Dowód twierdzenia Greena (część 2)

Weźmy pętlę, którą badaliśmy w poprzednim filmie. Znów rysujemy oś y i oś x. Powiedzmy, że krzywa wygląda jakoś tak. Zakładamy, że to ta sama krzywa, choć może nie wyglądają podobnie. Spójrzmy na jej wcześniejszą wersję. Wcześniej wyglądała tak. Podobieństwo jest wystarczające. W każdym razie uznajemy, że obie krzywe są identyczne. Nazwijmy ją c. W poprzednim filmie rozpatrywaliśmy pole wektorowe, którego wektory były skierowane poziomo. Tym razem rozpatrzmy pole wektorowe, którego wszystkie wektory są skierowane pionowo, czyli w kierunku wektora j. Nazwijmy te pole wektorowe q, gdzie q = q(x,y) i zdefiniujmy jako Q(x,y) * j. Będziemy się zajmować całką krzywoliniową po pętli c z funkcji q(x,y) względem dr. Badaliśmy ją już poprzednio. Znów dr to inaczej dx * i + dy * j. Więc możemy przepisać naszą całkę jako Więc możemy przepisać naszą całkę jako całkę krzywoliniową wzdłuż pętli c z funkcji q względem dr. Ale wektory z Q są pionowe, Więc dx = 0, 0 * i = 0, więc po pomnożeniu zostaje tylko Q(x,y) * dy. Podsumowując, dx = 0, więc zostajemy z... Wróćmy do wcześniejszego koloru. Zostajemy z Q(x,y) * dy jako wyrażeniem podcałkowym. Wektory były pionowe, więc przyrost dx jest zerowy. Sprawdźmy teraz, czy uda nam się policzyć tę całkę krzywoliniową bez odwoływania się do parametru t. Udało się nam to poprzednio. W gruncie rzeczy ten dowód będzie praktycznie identyczny, poza tym, że y zastępuje x. Więc teraz możemy przyjąć, że istnieje najmniejsze y i największe y. Najmniejsze y jest tutaj. Nazwijmy je a. A największe jest tutaj. Nazwijmy je b. Zapomniałem jeszcze dodać, jaka jest orientacja pętli. Ale ponieważ to ta sama pętla co ostatnio, więc orientacja jest odwrotna do ruchu wskazówek zegara. Mamy tę samą pętlę. Tę samą orientację. Ostatnio podzieliliśmy ją na dwie krzywe od x: y1(x) i y2(x). Teraz będziemy paramatryzować po y. Czyli podzielimy pętlę na dwie funkcje zmiennej y. Więc jeśli podzielimy tę pętle na dwie krzywe, to są nasze punkty ekstremalne. Tę którą koloruję, niech na niej x będzie funkcją y. Nazwijmy tę krzywą c2. Czyli tutaj x = x2(y). Ją już mamy z głowy. A tę krzywą nazwijmy c1. Oczywiście nie jest ważne, którą nazwiemy c1, a którą c2. Oczywiście nie jest ważne, którą nazwiemy c1, a którą c2. Pokolorujmy ją na purpurowo. Więc tę krzywą nazwaliśmy c1, i na niej x = x1(y). Może trochę dziwić, że x jest funkcją y, ale tak naprawdę wykonujemy tę samą operację co w pierwszym filmie. Zamieniliśmy tylko x i y miejscami. Więc teraz x jest funkcją y, tak jak wcześniej y był funkcją x. Zdefiniowaliśmy więc dwie krzywe. Jak łatwo zauważyć, gdybyśmy obrócili płaszczyznę, to powtarzamy krok w krok rachunki z pierwszego filmu, tylko teraz wszystko zależy od zmiennej y. Korzystając teraz z tego podziału, naszą całkę możemy przepisać jako, zaczynając od krzywej c2, jako całkę od b do a, jako całkę od b do a, czyli inaczej od górnych y do dolnych y, z funkcji Q. Zapiszmy to na szaro. Teraz skorzystamy z tego, że na tej krzywej x jest funkcją zmiennej y. Czyli x = x2(y). Więc mamy Q(x2(y),y). Chyba użyłem zbyt wielu kolorów, ale pewnie rozumiecie o co chodzi. I oczywiście przepisujemy dy. Więc ta całka reprezentuje lewą część wyjściowej