Główna zawartość
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4
Lekcja 1: Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnychCałka krzywoliniowa przykład 2 (część 2)
Part 2 of an example of taking a line integral over a closed path. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
1<br/>00:00:00,000 --> 00:00:00,600<br/>W poprzednim filmie 2<br/>00:00:00,600 --> 00:00:03,740<br/>zajęliœmy się problemem obliczeniapola powierzchni œcin 3<br/>00:00:03,740 --> 00:00:06,410<br/>tego dziwnego budynku, w którym 4<br/>00:00:06,410 --> 00:00:10,880<br/>zwieńczeniem œcian był wykres funkcji dwóch zmiennych, x i y, 5<br/>00:00:10,880 --> 00:00:15,800<br/>danej wzorem f(x,y)=x+y^2 , a podstawš tego budynku, 6<br/>00:00:15,800 --> 00:00:20,030<br/>albo, konturem œcian, była pewna œcieżka zamknięta 7<br/>00:00:20,030 --> 00:00:24,100<br/>złożona z łuku okręgu o promieniu 2 i œrodku w zerze, 8<br/>00:00:24,100 --> 00:00:27,230<br/>fragmentu osi Y oraz 9<br/>00:00:27,230 --> 00:00:29,450<br/>fragment osi X.I to był nasz budynek. 10<br/>00:00:29,450 --> 00:00:31,790<br/>Ponadto w poprzednim filmie obliczyliœmy 11<br/>00:00:31,790 --> 00:00:32,830<br/>pole powierzchni pierwszej ze œcian. 12<br/>00:00:32,830 --> 00:00:36,570<br/>Tak naprawdę prawdziwym problem, jaki rozważaliœmy, 13<br/>00:00:36,570 --> 00:00:40,730<br/>było obliczenie wartoœci całki krzywoliniowej wzdłuż krzywej zamkniętej. 14<br/>00:00:40,730 --> 00:00:44,360<br/>Mieliœmy całkę okrężnš po zamkniętej œcieżce C 15<br/>00:00:44,360 --> 00:00:51,770<br/>z funkcji f(x,y), pomnożonej zawsze przez 16<br/>00:00:51,770 --> 00:00:54,720<br/>długoœć bardzo malutkiej częœci naszej œcieżki, dS. 17<br/>00:00:54,720 --> 00:00:57,550<br/>Zapisujemy ten fakt w najbardziej abstrakcyjny sposób, jaki tylko jest możliwy. 18<br/>00:00:57,550 --> 00:00:59,800<br/>Tak jak widzieliœmy w poprzednim filmie,najprostsza metoda rozwišzania tego problemu 19<br/>00:00:59,800 --> 00:01:02,560<br/>polega na rozbiciu krzywej na kilka częœci składowych 20<br/>00:01:02,560 --> 00:01:03,990<br/>albo na rozbiciu na wiele podproblemów. 21<br/>00:01:03,990 --> 00:01:06,700<br/>Możesz sobie więc wyobrazić nasz kontur,całš tę œcieżkę 22<br/>00:01:06,700 --> 00:01:08,900<br/>nazwiemy C,ale częœć rozważanš w poprzednim filmie 23<br/>00:01:08,900 --> 00:01:11,330<br/>nazwiemy sobie C1. 24<br/>00:01:11,330 --> 00:01:15,430<br/>W tej częœci możemy nazwać, narysuję strzałkę,tę częœć jako C2, 25<br/>00:01:15,430 --> 00:01:17,010<br/>a ta strzałka wskazuje na krzywš C3. 26<br/>00:01:17,010 --> 00:01:21,640<br/>Możemy więc zmienić nasz problem lub rozbić go,naszš całkę krzywoliniowš, 27<br/>00:01:21,640 --> 00:01:24,540<br/>całkę okrężnš, na 3 całki po krzywych, które nie sš zamknięte. 28<br/>00:01:24,540 --> 00:01:30,340<br/>Wyjœciowa całka będzie wtedy równa sumiecałek krzywoliniowych 29<br/>00:01:30,340 --> 00:01:40,560<br/>z funkcji f(x,y) dS po krzywej C1, po krzywej C2 30<br/>00:01:40,560 --> 00:01:44,900<br/>oraz, jak mogłeœ się spodziewać, po krzywej C3. 