzywej y1, dla x przebiegającego od a do b. Moglibyśmy tu napisać P(x,y), ale wiemy, że y jest tu funkcją x. Więc piszemy P(x,y1(x)). Gdziekolwiek mamy y, możemy je zastąpić funkcją y1(x). Więc przekształciliśmy pierwszą krzywą, podkreślę to tym samym kolorem. Możemy przyjąć, że to jest krzywa c1. To tak jakby pierwsza połowa naszej pętli, oczywiście nie w ścisłym znaczeniu tego słowa, ale przeprowadza nas odtąd do tego punktu. Teraz zamkniemy naszą pętlę. Ten fragment rachunku przeprowadzimy na żółto. Więc dodajemy drugą połowę: plus całka dla x od b do a z, trzymajmy się żółtego, z funkcji p od x i, pamiętając, że tutaj y to y2(x), czyli każdy y mogę zastąpić przez funckję y2 od x na tej krzywej, i y2(x). Robi się ciekawie i pewnie już widzicie, gdzie zmierzamy. Ten fragment to całka po c2. Mam nadzieję że nie budzi wątpliwości fakt, że gdy dodamy całkę po c1 i po c2, to scałkujemy całą pętlę. Zobaczmy, czy uda nam się trochę uprościć tę całkę. Po pierwsze możemy zmienić granice całkowania. Więc jeżeli zamienimy tutaj a z b, to wyskoczy nam minus. Więc tu wpisujemy b, tutaj a, zaś plus zmienia się na minus. To zaś równa się całce od a do b z p(x,y1(x)) minus p(x,y2(x)) no i to wszystko razy dx. Zapiszę to innym kolorem. Teraz zrobię kosmetyczną zmianę, ale wydaje mi się, że będzie ona pomocna. Jest bardzo prosta. Chodzi tylko o to, żeby zamienić tu kolejność. Czyli pomnożymy wszystko przez -1, a dokładniej pomnożymy i podzielimy przez -1. Więc mogę to pomnożyć przez -1 a potem pomnożyć całą całkę przez -1 i to nie zmieni jej wartości, bo mnożę przez -1 dwukrotnie. Więc kiedy tu zmienię kolejność, czyli pomnożę wnętrze przez -1, zapiszmy już całkę od a do b, jeżeli pomnożę wnętrze całki przez -1 te wyrażenia zmieniają kolejność. Więc dostajemy p(x,y2(x)) minus p(x,y1(x)). Zaczynam trochę bazgrolić. Ale skoro pomnożyłem wnętrze przez -1, a nie chcę zmieniać wartości całki, więc jeszcze muszę całą całkę pomnożyć przez -1. Pomnożyłem całość dwukrotnie przez -1, więc mam równość. Albo można powiedzieć, że to jest minus tym. Tak czy inaczej, wydaje mi się, że widzicie, że wartość całki się nie zmieniła. Dwa razy pomnożyłem ją przez -1. Teraz kolejny krok, może się wam wydać trochę dziwny, ale chyba go zrozumiecie. Jest oczywisty, jeżeli mieliście do czynienia z całkami podwójnymi. To możemy przepisać jako minus całkę z a do b, zmieńmy kolor, funkcji P(x,y) w granicach od y2(x), czyli oczywiście y = y2(x), do y = y1(x). To wszystko oczywiście mnożę przez dx. Ten zapis i ten wyżej, oznaczają to samo. Teraz przyjmiemy, że istnieje pochodna cząstkowa P po y i może już widzicie, do czego dążę. Trzeba się tu skupić, żeby się nie pogubić. Zapiszmy zewnętrzną część całki. Teraz będzie dość ładne przejście, w ogóle zbliżamy się do bardzo ładnego wyniku, który pewnie będziemy doliczać w kolejnym filmie, dopiszmy jeszcze dx. Więc jeżeli uznamy że P ma pochodną po y, to wtedy to tutaj jest... To tutaj jest zupełnie tym samym co