Pierwiastki wyższego stopnia

Do tej pory używaliśmy tylko pierwiastków kwadratowych. Gdy pisałem taki znak: √, a pod nim 9, oznaczało to arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z 9, czyli plus 3. Dodatni pierwiastek kwadratowy z 9. Sam ten symbol oznacza, że chodzi o pierwiastek kwadratowy. Mógłbym zapisać to też tak. Właśnie tak, z dwójką w tym miejscu. To też pierwiastek kwadratowy. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z 9. Czyli coś, co podniesione do kwadratu da 9. Symbol √ występuje jednak nie tylko w pierwiastku kwadratowym. Można tu wpisać dowolny stopień i wyciągnąć z liczby inny pierwiastek. Na przykład gdybym was spytał... ile to jest pierwiastek sześcienny, czyli 3 stopnia... ...z 27. Ile to jest? Chodzi o liczbę, która podniesiona do sześcianu da 27. Jedyna liczba, która podniesiona do sześcianu da 27... to 3, prawda? 3 razy 3 razy 3... 3 razy 3 razy 3 to 27. 9 razy 3 daje 27. Jeszcze kilka przykładów... Może wystarczy jeden. Niech będzie... 16... Zmienię kolor. Chcę wyciągnąć pierwiastek 4 stopnia z 16. Która liczba pomnożona przez siebie 4 razy da 16? Jeśli nie wiecie od razu, rozłóżcie 16 na czynniki pierwsze. 16 to 2 razy 8... 8 to 2 razy 4... a 4 to 2 razy 2. Mamy więc: pierwiastek 4 stopnia z 2 razy 2 razy 2 razy 2. Są tu cztery dwójki. Mnożymy 2 przez siebie 4 razy, więc pierwiastek 4 stopnia musi być równy 2. Zauważmy: to także jest pierwiastek arytmetyczny. Gdyby tu były same -2, też by się udało. Można do tego podchodzić na różne sposoby... Są różne pierwiastki 2 i 4 stopnia, ale samo „√” oznacza pierwiastek arytmetyczny. Dobrze. Upraszczaliśmy już pierwiastki kwadratowe, zabierzmy się teraz do pierwiastków wyższego stopnia. Spróbujmy. Uprośćmy takie wyrażenie: pierwiastek 5 stopnia z 96. Najpierw rozłóżmy 96 na czynniki pierwsze. 96 jest równe 2 razy 48... które równa się 2 razy 24... a to jest 2 razy 12... które wynosi 2 razy 6... czyli 2 razy 3. Całość jest więc równa pierwiastkowi 5 stopnia z 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2... 2 razy 2 razy 2 razy 2... i razy 2... razy 3. Razy trzy. Można inaczej. Uznajmy to za potęgę ułamkową. Mówiliśmy już o tym. To jest równe... 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2... razy 3... do potęgi ⅕. Zaraz to objaśnię. Pierwiastek n-tego stopnia z jakiejś liczby jest równy tej liczbie podniesionej do potęgi ¹/n. To wyrażenia równoważne. Podnosimy to do potęgi ⅕, czyli podnosimy 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2 do ⅕ i mnożymy przez 3 do potęgi ⅕. Mamy tu iloczyn. 2 pomnożone przez siebie 5 razy i podniesione to potęgi ⅕. Wynik tego działania wynosi 2. Tu mamy 2, a tu 3 do potęgi ⅕. 2 razy 3 do ⅕... tego bardziej uprościć się nie da. Ale zapiszę z pierwiastkiem: 2 pomnożone przez pierwiastek piątego stopnia z 3. Tak to wygląda. Kolejny przykład. Spróbujmy jeszcze raz. Włączymy parę zmiennych. Uprośćmy wyrażenie: pierwiastek 6 stopnia z 64 razy „x” do potęgi 8. Zacznijmy od 64. 64 jest równe 2 razy 32... 32 to 2 razy 16... czyli 2 razy 8... 8 to 2 razy 4, a 4 = 2 · 2. Mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6 dwójek... To jest 2 do potęgi 6. Można to zapisać jako: pierwiastek 6 stopnia z 2⁶ (bo to jest 64) pomnożony przez „x” do potęgi 8. Pierwiastek 6 stopnia z 2⁶? Proste! To będzie równe... Ta część będzie równa 2... 2 razy pierwiastek 6 stopnia... pierwiastek 6 stopnia... ...6 stopnia z... „x” do potęgi 8. Z „x” do ósmej. Jak możemy to uprościć? Cóż, „x” do potęgi 8 jest tym samym, co „x” do potęgi 6 razy „x” do kwadratu. Zgadza się? Podstawa ta sama, dodajemy wykładniki, to jest x⁸. To będzie równe: 2 razy pierwiastek 6 stopnia z x⁶ pomnożonego przez x², a ta część, pierwiastek 6 stopnia z „x” do potęgi 6, to po prostu „x”. Czyli to jest równe 2 razy „x”… pomnożone przez... pierwiastek 6 stopnia z „x” do kwadratu. Da się to uprościć jeszcze bardziej. Przypomnijcie sobie. To wyrażenie można zapisać jako: „x” kwadrat podniesione do potęgi ⅙. Pamiętacie własności potęgowania? Co się dzieje, gdy coś potęgujemy, a potem jeszcze raz? To będzie równe: „x” do potęgi (2 · ⅙). Zapiszę. Do potęgi (2 · ⅙). A to jest to samo... żebym nie zapomniał o „2x”. Już jest „2x”... i tutaj też. To jest to samo 2x… mamy je tutaj… razy „x” do potęgi… „x” do potęgi 2/6 albo, żeby zapisać to w prostszej formie, 2x razy… „x” do potęgi… co my tu mamy? „x” do potęgi ⅓. A z pierwiastkiem? Piszemy: 2… 2x razy pierwiastek sześcienny z „x". Można jeszcze inaczej. Można powiedzieć… Zaczniemy od tego miejsca. Da się to zapisać... To ignorujemy. Piszę: 2 razy „x” do potęgi 8 podniesione do potęgi ⅙. „x” do 8 do ⅙. To jest więc równe 2 razy „x” do potęgi 8 razy ⅙ czyli do potęgi 8/6. Uprośćmy ten ułamek. To będzie 2 razy „x” do... do potęgi 4/3. Te wyrażenia są równoważne. A dlaczego? Bo mamy 2 razy „x”, czyli 2x¹, razy „x” do potęgi ⅓, dodajemy 1 do ⅓ i uzyskujemy 4/3. Mam nadzieję, że zaciekawił was ten wykładzik o pierwiastkach. Rozkład na czynniki pierwsze pomaga. „Pierwiastek 6 stopnia? Czy któryś czynnik powtarza się 6 razy? To będzie 2 do szóstej”. Mam nadzieję, że to się wam przydało.