Wprowadzenie do całki powierzchniowej

W ostatnim filmie skończyliśmy z tymi dwoma wynikami. Zaczęliśmy zastanawiać się co to znaczy liczyć pochodną cząstkową z funkcji wektorowej i otrzymałem dość zaskakujące, jak możecie nazwać, wyniki. Wiecie, po co właściwie to liczyliśmy, Sal? Ale celem jest, żebym dał wam odpowiednie narzędzia byście mogli zrozumieć czym są całki powierzchniowe. Więc zastanówmy się, narysujmy płaszczyznę s, t a potem zobaczmy, jak przekształcimy ją do powierzchni r. Więc do dzieła. Niech to będzie oś t, i powiedzmy, że tutaj będzie oś s. Załóżmy, że nasza funkcja wektorowa będzie zdefiniowana dla s pomiędzy a i b, biorę zupełnie dowolne granice, i dla t pomiędzy c i d. Dostajemy powierzchnię, jeśli weźmiesz dowolne t i s w tym prostokącie, zostanie ono przekształcone jako część nowej powierzchni. Jeśli zaznaczysz każdy z tych punktów, w rezultacie dostaniesz płaszczyznę r. Narysujmy r w 3 wymiarach. Płaszczyzna w 3D. To będzie oś X, to będzie oś Y a to będzie oś Z. Jako krótkie przypomnienie, może to wyglądać jakoś tak. Ten punkt tutaj, w którym s=a i t=c, pamiętajcie, że rysujemy płaszczyznę zdefiniowaną przez wektorową funkcję przemieszczenia r(s,t). Więc ten tutaj punkt, gdzie s=a, t=c, być może przechodzi w ten punkt. Tutaj. Gdy weźmiesz a i c, podstawisz tutaj dostaniesz wektor, który wskazuje do tego punktu. Więc możesz powiedzieć, że dostaniesz wektor przemieszczenia który będzie wskazywał na tę pozycję tutaj. I teraz powiedzmy, że ta linia tutaj jeśli s będzie stałe =a, a zmieniać będzie się tylko t, od c do d, może wyglądać jakoś tak... Rysuję jakąś przykładową linię. Może jeśli t będzie stałe =c, a s będzie zmieniać się od a do b to linia może wyglądać jakoś tak. Nie wiemy. Próbuję tylko pokazać przykładową wersję. Ten punkt tutaj, odpowiada temu punktowi kiedy podstawisz do funkcji wektorowej r, dostaniesz dokładny wektor, który wskazuje ten punkt. A ten fioletowy punkt, jeśli obliczysz r(s,t) da wektor, który wskazuje tutaj, do tego punktu. Możemy dodać jeszcze kilka punktów żebyście złapali ideę tego jak wygląda ta powierzchnia. Jednak na razie staram się by wszystko było jak najbardziej ogólne. To może weźmy niebieski kolor. To, jeśli zatrzymamy t na d, i zmieniać się będzie s od a do b zaczniemy tutaj. Bo to jest gdy t=d i s=a. A kiedy s się zmienia, może dostaniemy coś takiego. Nie wiemy. Tak, że ten punkt odpowiada wektorowi, który wskazuje tutaj, a ostatecznie ta linia, albo to, jeśli zatrzymamy s na b, i zmienimy t od c do d pójdziemy od tego punktu, do tego. I to będzie wyglądało jakoś tak -- przepraszam -- idziemy z tego punktu do tego. Zatrzymujemy s na b, zmieniamy t od c do d. Więc nasza powierzchnia zamieniła się z prostokąta ts w tę dziwacznie wyglądającą płaszczyznę. Możemy nawet narysować kilka innych rzeczy.