Główna zawartość

Kurs: Podstawy informatyki - program rozszerzony > Rozdział 1

Lekcja 2: Liczby w systemie dwójkowym

Liczby w systemie dwójkowym

📺 Czy wolałbyś uczyć się o liczbach binarnych z lekcji wideo? Po prostu pomiń ten artykuł i przejdź do filmów.

Ludzie przyzwyczajeni są do liczenia w systemie dziesiątkowym. Policzyć do dziesięciu? To bardzo proste:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Jak się właśnie dowiedzieliśmy, komputery reprezentują wszystkie informacje w bitach. Aby reprezentować liczby tylko

0

1

, komputery używają binarnego systemu liczbowego. Oto jak to wygląda, gdy komputer liczy do dziesięciu:

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

Przypomnienie: Liczby dziesiętne

Zanim zajmiemy się systemem dwójkowym, przypomnijmy sobie dobrze nam znany system dziesiątkowy. Ważną rolę w nauce liczenia w systemie dziesiątkowym odgrywa pozycja cyfry w danej liczbie: i tak, uczyliśmy się, że cyfra znajdująca się najbardziej na prawo jest na pozycji „jedności”, cyfra na lewo od niej oznacza „dziesiątki”, następna na lewo „setki” i tak dalej, i tak dalej.

Innym sposobem jest pomnożenie cyfry znajdującej się po prawej stronie przez

1

, cyfry znajdującej się po lewej stronie przez

10

, a cyfry znajdującej się dwa miejscach po lewej stronie przez

100

Przedstawmy w ten sposób liczbę

234

$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
pozycja setek	pozycja dziesiątek	pozycja jedności
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍

Mnożąc każdą cyfrę przez wartość pozycji, na której się znajduje, otrzymujemy, że

234

to liczba równa

(2 \cdot 100) + (3 \cdot 10) + (4 \cdot 1)

O pozycjach dziesiętnych możemy myśleć także w terminach potęg dziesięciu. Cyfrę, stojącą na miejscu jedności, mnożymy przez

10^{0}

, cyfrę stojącą na miejscu dziesiątek mnożymy przez

10^{1}

, a cyfrę stojącą na miejscu setek przez

10^{2}

, i tak dalej. Każdą kolejną cyfrę stojącą na kolejnej pozycji po lewej stronie mnożymy przez kolejną potęgę

10

2	3	4
pozycja setek	pozycja dziesiątek	pozycja jedności
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍
$10^{2}$ ‍	$10^{1}$ ‍	$10^{0}$ ‍

Liczby binarne

System dwójkowy oparty jest na podobnej zasadzie, co system dziesiątkowy. Różnica polega na tym, że zamiast mnożyć cyfry na kolejnych pozycjach przez potęgi

10

, mnożymy je przez potęgi $2$ ‍.

Spójrzmy na liczbę dziesiętną

1

, reprezentowaną w układzie binarnym jako

0001

$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Taki zapis oznacza

(0 \cdot 8) + (0 \cdot 4) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 1)

, czyli

0 + 0 + 0 + 1

No, to było łatwe, teraz większa liczba!

Liczba dziesiętna

10

jest reprezentowana w układzie binarnym jako

1010

$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

To tyle samo co

(1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1)

lub

8 + 0 + 2 + 0

. Rzeczywiście, liczba binarna

1010

równa się liczbie dziesiętnej 10.

Teraz Twoja kolej: zapisz w systemie dwójkowym liczbę, zapisaną w systemie dziesiątkowym jako

6

Wyszło Ci dobrze? Gratulacje! Jeśli nie, nic się nie przejmuj. Zaraz pokażemy Ci, jak systematycznie można rozwiązywać podobne zadania i jest naprawdę dużo łatwiej radzić sobie za pomocą tych metod.

Zamiana liczb dziesiętnych na binarne

Moja ulubiona metoda zamiany liczb w układzie dziesiątkowym na uklad dwójkowy wygląda tak:

Weź kartkę papieru albo podejdź do tablicy.
Narysuj poziome kreski odpowiadające kolejnym pozycjom cyfr w zapisie liczby. Jeśli liczba, którą chcesz zapisać w systemie dwójkowym, jest mniejsza od $16$ ‍, wystarczy narysować $4$ ‍ kreski. Dla liczb od $0$ ‍ do $255$ ‍ narysuj $8$ ‍ kresek. W przypadku większych liczb konwersja z systemu dziesiątkowego do dwójkowego jest bardziej pracochłonna, więc na razie skupmy uwagę na liczbach, które nie są zbyt duże.
Pod każdą z kresek zapisz kolejne potęgi $2$ ‍. Zacznij od kreski najbardziej na prawo, pod którą napisz $1$ ‍, czyli $2^{0}$ ‍, a następnie, posuwając się w lewo, mnóż kolejne wartości miejsc przez $2$ ‍.
Teraz spojrzyj na kreskę znajdującą się najbardziej na lewo i zapytaj, "Czy liczba, którą chce zapisać w systemie dwójkowym, jest większa od wartości tego miejsca?" Jeśli odpowiedź na to pytanie jest twierdząca, zapisz $1$ ‍ nad kreską odpowiadającą tej pozycji i odejmij jej wartość, od liczby, którą chcesz zapisać w systemie dwójkowym. Jeśli odpowiedź na pytanie jest przecząca, zapisz nad kreską odpowiadającą tej pozycji $0$ ‍. Następnie, przejdź do kolejnej kreski.
Powtarzaj tę operację, przechodząc do kolejnych kresek, pamiętając, aby za każdym razem przed przejściem do kolejnej pozycji w prawo, odjąć wartość, która została właśnie zapisana na danej pozycji. Kiedy dotrzesz w ten sposób do końca, liczba będzie zapisana w systemie dwójkowym! P.S. Możesz też zajrzeć na stronę explodingdots.org i zapoznać się z tam proponowaną metodą, Polecamy!

