Główna zawartość

Wprowadzenie do ciągów arytmetycznych

Zdobądź trochę doświadczenia z ciągami i dowiedz się, czym są ciągi arytmetyczne.

Zanim przystąpisz do tej lekcji, upewnij się, że wiesz jak dodawać i odejmować liczby ujemne.

Co to jest ciąg?

Oto kilka przykładów list liczb:

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

Uporządkowane listy liczb takie jak te powyżej nazywa się ciągami. Każda liczba w ciągu nazywa się wyrazem tego ciągu.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
$1^{szy} wyraz$ ‍	$2^{gi} wyraz$ ‍	$3^{ci} wyraz$ ‍

Ciągi zwykle określamy za pomocą reguł, które pomagają nam przewidzieć, jaki będzie następny wyraz ciągu.

Na przykład, w ciągu 3,5,7,..., zawsze dodajemy dwa, aby otrzymać następny wyraz:

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

Wielokropek, który znajduje się na końcu, wskazuje nam, że ciąg można przedłużyć, chociaż widzimy tylko parę pierwszych wyrazów.

Możemy to zrobić za pomocą wzoru.

Na przykład, czwarty wyraz tego ciągu powinien wynosić dziewięć, piąty wyraz powinien wynosić

11

, itd.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Napisz kolejny wyraz ciągu stosując się do podanej zależności.

zadanie 1

Reguła: Dodaj pięć do poprzedniego wyrazu.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak $6$ ‍ właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍ niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍ liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍ dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍ wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Zadanie 2

Reguła: Odejmij trzy od poprzedniego wyrazu.

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak $6$ ‍ właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍ niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍ liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍ dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍ wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Zadanie 3

Reguła: Pomnóż poprzedni wyraz przez dwa.

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak $6$ ‍ właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍ niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍ liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍ dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍ wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		$18, …$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		$11, …$ ‍

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		$24, …$ ‍

Zadanie 4

Dopasuj ciągi do odpowiadających im zależności.

1

Tutaj są podane ciągi z odpowiadającymi im zależnościami:

	$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$11,$ ‍		$18,$ ‍		$25, …$ ‍

	$: 2 ↷$ ‍		$: 2 ↷$ ‍		$: 2 ↷$ ‍
$40,$ ‍		$20,$ ‍		$10,$ ‍		$5, …$ ‍

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$100,$ ‍		$96,$ ‍		$92,$ ‍		$88, …$ ‍

	$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$12,$ ‍		$36,$ ‍		$108, …$ ‍

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Dla wielu przykładów przedstawionych powyżej, reguła polega na dodaniu lub odjęciu liczby do lub od każdego wyrazu, aby otrzymać następny wyraz. Ciągi, które mają takie reguły, nazywa się ciągami arytmetycznymi.

W ciągu arytmetycznym, różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest zawsze stała.

Na przykład, ciąg 3,5,7,9,... jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami wynosi zawsze dwa.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

Ciąg 21,16,11,6,... jest również ciągiem arytmetycznym, ponieważ różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami wynosi zawsze minus pięć.

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

Ciąg 1,2,4,8,... nie jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami nie jest stała.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 5

Zaznacz wszystkie ciągi arytmetyczne.

Tutaj podane są ciągi wraz z odpowiadającymi im różnicami:

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$11,$ ‍		$15,$ ‍		$19,$ ‍		$23, …$ ‍

Różnica pomiędzy dwoma następującymi po sobie wyrazami wynosi zawsze cztery, więc jest to ciąg arytmetyczny.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍
$0,$ ‍		$1,$ ‍		$3,$ ‍		$6, …$ ‍

Różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami nie jest stała, więc nie jest to ciąg arytmetyczny.

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 18 ↷$ ‍		$+ 54 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$9,$ ‍		$27,$ ‍		$81, …$ ‍

Różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami nie jest stała, więc nie jest to ciąg arytmetyczny.

	$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍
$29,$ ‍		$20,$ ‍		$11,$ ‍		$2, …$ ‍

Różnica pomiędzy dwoma następującymi po sobie wyrazami w powyższym ciągu wynosi zawsze minus dziewięć, więc jest to ciąg arytmetyczny.

