Całka krzywoliniowa przykład 2 (część 1)

Całka po krzywej zamkniętej. Powiedzmy, że mam funkcję f zmiennych x i y. Funkcja f(x,y) jest równa x dodać y do kwadratu. Spróbuję ją narysować, zobaczmy czy uda mi się to zrobić. To moja oś Y - dodam do rysunku trochę perspektywy - to moja oś X - rysuję też części ujemne, mógłbym je rysować też w innym kierunku - tutaj jest moja oś X. Gdybym chciał narysować wykres tej funkcji dla y=0, to byłaby to tylko - narysuję ją na żółto - byłaby to tylko prosta, która wyglądałaby mniej więcej tak. Następnie, dla każdego ustalonego x będziemy mieli parabolę dla zmiennej y. Zmienna y będzie wyglądać mniej więcej tak. Narysuję ją zatem tylko w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Sytuacja wygląda więc mniej więcej tak: (rysunek) Właściwie, gdybyśmy wzięli y ujemne to zobaczylibyśmy drugą połowę tej paraboli, ale nie zamierzam się tym zbytnio przejmować. Będziemy mieć więc taką powierzchnię, która wygląda mniej więcej tak. Może spróbuję narysować ją ponownie. To będzie nasz punkt wyjścia, z którym zamierzamy ponownie pracować. Narysuję teraz ścieżkę w płaszczyźnie XY. Zacznę w punkcie (2,0). W nim x=2 i y=0. Będę się teraz przemieszczać, dokładnie jak w poprzednim filmie, będę się przemieszczać po okręgu, ale tym razem okrąg będzie miał promień równy 2. Poruszam się po tym okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Okrąg ten znajduje się w płaszczyźnie XY, żeby było dobrze widać całą sytuację. Tym punktem tutaj jest punkt (0,2). Teraz będę poruszał się wzdłuż osi Y, wciąż rysując moją ścieżkę, do punktu przecięcia się z osią X. Skręcając teraz w lewo, będę teraz przemieszczał się wzdłuż osi X, do mojego punktu startowego. (rysunek) Wykorzystałem dwa odcienie koloru zielonego. Tak powstał mój kontur. Co chciałbym teraz zrobić, to obliczyć pole powierzchni tego jak gdyby budynku, którego dachem jest wykres funkcji f(x,y) daną wzorem f(x,y)=x+y^2, oraz pole powierzchni ścian tego budynku. Nasza ściana to ten obszar; jego podstawą jest oś X. Kolejną ścianą jest ta, która opiera się na krzywej; będzie wyglądać na odjechaną ścianę wzdłuż tej krzywej strony. Spróbuję narysować ją jak najlepiej - będzie ona zagięta w ten sposób. Bazą kolejnej ściany będzie oś Y. (rysunek) Ściana ta będzie także krzywa, a krzywizną będzie połowa paraboli. Narysuję tę tylną ścianę opierającą się na osi Y. Pokoloruję ją na różowo. To jest nasza tylna ściana wzdłuż osi Y. Zajmijmy się teraz przednią ścianą opierającą się na osi X. (kolor żółty) Została nam jeszcze ta krzywa ściana, czy zasłona - niech będzie niebieska - która opiera się na tej krzywej tutaj, będącej łukiem okręgu o promieniu 2. Mam nadzieję, że łapiesz tę wizualizację. Teraz będzie trochę trudniej. W tym momencie nie będę korzystał z żadnego programu graficznego. Chcę jakoś jednak wykombinować szukane pole powierzchni, będące sumą pól powierzchni naszych trzech ścian. Korzystając z prostej notacji moglibyśmy powiedzieć, że pole powierzchni tych ścian - tej ściany plus tej ściany i plus tej ściany - będzie równe liniowej całce wzdłuż tej krzywej -- bądź wzdłuż tego konturu, zależnie od nazwy, jaką wolisz -- z funkcji f(x,y), czyli z funkcji x+y^2, dS, gdzie dS jest po prostu bardzo krótkim łukiem konturu. Ponieważ jest to krzywa zamknięta, to całkę tę nazywiemy całką okrężną. Czasem spotkamy się z taką notacją: (napis) Jest ona często spotykana w książkach do fizyki i będziemy z niej często korzystać. Oznaczamy ją rysując okrąg na znaku całki. Oznacza to, że kontur, którym