całki po pętli. Do niej dodajemy drugą całkę po drugiej krzywej, w sumie już standardową całkę funkcji Q dla y przebiegającego od a do b. Tu oczywiście x to już nie x2(y), ale x1(y), bo jesteśmy na drugiej krzywej, sparametryzowanej przez x1. Więc mamy Q(x1(y),y) i to jeszcze razy dy. Czyli krok w krok powtarzamy poprzednie rozumowanie. Teraz zamieńmy jeszcze te dwie cyfry miejscami, żeby większa była na górze. Więc tutaj będzie a, tutaj b, a przed całką pojawi się minus, bo odwróciliśmy granice całkowania. Zastosowaliśmy tę zamianę w poprzednim filmie, więc mam nadzieję, że nie sprawia ona kłopotów. Teraz, kiedy mamy te same granice całkowania, różnicę tych całek możemy zapisać jako całkę różnicy. Więc dostaniemy jedną całkę od a do b. Zacznę od tej, bo jest dodatnia. Czyli pod całką mamy Q(x1(y),y) minus pierwsza całka. Czyli, zacznijmy od minusa, minus Q(x2(y),y). Razy dy. Zmieńmy kolor na niebieski. Przez dy mnożymy oczywiście obie funkcje podcałkowe. Pewnie rozumiecie, co się stało. Wciąż powtarzamy kroki z pierwszej części dowodu. Tę całkę możemy zaś przekształcić do całki od a do b, z funkcji Q(x,y) w granicach z funkcji Q(x,y) w granicach od x = x1(y) do x = x2(y). do x = x2(y). Czyli x z lewej zastąpiliśmy przez x1(y), co zapisujemy w ten sposób, pamiętając, że x z prawej zastąpiliśmy przez x2(y). Tylko tyle się stało i w sumie tak jak mówiłem w poprzednim filmie, wykonaliśmy od tyłu standardowy rachunek stosowany do obliczania całek oznaczonych. Zazwyczaj zaczynamy tu, a potem przechodzimy do tego. Ale tym razem idziemy odwrotnie, bo oczywiście tak też można. Trzeba to jeszcze pomnożyć przez dy. I tak jak w części pierwszej te wyrażenie, oznaczmy je na pomarańczowo, te wyrażenie... Zapiszmy te dy trochę dalej, żeby uniknąć bałaganu. Zapiszmy je aż tutaj. Te wyrażenie jest zupełnie tym samym, co całka po x, zapiszmy to tym samym kolorem, w granicach od x2(y) do x1(y) z pochodnej cząstkowej dQ / dx względem dx. Chcę, żeby to było jasne, bo w tym kroku można się trochę pogubić. bo w tym kroku można się trochę pogubić. To tak naprawdę zwykła całka podwójna, gdzie to siedzi wewnątrz tej całki, wewnątrz tej całki, a zewnętrzna część jest tutaj, liczona od a do b względem dy. W każdym razie jakby na to spojrzeć jak na całkę podwójną, pierwszą rzeczą jaką byśmy policzyli to funkcja pierwotna tego po x. Dokładniej funkcja pierwotna pochodnej cząstkowej dQ / dx całkowana po x, czyli po prostu Q(x,y). A ponieważ jest to całka oznaczona, więc liczymy ją w granicach od x1(y) do x2(y) i tylko tyle się tu stało. Mam nadzieję, że to rozumiecie. Doszliśmy więc do wyniku, który jest bardzo podobny do poprzedniego. Czym jest ta podwójna całka? W sumie zależy to od funkcji podcałkowej. Weźmy więc jakąś funkcję i narysujmy ją w trzech wymiarach. W sumie wszystko do tej pory to taka powtórka z poprzedniego filmu. Jeżeli to jest oś y, to - oś x, zaś to jest oś z, to dowolną funkcję od x i y możemy sobie wyobrazić jako powierzchnię zawieszoną nad płaszczyzną (x,y). zawieszoną nad płaszczyzną (x,y). Tą funkcją może być oczywiście pochodna cząstkowa dQ / dx. Więc na całkę można spojrzeć tak, że to są granice całkowania, a dx * dy potraktujemy jako pole malutkiego prostokącika. Pole po