31<br/>00:01:44,900 --> 00:01:50,930<br/>W poprzednim filmie udało się nam 32<br/>00:01:50,930 --> 00:01:53,340<br/>obliczyć pierwszš całkę, pole powierzchni 33<br/>00:01:53,340 --> 00:01:54,490<br/>tej tutaj krzywej œciany. 34<br/>00:01:54,490 --> 00:01:59,870<br/>Jej pole powierzchni wynosiło 4+2pi. 35<br/>00:01:59,870 --> 00:02:02,960<br/>Teraz zajmiemy się obliczeniem pozostałych dwóch częœci. 36<br/>00:02:02,960 --> 00:02:06,850<br/>Zajmijmy się całkš po krzywej C2, niech ona będzie kolejna. 37<br/>00:02:06,850 --> 00:02:08,600<br/>Aby jš znaleŸć, musimy znaleŸć 38<br/>00:02:08,600 --> 00:02:10,540<br/>innš parametryzację zmiennych x i y. 39<br/>00:02:10,540 --> 00:02:12,620<br/>Będzie ona inna niż ta przedstawiona w poprzednim filmie. 40<br/>00:02:12,620 --> 00:02:14,570<br/>Nie znajdujemy się już na łuku okręgu, 41<br/>00:02:14,570 --> 00:02:16,390<br/>teraz jesteœmy na osi Y. 42<br/>00:02:16,390 --> 00:02:18,570<br/>Zatem tak długo jak się na niej znajdujemy, 43<br/>00:02:18,570 --> 00:02:19,750<br/>x na pewno będzie stale równe 0. 44<br/>00:02:19,750 --> 00:02:22,060<br/>Zatem jest to moja parametryzacja, x=0. 45<br/>00:02:22,060 --> 00:02:25,070<br/>Jeœli przesuwamy się po osi Y, x na pewno jest równe 0. 46<br/>00:02:25,070 --> 00:02:30,710<br/>Teraz pora na y. Moglibyœmy powiedzieć, że startujemy w punkcie, gdzie y wynosi 2. 47<br/>00:02:30,710 --> 00:02:37,790<br/>Powiedzmy może, że y jest równe 2-t dla t większego lub równego 0 48<br/>00:02:37,790 --> 00:02:40,230<br/>oraz mniejszego lub równego 2. 49<br/>00:02:40,230 --> 00:02:41,270<br/>To powinno działać. 50<br/>00:02:41,270 --> 00:02:44,300<br/>Gdy t jest równe 0, jesteœmy w tym punkcie, 51<br/>00:02:44,300 --> 00:02:47,900<br/>a gdy roœnie do 2, poruszamy się w dół osi Y. 52<br/>00:02:47,900 --> 00:02:50,270<br/>Gdy w końcu t=2 53<br/>00:02:50,270 --> 00:02:51,080<br/>jesteœmy w tym punkcie. 54<br/>00:02:51,080 --> 00:02:52,780<br/>Więc jest to nasza parametryzacja. 55<br/>00:02:52,780 --> 00:02:55,530<br/>Możemy zatem napisać równanienaszej linii 56<br/>00:02:55,530 --> 00:02:57,250<br/>oraz obliczyć pochodnejeœli chcemy. 57<br/>00:02:57,250 --> 00:02:59,920<br/>Szukamy pochodnej, napiszę jš tutaj. 58<br/>00:02:59,920 --> 00:03:01,290<br/>Czym jest dx/dt? 59<br/>00:03:01,290 --> 00:03:02,230<br/>Mamy jš danš właœciwie wprost. 60<br/>00:03:02,230 --> 00:03:09,550<br/>Pochodna 0 wynosi 0,a pochodna dy/dt jest równa 61<br/>00:03:09,550 --> 00:03:10,400<br/>pochodnej tego. 62<br/>00:03:10,400 --> 00:03:11,930<br/>Wynosi ona -1, prawda? 63<br/>00:03:11,930 --> 00:03:17,030<br/>2-t, pochodna funkcji -t to po prostu -1. 64<br/>00:03:17,030 --> 00:03:19,940<br/>Wykorzystajmy więc te zależnoœci. 65<br/>00:03:19,940 --> 00:03:23,540<br/>Mamy wszystko pod rękš, zatem 66<br/>00:03:23,540 --> 00:03:25,635<br/>obliczamy całkę po C2. 67<br/>00:03:25,635 --> 00:03:28,490<br/>Zamiast pisać C2, zostawię C2 tutaj,powiemy, że będziemy liczyć całkę 68<br/>00:03:28,490 --> 00:03:35,450<br/>dla t w granicach od 0 do 2z funkcji dwóch zmiennych f(x,y). 