Oto jak to wygląda dla liczby dziesiętnej

6

"Hmm, liczba 6 jest mniejsza od 16, a więc 4 na pewno wystarczą..."

\frac{}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Skoro liczba 6 jest mniejsza od 8, na pierwszym miejscu po prawej będzie 0..."

\frac{0}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"liczba 6 jest większa od 4, a więc tutaj zapiszę1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Teraz tak, 6 - 4 = 2, a więc muszę jeszcze zapisać 2. Zaraz, zaraz..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

(Reszta: 2)

"2 równa się 2, a więc jako kolejną cyfrę zapisuję 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

"2 - 2 = 0, a więc zapisaliśmy już wszystko!"

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

(Reszta: 0)

"Na miejscu ostatniego bitu wpisze 0 i gotowe..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{0}{1}

Jeśli masz wątpliwości: jest tylko jeden, jedyny sposób rozkładu dowolnej liczby na kolejne potęgi dwójki, zupełnie tak samo, jak jest tylko jeden, jedyny sposób zapisu liczby w postaci dziesiątkowej. Niezależnie od tego, z jakiej metody skorzystać, by zapisać liczbę w postaci dziesiątkowej w postaci dwójkowej, wynik zawsze będzie taki sam.

Wybierz teraz inną liczbę zapisaną w systemie dziesiątkowym i zapisz ją w systemie dwójkowym. Wykorzystaj swój ulubiony sposób.

Jak przedstawiałbyś liczbę dziesiętną

11

w układzie binarnym?

Idziemy dalej. Jakbyś przedstawiał liczbę dziesiętną

25

w układzie binarnym?

Wzorce w liczbach binarnych

Liczby 11 i 25, które zapisywaliśmy w systemie dwójkowym, były nieparzyste. Jest coś ciekawego w binarnym zapisie liczb nieparzystych. Przyjrzyj się przykładom innych liczb nieparzystych:

Dziesiętnie	Binarnie
$3$ ‍	$0011$ ‍
$5$ ‍	$0101$ ‍
$7$ ‍	$0111$ ‍
$9$ ‍	$1001$ ‍

Czy widzisz powtarzającą się regularność?

Sprawdź swoją wiedzę

Jeśli uważasz, że wiesz, o co chodzi, spróbuj odpowiedzieć na takie pytanie: która z przedstawionych poniżej liczb, zapisanych w postaci binarnej, jest nieparzysta?

W rzeczywistości nie musisz konwertować tych dużych liczb na dziesiętne, aby odpowiedzieć na pytanie - wystarczy spojrzeć na pojedynczy bit informacji - ostatni bit. Ostatni bit jest zawsze na miejscu jedności, a jeśli liczba jest nieparzysta, to musi mieć

1

na miejscu jedności. Nie ma sposobu na stworzenie liczby nieparzystej w systemie binarnym bez miejsca jedności, ponieważ każde inne miejsce jest potęgą

2

. Wiedza o tym może dać Ci lepsze intuicyjne zrozumienie liczb binarnych.

A oto inna interesująca reguła zapisu liczb w postaci dwójkowej. Spójrz na to:

Dziesiętnie	Binarnie
$3$ ‍	$11$ ‍
$7$ ‍	$111$ ‍
$15$ ‍	$1111$ ‍

Każda z tych liczb w systemie dziesiątkowym równa się potędze

2

minus

1

4 - 1 = 3

8 - 1 = 7

16 - 1 = 15

. Liczba w systemie dwójkowym złożona z samych

1

oznacza zawsze największą liczbę, jaką można zapisać za pomocą danej liczby bitów. Jeśli chcesz zapisać liczbę o

1

większą, musisz już dodać kolejny bit. To jest sytuacja analogiczna do tej z liczbami typu

9

99

, oraz

999

w układzie dziesiątkowym.

Największa liczba, jaką można zapisać w systemie dwójkowym za pomocą

n

bitów, wynosi

2^{n} - 1

liczba bitów ( $n$ ‍)	największa liczba	( $2^{n} - 1$ ‍)
1	$1$ ‍	$(2^{1} - 1)$ ‍
2	$3$ ‍	$(2^{2} - 1)$ ‍
3	$7$ ‍	$(2^{3} - 1)$ ‍
4	$15$ ‍	$(2^{4} - 1)$ ‍

Co sądzisz? Co reprezentuje

11111

w układzie dziesiętnym?

To zdanie można rozwiązać, zapisując wszystkie te liczby w układzie dwójkowym i porównując z poleceniem. Można też, na podstawie tego, co właśnie stwierdziliśmy, postąpić inaczej: policzyć liczbę bitów (

5

), obliczyć ile to jest

2^{5}

(

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

) i od wyniku odjąć

1

Mamy nadzieję, że intuicyjnie ogarniasz już, co to jest system dwójkowy. Jeśli czegoś nie rozumiesz, nie przejmuj się tym za bardzo. Przed Tobą jeszcze wiele okazji na zbudowanie umiejętności w tym zakresie.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Masz pytania związane z tym zagadnieniem? Możesz zadać swoje pytanie poniżej!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

21377767a
Opublikowane rok temu. Odnosi się do postu 21377767a's o treści “nie lubie was i elo”
nie lubie was i elo
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(2 głosy)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.