którym całkujemy jest wyznaczone przy ustalonym y x przebiegające od x = x2(y), czyli idziemy od krzywej c2, jakoś tak wygląda w trzech wymiarach, a tak oczywiście wyglądało w dwóch, do x = x1(y), czyli krzywej c1, która wygląda jakoś tak. wygląda jakoś tak. Czyli x przebiega od zielonej krzywej do purpurowej. Taki jest właśnie sens tego zapisu. Zaś zmienna y przebiega od a do b. Więc naszą całkę podwójną liczymy nad obszarem ograniczonym pętlą c. Wyraża ona objętość bryły ograniczonej od góry przez tę funkcję, a z boku przez granice pętli c, wyznacza ona jakby ściany pokoju, którego objętość liczymy. Nie jestem w stanie tego dokładnie narysować, ale można sobie wyobrazić, że wygląda to jakoś tak. Nasz całka liczy objętość tej bryły. Nasz całka liczy objętość tej bryły. Do tego samego wyniku doszliśmy w poprzednim filmie. Do tego samego wyniku doszliśmy w poprzednim filmie. Więc okazuje się, że pole wektorowe q... Narysujmy może kilka wektorów Q(x,y), są one wszystkie skierowane pionowo, z góry na dół, lub z dołu na górę. Nie mają poziomego przyrostu. Więc okazuje się, że kiedy weźmiemy takie pole wektorowe i zaczniemy liczyć całkę po pętli, zapiszmy to obok, kiedy liczy się tę całkę z pola q względem dr, lub równoważnie z funkcji Q(x,y) względem dy, to dostajemy całkę równoważną całce podwójnej po całej tej powierzchni ograniczonej pętlą c. Żyjemy? Do tego się to sprowadza. Gdybym tylko narysował jakiś obszar, musielibyście go zdefiniować. Powiedzieć, że x przebiega od tej funkcji do tej, a y przyjmuje wartości od a do b. Jeżeli boli was od tego głowa, powinniście jeszcze raz obejrzeć filmy o całkach podwójnych. Więc jeżeli scałkujemy po tym obszarze pochodną funkcji dQ / dx, to razy dx * dy, lub stosując inny zapis - razy dA. dA to takie jakby małe pole, o bokach dx i dy, czyli oba zapisy znaczą to samo. To co udowodniliśmy teraz połączmy z tym, co udowodniliśmy poprzednio. Ostatnio udowodniliśmy ten wzorek. Czyli, że jeżeli mam funkcję, którą można wyrazić w zależności tylko od x, to zachodzi taka równość. tylko od x, to zachodzi taka równość. W sumie pozwolę sobie skopiować oba te wyniki w mniej zatłoczone miejsce i będziemy mogli w końcu przejść do ekscytującego finału. Więc skopiuję to, wynik uzyskany w pierwszym filmie, i to, co udowodniliśmy przed chwilą. i to, co udowodniliśmy przed chwilą. Być może już się domyślacie, co się zaraz stanie. Być może już się domyślacie, co się zaraz stanie. Być może już się domyślacie, co się zaraz stanie. Teraz możemy już wziąć dowolne pole wektorowe, zapiszmy je na różowo, zdefiniowane na płaszczyźnie (x,y) i wyrażone wzorem f(x,y) = P(x,y) * i + Q(x,y) * j. f jest kombinacją pól wektorowych P i Q. Q zajmowaliśmy się w tym filmie, a P zbadaliśmy poprzednio. W ten sposób da się przedstawić dowolne pole wektorowe. I teraz tak jak poprzednio liczymy całkę krzywoliniową naszego pola wektorowego po jakiejś pętli. W sumie znów możemy całkować po krzywej c, bo ona była wybrana dosyć dowolnie. Tak naprawdę można całkować po dowolnej pętli. Więc narysujmy tu jakąś. Więc narysujmy tu jakąś. Jest ona zorientowana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, czyli w ten sposób. Więc interesuje nas całka krzywoliniowa po pętli z