69<br/>00:03:35,450 --> 00:03:42,690<br/>f(x,y) jest tym wyrażeniem, czyli x+y^2 70<br/>00:03:42,690 --> 00:03:44,090<br/>i następnie mnożymy 71<br/>00:03:44,090 --> 00:03:47,420<br/>przez dS. 72<br/>00:03:47,420 --> 00:03:50,410<br/>Z poprzednich filmów wiemy, że dSmoże być zapisane 73<br/>00:03:50,410 --> 00:03:57,350<br/>jako pierwiastek kwadratowy z dx/dt do kwadratu,zatem podnosimy 0 do kwadratu, 74<br/>00:03:57,350 --> 00:04:02,340<br/>dodać dy/dt do kwadratu, więc -1 do kwadratu to 1, 75<br/>00:04:02,340 --> 00:04:03,910<br/>i wszystko razy dt. 76<br/>00:04:03,910 --> 00:04:07,390<br/>Jak widzimy jest doœć porzšdne. 77<br/>00:04:07,390 --> 00:04:11,640<br/>Mamy tutaj 0 plus 1, z tego pierwiastek,więc otrzymujemy 1. 78<br/>00:04:11,640 --> 00:04:13,260<br/>Czym jest zatem x? 79<br/>00:04:13,260 --> 00:04:16,330<br/>x, tak jak napisaliœmy w parametryzacji, 80<br/>00:04:16,330 --> 00:04:19,780<br/>zawsze będzie równe 0,a y do kwadratu będzie równe 81<br/>00:04:19,780 --> 00:04:21,280<br/>2-t podniesione do kwadratu. 82<br/>00:04:21,280 --> 00:04:24,490<br/>Czyli piszemy (2-t) do kwadratu. 83<br/>00:04:24,490 --> 00:04:28,020<br/>Czyli to całe skomplikowane wyrażenieuproœciło się, zatem 84<br/>00:04:28,020 --> 00:04:34,240<br/>mamy całkę od 0 do 2, 85<br/>00:04:34,240 --> 00:04:37,330<br/>x znika w parametryzacji i wynosi stale 0, niezależnie 86<br/>00:04:37,330 --> 00:04:41,070<br/>od wartoœci t. Następnie mamy y kwadrat, ale 87<br/>00:04:41,070 --> 00:04:47,180<br/>y to 2-t, więc wstawiamy (2-t) kwadrat. 88<br/>00:04:47,180 --> 00:04:48,440<br/>Zostaje nam jeszcze dt. 89<br/>00:04:48,440 --> 00:04:49,840<br/>Mamy dane to prawie wprost. 90<br/>00:04:49,840 --> 00:04:52,910<br/>Zawsze wydaje mi się prostsze,że gdy szuka się 91<br/>00:04:52,910 --> 00:04:55,780<br/>funkcji pierwotnej takiego wyrażenia,mimo, że 92<br/>00:04:55,780 --> 00:04:59,610<br/>można zrobić to w głowie,lepiej jest wymnożyć 93<br/>00:04:59,610 --> 00:05:00,720<br/>ten dwumian. 94<br/>00:05:00,720 --> 00:05:04,340<br/>Zatem całka ta będzie równafunkcji pierwotnej zmiennej t 95<br/>00:05:04,340 --> 00:05:16,230<br/>w granicach od od 0 do 2 z funkcji4 - 4t + t^2 , 96<br/>00:05:16,230 --> 00:05:21,690<br/>t kwadrat, o właœnie tak, dt. 97<br/>00:05:21,690 --> 00:05:23,290<br/>A to jest doœć proste. 98<br/>00:05:23,290 --> 00:05:27,150<br/>Funkcja pierwotna będzie wynosić 99<br/>00:05:27,150 --> 00:05:32,750<br/>4t -2t^2 (t kwadrat), prawda? 100<br/>00:05:32,750 --> 00:05:34,580<br/>Gdy liczyć pochodnš, masz: 2 razy -2 101<br/>00:05:34,580 --> 00:05:43,200<br/>to -4t, a póŸniej mamy 1/3 razy t do potęgi trzeciej,prawda? 102<br/>00:05:43,200 --> 00:05:45,190<br/>To sš proste funkcje pierwotne, 103<br/>00:05:45,190 --> 00:05:48,300<br/>które obliczamy w granicach od 0 do 2. 104<br/>00:05:48,300 --> 00:05:50,180<br/>Obliczmy zatem wartoœć w 2. 105<br/>00:05:50,180 --> 00:05:54,140<br/>4 razy 2 to 8; wezmę inny kolor. 106<br/>00:05:54,140 --> 00:06:02,560<br/>4 razy 2 to 8, minus 2 razy 2 kwadrat, więc 2 razy 4, zatem -8, 107<br/>00:06:02,560 --> 00:06:08,800<br/>dodać 1/3 razy 2 do szeœcianu. 