Funkcje parzyste i nieparzyste — wprowadzenie

Figura ma symetrię osiową jeśli pozostaje niezmieniona w wyniku odbicia względem osi.

Na przykład, powyższy pięciokąt ma symetrię osiową.

Zauważ, że $l$‍ jest osią symetrii i że kształt ten jest swoim odbiciem lustrzanym względem tej osi.

Pomysł symetrii osiowej możemy zastosować także do kształtów wykresów funkcji. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Funkcję nazywamy parzystą, jeśli jej wykres jest symetryczny względem osi $OY$‍.

Na przykład funkcja $f$‍ przedstawiona na wykresie poniżej jest funkcją parzystą.

Sprawdź to sam, przeciągając punkt na osi $OX$‍ od prawej do lewej. Zauważ, że wykres pozostaje bez zmian po odbiciu względem całej osi $OY$‍!

Algebraicznie, funkcja $f$‍ jest parzysta jeśli $f(-x)=f(x)$‍ dla wszystkich możliwych argumentów $x$‍.

Na przykład zauważ, że dla funkcji parzystej przedstawionej poniżej symetria względem osi $OY$‍ zapewnia, że $f(x)=f(-x)$‍ dla wszystkich $x$‍.

Mówimy, że funkcja jest nieparzysta jeśli jej wykres jest symetryczny względem punktu znajdującego się w początku układu współrzędnych.

Graficznie to znaczy, że możemy obrócić jej wykres o ${180}^{\circ }$‍ względem początku układu współrzędnych i pozostanie on niezmieniony.

Innym sposobem zobrazowania symetrii względem początku układu współrzędnych jest wyobrażenie sobie, że na początku odbijamy wykres funkcji względem osi $OX$‍, a następnie względem osi $OY$‍. Jeśli wykres funkcji pozostanie niezmieniony, to jest on symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Na przykład funkcja $g$‍ przedstawiona na wykresie poniżej jest funkcją nieparzystą.

Sprawdź to sam przeciągając punkt na osi $OY$‍ od góry do dołu (aby otrzymać odbicie względem osi $OX$‍) i punkt na osi $OX$‍ od prawej do lewej (aby otrzymać odbicie względem osi $OY$‍). Zauważ, że to co otrzymasz jest pierwotną funkcją!

Algebraicznie, funkcja $f$‍ jest nieparzysta jeśli $f(-x)=-f(x)$‍ dla wszystkich możliwych argumentów $x$‍.

Na przykład zwróć uwagę jak dla funkcji nieparzystej przedstawionej poniżej, symetria funkcji zapewnia, że $f(-x)$‍ leży zawsze po przeciwnej stronie niż $f(x)$‍.