Przykład równania różniczkowego, którego rozwiązaniem jest funkcja liniowa — film z polskimi napisami

Spróbujmy trochę lepiej zrozumieć czym równanie różniczkowe w ogóle jest. Mamy tutaj równanie różniczkowe. Nie zaczęliśmy jeszcze mówić jak znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego. Ale załóżmy że je widziałeś i ktoś spotkany na ulicy powie Ci: "Hej, podpowiem Ci," "to równanie różniczkowe ma rozwiązanie," "które jest zasadniczo funkcją liniową," "y jest równe m x dodać b," "i musisz tylko wymyślić" "jakie jest m i b," "które sprawia, że ta funkcja liniowa" "spełnia to równanie różniczkowe." Zachęcam Cię teraz, żebyś zapauzował ten film i sprawdził, czy Ci się uda. Czyli zakładam, że zapauzowałeś, i spróbowałeś to zrobić. Zastanówmy się nad tym razem. Jeśli wiemy, że takie rozwiązanie, może być tak opisane, to musimy wymyślić jakieś m i b. To mówi nam, że jeśli weźmiemy pochodną tego po x-ie, jeśli weźmiemy pochodną m x dodać b po x-ie, to powinno być równe -2 razy x dodać 3 razy y. Wiemy, że y to to, odjąć 5. I to powinno być prawdziwe dla każdego x, żeby to było rozwiązaniem tego równania różniczkowego. Pamiętaj, rozwiązaniem nie jest wartość, albo zbiór wartości. Jest nim funkcja albo zbiór funkcji. Zatem aby to spełniało to równanie różniczkowe, to musi to być prawda dla każdego z tych x-ów. Zastanówmy się. Najpierw wymyślmy czym jest nasze dy dx. dy dx. Po prostu wzięliśmy tutaj pochodną po x-ie. dy dx jest pochodną m x po x-ie, czyli to będzie m. I oczywiście pochodna b po x-ie, tylko stałej, będzie równa zero. Czyli dy dx to m. Więc możemy zapisać, że m jest równe -2 x, równe -2 x, dodać 3 razy i zamiast pisać tutaj y mogę napisać m x dodać b. Pamiętaj y jest równe m x dodać b. I powtórne przypomnienie: to musi być prawda dla wszystkich x-ów. m x dodać b i oczywiście mamy jeszcze -5. Jeśli nie udało Ci się rozwiązać tego za pierwszym razem, zachęcam Cię, żebyś spróbował teraz i wymyślił jakie musi być m i b, żeby to równanie tutaj, żeby to była prawda dla wszystkich x-ów. Żeby to była prawda dla wszystkich x-ów. Zakładając, że zapauzowałeś znowu i spróbowałeś, przekształćmy to algebraicznie. (przejdę tutaj na jeden kolor) Czyli mamy m. m jest równe -2 x dodać... jeśli rozbijamy to 3 będziemy mieć 3 m x dodać 3 b i oczywiście będziemy mieć -5. Teraz możemy pogrupować wyrażenia z x-ami. Jeśli mielibyśmy zgrupować... (znajdę tutaj nowego koloru, może niebieskiego) Czyli jeśli mamy wziąć te dwa i dodać je razem to będzie -2 dodać 3 m razy x, albo możemy to zapisać jako 3 m -2 razy x, a potem mamy wyrażenia stałe, czyli te wyrażenia tutaj, czyli 3 b -5 i oczywiście to wszystko będzie równe m. To będzie równe m. Pamiętaj, to ma być prawdą, dla wszystkich x-ów. Zauważ, że tutaj mam jakiś współczynnik razy x po prawej stronie. Ale po lewej nie mam żadnych x-ów. Więc to musi jakoś zniknąć. To jest stała, więc to będzie zupełnie logiczne, że ta stała może być równa m. Ale jedyna możliwość, żeby x-y zniknęły, czyli żeby zostało mi tylko m to ta, gdy to będzie równe zero. Pozwól, że powtórzę, bo to może być trochę nieintuicyjne co zaraz zrobię. Mówimy że m - jakaś stała, jest równa jakiemuś współczynnikowi razy x, dodać jakaś inna stała. Cóż, żeby stała wartość była równa czynnikowi razy x dodać jakaś inna stała, to współczynnik przy x musi być równy zero. Inaczej można o tym myśleć, że to powinno być, Możesz przerobić lewą stronę równania, na 0 x dodać m. Widzisz, tak jakby dopasowujesz współczynniki. Czyli zero musi być równa 3 m odjąć 2, a m jest równe 3b -5. m jest równe 3b odjąć 5. Zatem użyjmy tej wiedzy, żeby znaleźć m i b. Możemy zacząć od pierwszego. 3 m odjąć 2 ma być równe 0. Zapiszmy to. 3 m odjąć 2 jest równe zero, albo 3 m jest równe 2, albo m jest równe 2/3. Więc wymyśliliśmy czym jest m. Możemy teraz wykorzystać tę informację, bo wiemy już... wiemy że m jest równe 3 b odjąć 5. m to 2/3, więc mamy 2/3 jest równe 3 b odjąć 5. Możemy dodać 5 do obu stron, co jest tym samy co dodanie 15/3 do obu stron. (zrobiłem to dobrze?) Tak, dodanie 5 do obu stron to to samo, co dodanie 15/3 do obu stron. Zróbmy to. 15/3 dodać 15/3, to się skraca. To jest 5. Po lewej stronie mamy 17/3 jest równe 3 b, a jeśli podzielimy obie strony przez 3, otrzymamy b równe 17... b jest równe 17 przez 9. I już, właśnie znaleźliśmy szczególne rozwiązanie dla tego równania różniczkowego. Rozwiązaniem jest y równe 2/3 x dodać 17 przez 9 I zachęcam Cię, żebyś po obejrzeniu filmu, sprawdził czy to szczególne rozwiązanie rzeczywiście spełnia to równanie różniczkowe, dla wszystkich x-ów. Dla wszystkich x-ów.