108<br/>00:06:08,800 --> 00:06:10,910<br/>Czyli 1/3 razy 8. 109<br/>00:06:10,910 --> 00:06:11,970<br/>Więc to się kasuje. 110<br/>00:06:11,970 --> 00:06:15,530<br/>Mamy 8 minus 8 i otrzymujemy 8/3. 111<br/>00:06:15,530 --> 00:06:17,530<br/>Czyli cała całka wynosi 8/3. 112<br/>00:06:17,530 --> 00:06:20,470<br/>Następnie od wyniku musimy odjšć wartoœć w zerze, 113<br/>00:06:20,470 --> 00:06:21,320<br/>ale ona wyniesie i tak 0. 114<br/>00:06:21,320 --> 00:06:24,180<br/>Mamy 4 razy 0, 2 razy 0, i wszystko w sumie da nam 0. 115<br/>00:06:24,180 --> 00:06:25,730<br/>Czyli od wyniku odejmujemy 0. 116<br/>00:06:25,730 --> 00:06:27,700<br/>Zatem obliczyliœmy pole powierzchni 117<br/>00:06:27,700 --> 00:06:30,210<br/>drugiej œciany.. 118<br/>00:06:30,210 --> 00:06:34,250<br/>Wyniosła ona dokładnie 8/3. 119<br/>00:06:34,250 --> 00:06:35,890<br/>Pozostała nam ostatnia œciana 120<br/>00:06:35,890 --> 00:06:37,380<br/>i póŸniej zsumujemy wyniki. 121<br/>00:06:37,380 --> 00:06:40,640<br/>Mamy więc tę ostatniš œcianę. 122<br/>00:06:40,640 --> 00:06:41,800<br/>Użyję kolejnej parametryzacji. 123<br/>00:06:41,800 --> 00:06:44,180<br/>Chcę mieć tutaj rysunek.... 124<br/>00:06:44,180 --> 00:06:46,620<br/>Może go po prostu skopiuję. 125<br/>00:06:46,620 --> 00:06:46,990<br/>O jest. 126<br/>00:06:46,990 --> 00:06:49,590<br/>Mamy ponownie rysunek. 127<br/>00:06:49,590 --> 00:06:52,250<br/>Teraz zajmiemy się ostatniš œcianš. 128<br/>00:06:52,250 --> 00:06:54,870<br/>Nasza ostatnia œciana, to ta tutaj, 129<br/>00:06:54,870 --> 00:06:56,930<br/>która, możemy napisać, opiera się na C3. 130<br/>00:06:56,930 --> 00:06:59,750<br/>Zmieńmy kolory. 131<br/>00:06:59,750 --> 00:07:06,420<br/>Więc to jest C; będziemy poruszać sięwzdłuż konturu C3, nasza funkcja 132<br/>00:07:06,420 --> 00:07:10,170<br/>to dalej f(x,y), czyli jak poprzednio.Zróbmy parametryzację. 133<br/>00:07:10,170 --> 00:07:14,580<br/>Wzdłuż tej krzywej, gdy powiemy, że x jest równe t, 134<br/>00:07:14,580 --> 00:07:17,770<br/>bardzo wprost, dla t większego lub równego 0 135<br/>00:07:17,770 --> 00:07:20,420<br/>oraz t mniejszego lub równego 2,i cišgle jesteœmy na osi X, 136<br/>00:07:20,420 --> 00:07:23,520<br/>to y będzie stale równe 0. 137<br/>00:07:23,520 --> 00:07:25,650<br/>Ta parametryzacja jest doœć oczywista. 138<br/>00:07:25,650 --> 00:07:29,100<br/>Zatem nasza całka będzie równa, dla t w granicach 139<br/>00:07:29,100 --> 00:07:37,845<br/>od 0 to 2 z funkcji f(x,y), 140<br/>00:07:37,845 --> 00:07:41,860<br/>którš napiszę jako funkcję zmiennych x,y 141<br/>00:07:41,860 --> 00:07:44,760<br/>danej wzorem x+y^2, dS. 142<br/>00:07:44,760 --> 00:07:47,970<br/>Teraz, czym jest dx? Napiszę wartoœć dS w tym miejscu. 143<br/>00:07:47,970 --> 00:07:48,690<br/>Mnożę przez dS. 144<br/>00:07:48,690 --> 00:07:50,520<br/>Tym będziemy się teraz zajmować. 145<br/>00:07:50,520 --> 00:07:52,870<br/>Wiemy, czym jest dS. 146<br/>00:07:52,870 --> 00:08:01,030<br/>dS to pierwiastek kwadratowy z sumy 147<br/>00:08:01,030 --> 00:08:04,940<br/>dx/dt kwadrat plus dy/dt kwadrat. 