Główna zawartość

Kurs: Algebra II (materiał z roku 2018) > Rozdział 2

Lekcja 1: Czym są liczby urojone?

Potęgi jednostki urojonej

Naucz się upraszczania dowolnej potęgi jednostki urojonej i. Na przykład uprość i²⁷ do postaci -i.

Wiemy, że

i = \sqrt{- 1}

oraz że

i^{2} = - 1

Ale jak to jest z

i^{3}

i^{4}

? Z innymi całkowitymi potęgami

i

? Jak możemy je policzyć?

Obliczenie $i^{3}$ ‍ oraz $i^{4}$ ‍

Własności potęgowania mogą nam tutaj pomóc! Istotnie, gdy liczymy potęgę

i

, możemy używać własności potęgowania prawdziwych w ciele liczb rzeczywistych tak długo, dopóty wykładnik jest liczbą całkowitą.

Pamiętając o tym, znajdźmy

i^{3}

oraz

i^{4}

Wiemy, że

i^{3} = i^{2} \cdot i

. Ale skoro

i^{2} = - 1

, to widzimy, że:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

Podobnie

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

. Znów, używając faktu, że

i^{2} = - 1

, możemy napisać, co następuje:

$\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Inne potęgi $i$ ‍

Kontynuujmy tę metodę! Znajdźmy potęgi

i

o wykładniku większym od

4

$\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Własności potęgowania \\ = 1 \cdot i & Ponieważ i^{4} = 1 \\ = i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Własności potęgowania \\ = 1 \cdot (- 1) & Ponieważ i^{4} = 1 oraz i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Własności potęgowania \\ = 1 \cdot (- i) & Ponieważ i^{4} = 1 oraz i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Własności potęgowania \\ = 1 \cdot 1 & Ponieważ i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Wyniki są podsumowane w tabeli.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Pojawiająca się reguła

Z tabeli wynika, że potęgi

i

przechodzą powtarzalny cykl

i

- 1

- i

oraz

1

Używając tej własności, czy uda nam się znaleźć

i^{20}

? Spróbujmy!

Poniższa lista wypisuje pierwsze

20

liczb pojawiających się w ciągu potęg

i

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

W związku z tym rozumowaniem

i^{20}

powinno być równe

1

. Sprawdźmy, czy uda nam się to policzyć używając własności potęgowania. Pamiętaj, że możemy potęgować tutaj tak samo, jak postępowaliśmy z liczbami rzeczywistymi!

$\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Własności potęgowania \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Uprość \end{aligned}$ ‍

Jakkolwiek licząc widzimy, że

i^{20} = 1

Wyższe potęgi $i$ ‍

Załóżmy, że chcielibyśmy znaleźć

i^{138}

. Moglibyśmy wypisać ciąg

i

- 1

- i

1

,... aż do

138.

elementu, ale to zajęłoby nam zbyt dużo czasu!

Zauważ jednakże, że

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

, itd., czyli - innymi słowy -

i

podniesiona do potęgi będącej wielokrotnością $4$ ‍ jest równa

1

Do uproszczenia

i^{138}

, możemy użyć tego faktu wraz z ogólnymi własnościami potęgowania.

Przykład

Uprość

i^{138}

Rozwiązanie

Liczba

138

nie jest wielokrotnością

4

, ale

136

już jest! Użyjmy tego do uproszczenia

i^{138}

$\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Własności potęgowania \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Własności potęgowania \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

Ostatecznie,

i^{138} = - 1

Teraz mógłbyś(abyś) spytać, dlaczego zapisaliśmy

i^{138}

jako

i^{136} \cdot i^{2}

Skoro oryginalny wykładnik nie jest wielokrotnością

4

, to znalezienie najbliższej wielokrotności

4

pozwoli nam uprościć potęgę do

i

i^{2}

, lub

i^{3}

, i to jedynie przy użyciu faktu, że

i^{4} = 1

Znalezienie tej liczby jest proste, jeżeli podzielimy oryginalny wykładnik przez

4

. Jest to po prostu iloraz (bez reszty) pomnożony przez

4

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Uprość $i^{227}$ ‍.

Zadanie 2

Uprość $i^{2016}$ ‍.

Zadanie 3

Uprość $i^{537}$ ‍.

Wyzwanie

Które z poniższych jest równe $i^{- 1}$ ‍?

Jedną z dróg rozwiązania tego zadanie jest wypisane elementów ciągu potęg

i

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Jednakże, zamiast wypisywać ciąg w prawo (dla wykładników

> 1

), możemy pomyśleć o wypisywaniu ciągu w lewo (dla wykładników

< 1

). Istotnie, skoro chcemy poznać

i^{- 1}

, możemy wypisać dwa elementy ciągu w lewo.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
	‍	‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Zapełniając luki otrzymujemy:

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Ostatecznie,

i^{- 1} = - i

Możemy też sprawdzić to algebraicznie, używając własności potęgowania:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & Ponieważ i^{3} = - i oraz i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}$ ‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra II (materiał z roku 2018)