Example of calculating a surface integral part 1

. Widzieliśmy parę filmów temu, że możemy parametryzować torus lub też oponkę jako funkcję wielowymiarową od dwóch parametrów. I to jest wynik, który dostaliśmy. Chyba robiłem to przez kilka filmów, ponieważ to było trochę trudne. I napiszę na początek naszą funkcję wielowymiarową. Więc mamy r jako funkcję od naszych dwóch parametrów - s i t. Następnie przypomnę trochę, co te wszystkie wyrażenia - te s, t oraz a i b reprezentują. Ale to jest równe b plus a cosinus s. I jeszcze raz - widzieliśmy to kilka filmów temu. Więc warto zobaczyć filmy o parametryzacji powierzchni dwoma parametrami, aby dowiedzieć się, skąd to się wzięło. Razy sinus t. Będę pisał wyrażenia z s i wyrażenia z t różnymi kolorami. Razy nasz wektor jednostkowy i. Będę pisał wektory, wektory jednostkowe w tym pomarańczowym kolorze. Plus... Przechodzę znów do żółtego. Plus b plus a cosinus s razy cosinus t razy wektor jednostkowy j - wektor jednostkowy na osi y. Plus a sinus s razy wektor jednostkowy k lub też jednostkowy wektor na osi z. I żeby wygenerować torus lub też oponkę, to jest dobre dla parametrów... Ponieważ nie chcemy owijać się wiele razy wokół torusa, to s będzie pomiędzy 0 i 2 pi i t będzie pomiędzy 0 i 2 pi. To jest tylko przypomnienie, wszystko zrobiliśmy wcześniej i to co zamierzam zacząć w tym filmie, będzie robione przez kilka filmów. Ale powtórzmy, skąd to wszystko się wzięło. Rysuję oponkę. Najlepszy rysunek, jaki mogę wykonać. To wygląda jak oponka lub torus. I możesz myśleć, że torus lub oponka jest rodzajem produktu dwóch okręgów. Mamy jeden okrąg, który jest jakby przekrojem oponki w dowolnym punkcie. Możemy wziąć go tutaj. Lub tutaj. I mamy drugi okrąg, który okrąża wszystkie te okręgi, albo inaczej - te okręgi poruszają się wzdłuż niego. A więc, jeśli sięgamy do powyższego wzoru lub też parametryzacji, a jest promieniem tych "przekrojowych" okręgów. To jest a. To jest to, co wyraża literka a. Natomiast b to odległość od środka torusa do środka tych przekrojów. Zatem to jest b. Więc możesz myśleć o b jako promieniu dużego okręgu przechodzącego przez środek przekroju. a jest promieniem "przekrojowych" okręgów. I kiedy to parametryzowaliśmy, parametr s mówił nam, jak daleko... s mówił nam jak daleko przesunęliśmy się na tym okręgu. A więc to jest kąt od 0 do 2 pi, który mówi, gdzie jesteśmy na tym okręgu. A t mówi nam, jak bardzo przesunęliśmy się po tym większym okręgu. t mówi, jak daleko jesteśmy na większym okręgu. Więc, jeśli pomyślimy, to możemy określić dowolny punkt na tej oponce lub też tej powierzchni, albo torusie poprzez powiedzenie konkretnych s oraz t. I właśnie dlatego mówimy o parametryzacji. Głównym powodem, dla którego wróciłem do tych rzeczy, które widzieliśmy kilka filmów temu, jest to, że będziemy ich używali do obliczania konkretnej całki powierzchniowej. I ta całka, którą będziemy obliczać powie nam, jakie jest pole powierzchni tego torusa. Zatem oznaczam tę powierzchnię jako sigma i jest ona reprezentowana przez tę funkcję wielowymiarową. . Jest ona sparametryzowana przez te dwa parametry. I jeśli chcemy dowiedzieć się, jakie jest pole tej powierzchni... Wystarczy, że przedstawimy to jako całkę powierzchniową, którą widzieliśmy chyba na ostatnim filmie, a przynajmniej na ostatnim filmie o rachunku wektorowym. To jest całka powierzchniowa po tej powierzchni. Tutaj sigma nie oznacza sumy, ale oznacza powierzchnię wielu małych "d sigm" - - wielu małych kawałków powierzchni. Jako przypomnienie - możesz myśleć, że każde d sigma to mała łata na tej powierzchni. To jest d sigma. Tu mamy podwójną całkę, ponieważ chcemy dodać wszystkie d sigmy w dwóch wymiarach. Można myśleć, że to jest jeden rodzaj obrotu wokół torusa i później drugi kierunek, obracamy się w innym kierunku wokół torusa. Dlatego właśnie mamy całkę podwójną. I ta całka wyznacza pole powierzchni, które jest głównym punktem tego filmu i pewnie następnych, jednego lub dwóch. Jeśli chciałbyś pomnożyć te sigmy razy jakąś wartość - jeśli