148<br/>00:08:04,940 --> 00:08:06,510<br/>Udowodniliœmy to w poprzednim filmie. 149<br/>00:08:06,510 --> 00:08:08,690<br/>Właœciwie to formalnie nie udowodniliœmy,ale zobaczyliœmy 150<br/>00:08:08,690 --> 00:08:09,980<br/>dlaczego jest to prawdziwe. 151<br/>00:08:09,980 --> 00:08:12,560<br/>Czym jest pochodna x względem t? 152<br/>00:08:12,560 --> 00:08:15,890<br/>Wynosi ona po prostu 1,więc całoœć będzie równa 1, 153<br/>00:08:15,890 --> 00:08:17,250<br/>kwadrat 1 to 1,tyle samo. 154<br/>00:08:17,250 --> 00:08:19,030<br/>Pochodna y względem t wynosi 0. 155<br/>00:08:19,030 --> 00:08:22,840<br/>Więc to jest 0, 1 plus 0 to 1, pierwiastek z 1 to 1. 156<br/>00:08:22,840 --> 00:08:27,090<br/>Ta częœć staje się więc dt. 157<br/>00:08:27,090 --> 00:08:30,290<br/>W tym przypadku dS jest równe dt. 158<br/>00:08:30,290 --> 00:08:33,510<br/>Więc zostaje nam napisać dt. 159<br/>00:08:33,510 --> 00:08:37,515<br/>Wtedy x będzie równe t, 160<br/>00:08:37,515 --> 00:08:40,460<br/>co jest częœciš naszej definicji parametryzacji, 161<br/>00:08:40,460 --> 00:08:42,090<br/>y wynosi 0,więc możemy je zignorować. 162<br/>00:08:42,090 --> 00:08:43,710<br/>Więc była to niesamowicie prosta całka. 163<br/>00:08:43,710 --> 00:08:47,580<br/>Wszystko uproœciło się,liczymy całkę od 0 do 2 164<br/>00:08:47,580 --> 00:08:54,540<br/>z t dt, co jest równe funkcji pierwotnejz t, równej 165<br/>00:08:54,540 --> 00:08:58,240<br/>1/2 t kwadrat. Obliczamy jš w granicach od 0 do 2, co wynosi 166<br/>00:08:58,240 --> 00:09:01,160<br/>1/2 razy 2 kwadrat, 167<br/>00:09:01,160 --> 00:09:05,780<br/>2 kwadrat to 4, razy 1/2to 2, a następnie 168<br/>00:09:05,780 --> 00:09:08,410<br/>minus 1/2 razy 0, minus 0. 169<br/>00:09:08,410 --> 00:09:12,860<br/>Więc pole powierzchni trzeciej œciany to po prostu 2. 170<br/>00:09:12,860 --> 00:09:15,390<br/>Doœć jasne. 171<br/>00:09:15,390 --> 00:09:19,580<br/>Więc ta œciana ma pole powierzchni równe 2. 172<br/>00:09:19,580 --> 00:09:23,270<br/>Możemy już odpowiedzieć na pytanie -ile wynosi całka krzywoliniowa 173<br/>00:09:23,270 --> 00:09:27,420<br/>po tej krzywej zamkniętejz funkcji f(x,y)? 174<br/>00:09:27,420 --> 00:09:28,870<br/>Po prostu dodajemy obliczone wartoœci. 175<br/>00:09:28,870 --> 00:09:32,980<br/>Mamy 4 plus 2pi plus 8/3 plus 2.Ile to jest? 176<br/>00:09:32,980 --> 00:09:39,530<br/>8/3 to tyle samo co 2 i 2/3, więc mamy 4 plus 2 i 2/3 177<br/>00:09:39,530 --> 00:09:44,290<br/>czyli 6 i 2/3, plus kolejne 2 to 8 i 2/3, czyli szukana powierzchnia 178<br/>00:09:44,290 --> 00:09:47,880<br/>wynosi 8 i 2/3, jeœli napiszemyto jako liczbę mieszanš 179<br/>00:09:47,880 --> 00:09:50,470<br/>dodać 2pi. 180<br/>00:09:50,470 --> 00:09:51,550<br/>I gotowe! 181<br/>00:09:51,550 --> 00:09:52,190<br/>Zrobione. 182<br/>00:09:52,190 --> 00:09:55,210<br/>teraz możemy zaczšć zajmować sięcałkami krzywoliniowymi 183<br/>00:09:55,210 --> 00:09:57,460<br/>z funkcji o wartoœciach wektorowych. 184<br/>00:09:57,460 --> 00:09:57,600<br/>.