pochodna cząstkowa P po y razy dy, scałkowana od y1(x) do y2(x). Chcę żebyście zrozumieli, że te dwie rzeczy są tym samym. Równość tę łatwo zrozumieć, jeżeli operację zaczniecie tutaj, a potem przejdziecie w tył. Tak jest prościej, bo już spotykaliśmy się z podwójnymi całkami takimi jak ta, i wtedy pierwszą rzeczą, jaką robiliśmy, to zaczynaliśmy od wewnętrznej całki, i liczyliśmy funkcję pierwotną tego po y. Więc jeżeli weźmiemy funkcję pierwotną pochodnej p po y, to wrócimy do p. Ale ponieważ jest to całka oznaczona, to liczymy ją w granicach od y = y2(x), do y = y1(x). Więc normalnie zaczynamy tutaj, a kończymy tutaj. Więc tym razem tak jakby zaczęliśmy od rozwiązania i potem cofnęliśmy się o krok. Mam nadzieję, że to zrozumiałe i że nie ma w tym nic specjalnego poza faktem, że liczymy od drugiej strony niż zazwyczaj. Więc w ten sposób doszliśmy do dosyć ładnego wyniku. Bo czym jest to? Pozwólcie, że się cofniemy i spojrzymy jeszcze raz na cały rachunek. Mam jakąś funkcję i twierdzę, że pochodna P po y istnieje. Moja funkcja jest zdefiniowana na płaszczyźnie (x,y). Można to sobie wyobrazić w trzech wymiarach. Narysujmy to bardziej elegancko. Więc mamy osie, y, x i z, zaś to jest jakaś powierzchnia. Akurat tak się składa, że to pochodna P po y. Więc mamy do czynienia z funkcją zdefiniowaną na płaszczyźnie (x,y). I co robimy? Liczymy podwójną całkę z tej powierzchni po tym obszarze. Granice tego obszaru przy ustalonym x są wyznaczone przez y2(x) i y1(x). Czyli przez tę pętlę: na górze mamy y2, na dole mamy y1. I liczymy pole pod wykresem funkcji nad tym obszarem. Więc możemy na to spojrzeć tak, że podstawą będzie powierzchnia wewnątrz tej krzywej, a wysokością będzie pochodna P po y. Byłoby mi to trochę ciężko narysować, ale to tutaj to jest pole pod wykresem naszej funkcji, jeżeli wolicie tak na to patrzeć. Ale prawdziwy bajer polega na tym, że jeżeli nazwiemy ten obszar R, to przekształciliśmy naszą całkę krzywoliniową, wprawdzie dość specyficzną, bo pole wektorowe było zależne tylko od x, do całki podwójnej. Może powinienem to zapisać, bo o ten wynik walczyliśmy. Więc udało nam się pokazać, że wyrażenie tutaj, oczywiście jest ono tym samym co wyrażenie wyjściowe, czyli całka krzywoliniowa funkcji p wzdłuż krzywej c po dx jest tym samym co całka podwójna na obszarze R, czyli tym obszarze, z pochodnej cząstkowej P po y. Pomnożone przez dy * dx lub równoważnie dx * dy, jak wam się podoba. W każdym razie jest to podwójna całka po tym obszarze. Nasz dowód opierał się na tym, że wzięliśmy pole wektorowe zależne tylko od x, więc mogliśmy przyrównać całkę krzywoliniową do podwójnej całki po całym obszarze. Ajć! Zapomniałem o czymś bardzo ważnym. Tu był jeszcze minus. Więc tu też musi być minus. Możemy go nawet wstawić do środka, ale to akurat nie jest ważne. W następnym filmie zrobimy to samo, z jedyną różnicą, że wektory pola będą skierowane pionowo - wzdłuż osi y. A mając jedno i drugie wyprowadzimy twierdzenie Greena.