Całka podwójna 1

Jak dotąd używaliśmy całek do obliczania pola powierzchni pod wykresem. Powtórzmy trochę intuicji, chcociaż mam nadzieję, że na tym etapie jest to dla Was całkiem zrozumiałe. Jeśli nie, to może zechcielibyście powtórzyć filmiki o całce oznaczonej. Jeśli mam pewną funkcję - to jest płaszczyzna xy, to jest oś x-ów, to jest oś y-ów - i mam pewną funkcję. Nazywajmy to, jak wiecie, y równy pewnej funkcji x. Dajcie mi x, a ja dam wam y. Jeśli chcę obliczyć pole powierzchni pod wykresem, pomiędzy, powiedzmy, x równym a i x równym b. To jest powierzchnia, której pole chcę policzyć. To co robię, to dzielę ją na zbiór kolumn, albo zbiór prostokątów. Narysujmy jeden z tych prostokątów. So także inne sposoby, żeby to zrobić, ale to tylko powtórka. To jest jeden z prostokątów. Pole prostokąta to po prostu podstawa razy wysokość, prawda? Dobrze, zrobimy te prostokąty naprawdę wąskie i po prostu zsumujemy nieskończoną ich liczbę. A więc chcemy zrobić je nieskończenie małe. Nazwijmy podstawę tego prostokąta dx. A wysokością prostokąta będzie f(x) w tym punkcie. To będzie f od - jeśli to jest x0, lub cokolwiek innego, możemy nazywać to po prostu f(x), prawda? To jest wysokość tego prostokąta. Teraz chcemy zsumować wszystkie te prostokąty, prawda? Będzie ich całkiem sporo. Jeden tutaj, jeden tutaj. Wtedy otrzymamy pole, a jeśli mamy nieskończoną liczbę tych prostokątów i są one nieskończenie wąskie, otrzymujemy dokładnie pole powierzchni pod wykresem. Taka jest intuicja stojąca za całką oznaczoną. A tak to zapisujemy - to jest całką oznaczona. Bierzemy sumę tych prostokątów, od x równego a do x równego b. Suma, lub pola, które sumujemy, to będzie - wysokość to f(x), szerokość to dx, suma to będzie f(x) razy dx. To jest równe polu powierzchni pod wykresem f(x), y jest równe f(x), od x równego a, do x równego b. To była tylko krótka powtórka. Mam nadzieję, że teraz widzicie sposób, w jaki rozszerzymy to w celu obliczania objętości pod powierzchnią. Po pierwsze, co to jest powierzchnia? Jeśli myślimy w trzech wymiarach powierzchnia będzie funkcją od x i y. Zatem możemy zapisać powierzchnię nie jako funkcję y od f i x -- o przepraszam. Zamiast mówić, że y jest funkcją x, możemy zapisać powierzchnię jako z równe funkcji x i y. Zatem możecie traktować to jako dziedzinę, prawda? Dziedzina to zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości jakie mogą być argumentami funkcji. A więc, poprzednio naszą dziedziną była, przynajmniej w większości wypadków, była po prostu oś x-ów, lub inaczej mówiąć prosta rzeczywista w kierunku x. Teraz naszą dziedziną jest płaszczyzna xy. Możemy wybrać dowolny x i dowolny y - na tą chwilę ograniczymy się do liczb rzeczywistych, nie chcę wchodzić w techniczne szczegóły. I wtedy pojawi nam się kolejna liczba, Jeśli będzie chcieli ją narysować, to będzie nasza wysokość. Zatem to może być wysokość powierzchni. Pokażę wam jak wygląda powierzchnia, na wypadek gdybyście nie pamiętali. Nastepnie policzymy objętość pod tą powierzchnią. To jest powierzchnia. Podam wam wzór funkcji za chwilę, ale wygląda całkiem zgrabnie. Jak możecie zobaczyć, to powierzchnia. Wygląda jak wygięty kawałek papieru. Obrócę ją do tradycyjnej formy. To jest kierunek osi x-ów, a to osi y-ów. A wysokość to funkcja tego, gdzie znajdujemy się na płaszczyźnie xy. Zatem jak policzyć objętość pod powierzchnią taką jak ta? Jak obliczyć objętość? Wydaje się to dość trudne, biorąc pod uwagę co się nauczyliśmy dotychczas. Narysuję teraz abstrakcyjną powierzchnię, narysuję osie. Popatrzmy, to jest moja oś x-ów, to jest moja oś y-ów, a to oś z-ów. Nie ćwiczę tych wykładów wcześniej, więc często zastanawiam się co narysować. Dobrze. Zatem to jest x, to jest y, a to jest z. Powiedzmy, że mam pewną powierzchnię. Po prostu coś narysuję. Nie wiem co to jest. Jakaś powierzchnia. To jest nasza powierzchnia. z jest funkcją od x i y. Przykładowo, dajecie mi współrzędne na