Zadanie 6

Pierwszy wyraz ciągu wynosi jeden. Która z poniższych reguł sprawi, że ciąg będzie arytmetyczny?

Sens zasady "Dodaj cztery do poprzedniego wyrazu" jest taki, że różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami jest zawsze równa cztery. Zależność ta opisuje więc ciąg arytmetyczny.

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$5,$ ‍		$9,$ ‍		$13, …$ ‍

Podobnie, zasada "Odejmij cztery od poprzedniego wyrazu" opisuje ciąg arytmetyczny, w którym różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami wynosi zawsze minus cztery.

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 7,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Z drugiej strony, reguła "Pomnóż poprzedni wyraz przez cztery" nie daje w wyniku ciągu, w którym różnica między dwoma następującymi po sobie wyrazami jest stała.

	$+ 3 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$4,$ ‍		$16,$ ‍		$64, …$ ‍

Podobnie, reguła "Podziel poprzedni wyraz przez cztery" nie daje w wyniku ciągu arytmetycznego.

	$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{4} ↷$ ‍
$1,$ ‍		$\frac{1}{4},$ ‍		$\frac{1}{16},$ ‍		$\frac{1}{64}, …$ ‍

Różnica ciągu

Różnicą ciągu arytmetycznego nazywamy stałą różnicę między dwoma następującymi po sobie wyrazami.

Na przykład, różnicą ciągu 10,21,32,43,... jest 11:

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

Różnica ciągu –2, –5, –8, –11 ... wynosi minus trzy:

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 7

Jaka jest różnica ciągu 2, 8, 14, 20 ...?

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$8,$ ‍		$14,$ ‍		$20, …$ ‍

Zadanie 8

Jaka jest różnica ciągu $5, 2, - 1, - 4 …$ ‍?

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$5,$ ‍		$2,$ ‍		$- 1,$ ‍		$- 4, …$ ‍

Zadanie 9

Jaka jest różnica ciągu $1, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{3}, 2, …$ ‍?

	$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍
$1$ ‍		$1 \frac{1}{3},$ ‍		$1 \frac{2}{3},$ ‍		$2, …$ ‍

Pytanie do zastanowienia

Które stwierdzenie o ciągu arytmetycznym o ujemnej różnicy jest prawdziwe?

Ujemna różnica ciągu oznacza, że musimy odjąć coś od każdego z wyrazów, aby otrzymać wyraz następny. Innymi słowy, wyrazy ciągu zawsze maleją.

Nie jest prawdą, że wszystkie wyrazu ciągu muszą być dodatnie lub wszystkie wyrazy ciągu muszą być ujemne. Tutaj są ciągi arytmetyczne, które mają wyrazy zarówno dodatnie, jak i ujemne, ale ich różnice są ujemne.

	$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$1,$ ‍		$0,$ ‍		$- 1, …$ ‍

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$7,$ ‍		$2,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 8, …$ ‍

	$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 13,$ ‍		$- 21, …$ ‍

Zauważ, że wszystkie powyższe ciągi mają wyrazy, które zawsze maleją.

Wyzwanie

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 10, a jego różnica równa się minus siedem.

Jaki jest czwarty wyraz tego ciągu?

Mamy dane, że pierwszy wyraz wynosi 10, a różnica wynosi siedem. Wiedząc to, możemy obliczyć kolejne wyrazy ciągu, aż dotrzemy do czwartego wyrazu:

	$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$3,$ ‍		$- 4,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Czwarty wyraz ciągu wynosi -11.

Co dalej?

Dowiedz się więcej o wzorach ciągów arytmetycznych, które pomogą nam otrzymać dowolny wyraz ciągu.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra II (materiał z roku 2018)

Kurs: Algebra II (materiał z roku 2018) > Rozdział 11

Co to jest ciąg?

Sprawdź, czy rozumiesz

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Sprawdź, czy rozumiesz

Różnica ciągu

Sprawdź, czy rozumiesz

Co dalej?

Chcesz dołączyć do dyskusji?