się zajmujemy jest konturem zamkniętym. Wracamy do naszego problemu. Jak obliczyć taką całkę? Dobrym pierwszym krokiem jest próba znalezienia konturu samego w sobie. Aby uprościć ten problem, podzielimy nasz kontur na trzy części i obliczymy trzy oddzielne całki krzywoliniowe. Jak wiesz, nie jest to bardzo ciągły kontur. Zatem pierwsza część. Zajmijmy się pierwszą częścią krzywej, gdzie poruszamy się po okręgu o promieniu 2. To dość proste do skonstruowania. Jeśli mamy zmienną x -- każdą część konturu oznaczę innym kolorem, biorąc więc pomarańczowy dla tej części -- gdyby, powiedzmy, x=2cos(t), y=2sin(t) oraz jeśli zmienna t --a ta część to właściwie powtórzenie tego, co widzieliśmy w poprzednim filmie -- jeśli zmienna t, która jest większa lub równa 0 oraz mniejsza lub równa pi/2, t będzie oznaczała kąt, który kreślimy poruszając się po rozważanym łuku. To właściwie opis tej ścieżki. Jeśli konstrukcja ta jest dla ciebie niezbyt zrozumiała, powinieneś ponownie zobaczyć film o parametryzacjach. Mamy więc pierwszą cześć naszej ścieżki. Zatem aby znaleźć pole powierzchni tej tutaj ściany, wiemy, że musimy znaleźć dx/dt oraz dy/dt. Obliczmy to zatem. Zatem dx/dt będzie się równać -2sin(t), dy/dt będzie równe 2cos(t). To po prostu pochodne względem t tych tutaj funkcji. Widzieliśmy to już wiele razy. Zatem, jeśli chcemy mieć pole powierzchni tej pomarańczowej ściany, możemy obliczyć całkę -- jeśli nie do końca wiesz, co się tu dzieje, to w dwóch poprzednich filmikach wyprowadziłem mniej więcej ten wzór -- obliczamy całkę zmiennej t w granicach od 0 do pi/2 z naszej funkcji x+y^2 pomnożonej przez dS. Oznacza to, że x+y^2 będzie wyznaczało nam wysokość każdego małego bloczka. Następnie chcemy mieć szerokość każdego tego małego bloczka, czym jest dokładnie dS, ale wiemy, że możemy zapisać dS jako pierwiastek kwadratowy -- zróbmy tu trochę miejsca -- z pochodnej dx/dt, czyli z -2sin(t) podniesionej d kwadratu, dodać dy/dt, również podniesionej do kwadratu, czyli kwadrat wyrażenia 2cos(t), dt. To da nam pole powierzchni pomarańczowej części, zatem możemy później zająć się pozostałymi dwoma ścianami. Zastanówmy się, jak uprościć ten wzór. Cóż, powierzchnia ta będzie równa całce od 0 do pi/2 z funkcji x+y^2. W zasadzie zapiszę wszystko w zależności od zmiennej t. Mamy, że x=2cos(t). Wstawmy więc ten wzór. Piszemy więc 2cos(t) dodać y, które jest równe 2sin(t) i podniesiemy to do kwadratu. I teraz mnożymy to przez ten zwariowany pierwiastek. W tym momencie wygląda to na trudne zadanie znalezienia funkcji pierwotnej albo skomplikowaną całkę do obliczenia, ale przekonamy się, że nie jest taka zła. Mamy więc pod pierwiastkiem cztery sin(t) kwadrat dodać cztery cos(t) podniesione do kwadratu. Możemy wyłączyć liczbę 4 przed nawias. Nie możemy zapomnieć o dt. Popatrzmy na to wyrażenie - uproszczę je przez co nie będę musiał go przepisywać. Zauważmy, że jest to to samo, co pierwiastek kwadratowy z wyrażenia 4 razy suma kwadratu sinusa t i kwadratu cosinusa t. Wiemy, że jest to równe 1 (jedynka trygonometryczna). Zatem całe to wyrażenie upraszcza się do pierwiastka kwadratowego z 4, co jest równe 2. Więc całe to wyrażenie upraszcza się do liczby 2, co jest niezwykle pożyteczne dla policzenia całki. Oznacza to mnóstwo uproszczeń. Więc całe wyrażenie podcałkowe upraszcza się do -- napiszę to w tym miejscu. Nie chcę tracić zbyt dużo miejsca - w końcu trzeba obliczyć powierzchnię jeszcze dwóch ścian -- mamy całkę po t od 0 do pi/2. Chcę to dokładnie wytłumaczyć. Wybrałem