płaszczyźnie xy. Powiedzmy tutaj, wstawiam je do funkcji i otrzymuję wartość z. Narysuję ją tutaj i będzie to punkt na płaszczyźnie. Zatem chcemy policzyć objętość pod powierzchnią. Musimy najpierw ustalić granice całkowania, prawda? Od, powiedzmy, x równego a do x równego b. Zróbmy najpierw kwadratowy obszar, bo jest to najprostszy przypadek. Zatem obszar x-ów i y-ów tej części powierzchni, pod którą chcemy obliczyć objętość, jej cień, jeśli słońce byłoby dokładnie ponad nią, byłby tutaj. Postaram się narysować to porządnie. Zatem to jest to, czego objętość chcemy obliczyć. Jeśli będziemy chcieli narysować to w płaszczyźnie xy, tak jakby zobaczyć rzut tej powierzchni na płaszczyznę xy, lub cień powierzchni na płaszczyźnie xy. Jakie są granice? Praktycznie to widać - jakie są granice dziedziny? Powiedzmy, że ten punkt, dokładnie tutaj, to (0, 0) na płaszczyźnie xy. Powiedzmy, że to jest y równe a. To jest ta linia. y jest równe a. I powiedzmy, że ta linia to x równe b. Mam nadzieję, że rozumiecie? To jest płaszczyzna xy. Jeśli x byłoby stałe, byłaby to taka linia. Przy stałym y taka linia. I obszar pomiędzy nimi. Zatem jak obliczamy objętość pod powierzchnią? Jeśli chciałbym obliczyć pole tego kawałka. Powiedzmy, że mamy a - nie, pozwólcie, że przedstawię to inaczej. Powiedzmy, że mamy stałe y. Zatem mam jakiś kawałek. Nie chcę Wam namieszać. Powiedzmy, że mam stały y. Chcę tylko dać intuicję. Dobrze, nie wiem co to jest, to jest dowolny y. Ale dla stałego y, co jeśli mógłbym obliczyć pole powierzchni pod tą krzywą? Jak mógłbym obliczyć pole powierzchni pod tą krzywą? To będzie funkcja od y, którego wybrałem. Jesli wybiorę y tutaj, będzie to inna powierzchnia. A jeśli wybiorę y tutaj, będzie to jeszcze inna powierzchnia. Ale teraz otrzymałem problem bardzo podobny do tego, co robiłem powyżej. Mam moje dx - użyję jaskrawego koloru, żebyście mogli to zobaczyć. To jest dx, tak? To jest zmiana w x. Wówczas wysokość będzie funkcją od x i od y, którego wybrałem. Chociaż zakładam, że y jest stałe. Zatem jakie będzie pole tego kawałka papieru. To jest ustalony y. Jest częścią, jest kawałkiem papieru wewnątrz tej bryły. Możecie to zobaczyć. Wysokość każdego prostokąta to będzie f(x,y). To jest wysokość. Zależy od x i y, które wybraliśmy. A szerokość to będzie dx. Teraz jeśli to scałkujemy od x równego 0, do x równego b, jak to będzie wyglądać? Będzie wyglądać tak: x chodzi od 0 do b. Dość dokładnie. A to da nam funkcję od y. To da nam takie wyrażenie, że będę znał pole powierzchni tego kawałka dla dowolnej wartości y. Jeśli dacie mi y, ja podam Wam pole powierzchni kawałka odpowiadającemu temu y. Co mogę zrobić dalej? Jeśli znam pole każdego kawałka, co jeśli pomnożę pole tego kawałka razy dy? To jest dy. Narysuję go w nowym jaskrawym kolorze. dy to bardzo mała zmiana y. Jeśli przemnożę pole powierzcni razy małe dy, otrzymam wycinek bryły. Mam nadzieję, że to brzmi sensowanie. Robię to poprzez przenoszenie tego małego wycinka, którego liczyłem pole, do trzech wymiarów. Zatem jaka będzie objętość tego kawałka. Objętością tego kawałka będzie ta funkcja y, albo cała ta całka, razy dy. Zatem to będzie całka od 0 do b z f(x, y,) dx, to daje nam pole tego niebieskiego obszaru. Teraz jeśli pomnożę to wszystko przez dy, otrzymuję objętość. To dostaje głębokości. Ten mały obszar, który właśnie zarysowuję, dostaje głębokości tego fragmentu. Teraz, jeśli zsumuję wszystkie fragmenty, które mają głębokość. Jeśli policzę nieskończoną sumę, czyli jeśli policzę całkę z tego od mojej dolnej granicy y, czyli od 0, do mojej górnej granicy y, czyli a, wtedy, intuicyjnie, obliczę objętość bryły pod tą powierzchnią. Tak czy inaczej, nie chcę Was zdezorientować. Taka jest intuicja stojąca za tym, co będziemy robić. I myślę, że odkryjecie, że obliczanie objętości jest właściwie dość proste, szczególnie jeśli mamy ustalone granice x i y. Tym zajmiemy się w następnym filmiku. Do zobaczenia.