rozważasz jakieś pole skalarne - - możesz tę wartość tu wstawić. Ale na razie mnożymy tylko przez 1. Zobaczyliśmy na poprzednim filmie, że pole wyraża się właśnie w ten sposób, ale tak naprawdę nie możemy wykonać z tym wielu obliczeń. Ale można to wyrazić inaczej - po to by znaleźć tę całkę. To jest tak naprawdę to samo - widzieliśmy to na ostatnich kilku filmach. To jest to samo, co podwójna całka po obszarze, na którym są zdefiniowane nasze parametry. Zatem to jest ten obszar, gdzie s i t przechodzą od 0 do 2 pi. Z dowolnej funkcji jaka tu jest. Mamy 1, więc możemy napisać 1, jeśli chcemy - to wiele nie zmienia. Razy... I to jest to, czego się nauczyliśmy. Razy norma pochodnej r względem s... Norma tego pomnożonego wektorowo przez pochodną r względem t, ds... Możesz to brać w dowolnej kolejności, ale niech będzie ds, dt. Więc to widzieliśmy na ostatnim filmie. To, co teraz będziemy robić, to obliczanie tej całki. Główny punkt tego filmu. Bierzemy iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów. Znajdźmy te wektory. Na następnym filmie, weźmiemy iloczyn wektorowy. I następnie, na kolejnym filmie, obliczymy tę podwójną całkę. I zobaczysz, że to całkiem skomplikowana rzecz i to jest pewnie powód, że bardzo mało ludzi kiedykolwiek widzi, jak dokładnie obliczać całki powierzchniowe. A więc zacznijmy. Pochodna cząstkowa r względem s - to wyrażenie tutaj. Iloczyn wektorowy zrobimy na kolejnym filmie. To wyrażenie oznacza co? Chcemy trzymać t stałe i brać pochodną względem jedynie s. Zatem to na górze, jeśli patrzymy na sinus t razy b - to będzie stałe, traktując jako funkcję s, zatem możemy to pominąć. Teraz mamy sinus t razy to wyrażenie. Sinus t i a są stałe. Bierzemy pochodną cosinus s. Czyli minus sinus s. Zatem pochodna tego względem s będzie równa minus a - napiszę sinus t na zielono, aby było wiadomo, skąd to się wzięło. Sinus t i dalej sinus s. Pochodna tego to minus sinus s. Stąd się wziął minus I jeszcze dopisuję sinus s. Sinus s. Razy wektor jednostkowy i. To jest pochodna tylko wyrażenia x względem s. Następnie robimy to samo z y, lub też wyrażeniem z kierunkiem j. A więc plus - analogicznie - b razy cosinus t względem s - - pochodna tego względem s będzie 0, zatem zostaje a... Aha, to będzie znowu minus a, ponieważ, gdy bierzemy pochodną cosinus s, to dostajemy minus sinus s. Zapiszę to. Mamy minus a. Ten cosinus t. Minus a cosinus t. To jest stałe wyrażenie. Sinus s. Po prostu liczymy pochodne cząstkowe. Sinus s, j. sinus s, j. I na koniec bierzemy pochodną tego względem s. To całkiem proste. To będzie a cosinus s. A więc plus a cosinus s, k. Mam nadzieję, że to nie jest zbyt zagmatwane. Mamy ujemne sinusy, ponieważ pochodna cosinusa to minus sinus. Więc stąd ujemny sinus s. Dlatego mamy minus sinus s razy stała, minus sinus s razy stała, stała razy cosinus t, sinus t. Mam więc nadzieję, że to ma sens - po prostu przypomniałem liczenie pochodnych cząstkowych. Teraz zróbmy to samo względem t. Zróbmy to samo względem t. Zrobię to innym kolorem. Więc bierzemy teraz pochodną r względem t. Zatem pochodna r względem t jest równa... Więc teraz to całe wyrażenie jest stałe, więc to będzie to całe wyrażenie razy pochodna tego względem t, czyli cosinus t. Zatem to będzie b plus a cosinus s razy cosinus t, i. Następnie plus... Faktycznie tu będzie minus, ponieważ, gdy bierzemy pochodną tego względem t, to będzie minus sinus t. Zatem to będzie z minusem, zostawię trochę miejsca na to wyrażenie tutaj. Minus sinus t. I mamy jeszcze tu tę stałą. To jest stałe jako funkcja t. b plus a cosinus s. Dokładnie to wyrażenie. Pochodna cosinusa t to minus sinus t... Razy j. Następnie pochodne tego względem t... to jest po prostu stała jako funkcja t. Zatem pochodna będzie równa 0. Napiszę plus 0 k. plus 0... Napiszę wektory tym samym kolorem. Plus 0 razy wektor jednostkowy k. Zatem to daje nam nasze pochodne cząstkowe. Teraz musimy policzyć ich iloczyn wektorowy, potem znaleźć jego normę i następnie obliczyć tę całkę podwójną. Zrobię to na następnych paru filmach. .