najprostszą parametryzację łuku jaką mogłem wybrać dla x i y. Mogłem wybrać inne parametryzacje, ale wtedy musiałbym odpowiednio zmienić zakres zmiennej t. Jeśli tylko jesteś pewien tego, jak działa twoja parametryzacja, powinien wyjść dobry wynik. Dla tej krzywej istenieje więcej niż jedna parametryzacja. Każda z nich zależy tylko od tego, jak szybko chcesz się poruszać wzdłuż krzywej. Koniecznie oglądnij filmy dotyczące parametryzacji, jeśli chcesz bardziej zgłębić to zagadnienie. W każdym razie, wyrażenie podcałkowe upraszcza się. Mamy tutaj tę dwójkę. 2 razy 2cos(t) daje nam 4cos(t). Następnie mamy 2sin(t) do kwadratu, zatem mamy 4 kwadraty sinusa z t. (napis) Mnożąc jeszcze przez 2, otrzymujemy 8 kwadratów sinusa z t. Piszemy więc 8 kwadratów sinusa z t, dt. Co wiemy o kwadracie sinusa; jest to dość trudne aby znaleźć dla tej funkcji funkcję pierwotną, ale pamiętajmy że kwadrat sinusa jakiejkolwiek zmiennej, powiedzmy, sinus kwadrat zmiennej u jest równy 0.5(1-cos(2u)). Skorzystajmy więc z tej zależności. Wstawmy zmienną t zamiast u i otrzymujemy, że kwadrat sinusa t jest równy 0.5(1-cos(2t)). Przepiszę to wszystko, aby ułatwić sobie liczenie całki. Mamy całkę od 0 do pi/2 --właściwie mogę to rozbić na sumę dwóch całek, w zasadzie nie będę nic rozbijał -- całkę z 4cos(t) dodać 8 razy to wyrażenie. 8 razy to wyrażenie; to to samo co kwadrat sinusa t. Więc 8 razy to -- 8 razy 1/2 to 4 --4 razy 1-cos(2t) -- używając malutkiej tożsamości trygonometrycznej -- piszemy to wszystko i dt. To już powinno być dość rozsądną fukcją do znalezienia jej funkcji pierwotnej. Zobaczmy co mamy. Funkcja pierwotna tego to funkcja pierwotna kosinusa zmiennej t, czyli sinus zmiennej t. Pochodną sinusa jest kosinus. Mamy zatem 4sin(t) - stałe nie zmieniają funkcji pierwotnej - a zatem, włączę tę czwórkę do nawiasu, mamy więc 4 razy 1, co wynosi 4, minus 4 cos(2t). Funkcja pierwotna z czwórki to 4t, plus 4t, a następnie funkcja pierwotna z minus 4 cos(2t). Zobaczmy, że będzie to sin(2t). (napis) Pochodna sin(2t) wynosi 2cos(2t). Musimy postawić tutaj znak minusa oraz dwójkę, i teraz już powinno wyjść. Jaka jest pochodna funkcji -2sin(2t)? Pochodna funkcji wewnętrznej to 2, zatem 2 razy -2 to -4. A pochodna sin(2t) zmiennej 2t to cos(2t). Wyszło! Znaleźliśmy funkcję pierwotną. Teraz obliczamy ją w granicach od 0 do pi/2. (napis) I co otrzymujemy? Otrzymujemy 4 sinusy - zapiszę to, nie chcę opuszczać zbyt wielu składników - sin(pi/2) dodać 4 razy pi/2 co w sumie daje 2 pi, odjąć 2 razy sin(2*(pi/2)), czyli sin(pi), a następnie odjąć wszystkie te wyrażenia obliczone dla t=0. To właściwie jest dość jasne, bo sin(0)=0, 4 razy 0 to 0, sin(2*0) to również 0. Zatem wszystko dla t=0 znika. Co więc otrzymujemy? sinus pi/2 -- wiem, że to sinus 90 stopni, to to samo, czyli równe 1. Następnie sin(pi) wynosi 0, bo to sinus 180 stopni. Czyli to wszystko kasuje się. Jedyne co nam zostało to 4 plus 2 pi. Obliczyliśmy zatem pole powierzchni tej pierwszej, krzywej ściany. Szczerze mówiąc, to najtrudniejszy fragment. Teraz obliczymy pole powierzchni tej różowej ściany. Zaraz zobaczysz, że obliczenie powierzchni ścian opartych na osiach X i Y są o wiele, o wiele prostsze, ale będziemy musieli znaleźć dla nich inne parametryzacje. Zajmujmy się tą krzywą tutaj i znajdźmy jej parametryzację. Właściwie, wiesz co? Będę kontynuować rozwiązanie w następnym filmie, bo zdałem sobie sprawę, że rozwiązanie tego jednego problemu trwało trochę za długo. Obliczę pole powierzchni pozostałych ścian i później je zsumujemy.