funkcji f względem dr. I znów tak jak poprzednio: dr = dx * i + dy * j. Więc naszą całkę możemy przepisać jako całkę po pętli c z iloczynu tych dwóch wyrażeń, czyli z P(x,y) * dx + Q(x,y) * dy, a to jest to samo co całka z P(x,y) względem dx plus całka z Q(x,y) względem dy. A czym są te całki? Jedną z nich zbadaliśmy poprzednio, drugą dosłownie przed chwilą. Ta tutaj to dokładnie to samo co ta zapisana na żółto. Więc to będzie równe podwójnej całce po tym obszarze, z minus dP / dy. Znów zamiast pisać dy * dx, możemy napisać dA, czyli przyrost pola. Do tego dodajmy teraz tę całkę, z Q. Ale mamy tę równość, którą już wykazaliśmy. Więc do pierwszej całki dodajemy podwójną całkę po tym samym obszarze z pochodnej dQ / dx względem dA. Lub jeżeli ktoś woli: względem dy * dx, dx * dy, kolejność nie odgrywa tu roli, chodzi o malutki przyrost pola. Co dostaniemy, kiedy dodamy obie te całki? Tu już przechodzimy do ostatecznych wniosków, zapiszmy je na purpurowo. Ta suma to podwójna całka po obszarze z pochodnej, tę zapiszę najpierw, bo jest dodatnia, dQ / dx - dP /dy. To jeszcze razy dA. To jest wielka konkluzja. To jest wielka konkluzja. Przepiszę ją tutaj: całka krzywoliniowa po pętli c z funkcji f względem dr jest równa podwójnej całce z tego wyrażenia. podwójnej całce z tego wyrażenia. Więc bierzemy funkcję którą parametryzowaliśmy zmienną x i różniczkujemy ją po y. Zaś funkcję, którą sparametryzowaliśmy zmienną y, różniczkujemy po x. Do tej pierwszej dopisujemy jeszcze minusa, można tak to zapamiętać. W każdym razie tę równość, powinienem teraz pewnie pisać na zielono, nazywamy Twierdzeniem Greena. Jest to potężne narzędzie pozwalające przekształcić całki krzywoliniowe pola wektorowego, jeżeli tylko ma ono odpowiednie pochodne cząstkowe, do podwójnej całki po obszarze. do podwójnej całki po obszarze. Na marginesie zauważmy, w sumie nie pierwszy raz się z tym spotykamy, że jeżeli funkcja f ma funkcję pierwotną, czyli jest gradientem jakiejś funkcji, to całka krzywoliniowa nie zależy od drogi - więc całka po pętli daje 0. po pętli daje 0. Stąd możemy wnioskować, że jeżeli pole wektorowe f ma funkcję pierwotną, wtedy to tutaj jest równe 0. Tylko wtedy będziemy mieli pewność, że ta całka będzie równa zeru po dowolnym obszarze. Na pewno bylibyście w stanie podać przykład funkcji, dla której to się wyzeruje. Ale na dowolnym obszarze to będzie równe 0 tylko wtedy, kiedy to wyrażenie podcałkowe będzie zerem. Więc wtedy można byłoby powiedzieć, że dQ / dx - dP / dy = 0, czyli obie te rzeczy muszą być równe. czyli obie te rzeczy muszą być równe. To prowadzi do ciekawego wniosku, dość łatwego do zauważenia, że pochodna dQ / dx jest równa pochodnej dP / dy. Jest to ciekawy wynik również z punktu widzenia równań różniczkowych. Nie chciałbym się nad tym rozwodzić, ale jeżeli pole wektorowe ma funkcję pierwotną, czyli jest gradientem jakiejś funkcji, ma funkcję pierwotną, czyli jest gradientem jakiejś funkcji, to mamy tę równość. Na razie się tym nie będziemy zajmować. Być może już się z tym zetknęliście. Być może już się z tym zetknęliście. W każdym razie największym tutaj osiągnięciem jest wyprowadzenie tego wzorku i w następnych filmach postaramy się rozwiązać kilka zadań z wykorzystaniem go.