Główna zawartość

Kurs: Geometria (cały materiał) > Rozdział 13

Lekcja 3: Znajdowanie długości boku trójkąta prostokątnego przy użyciu stosunków trygonometrycznych

Znajdowanie długości boku trójkąta prostokątnego przy użyciu funkcji trygonometrycznych

Dowiedz się, jak możesz wykorzystać funkcje trygonometryczne aby obliczyć nieznaną długość boku w trójkącie prostokątnym

Możemy wykorzystać stosunki trygonometryczne, żeby wyznaczyć nieznane długości boków w trójkątach.

Spójrzmy na przykład.

Mając podany trójkąt

△ A B C

, oblicz długość

A C

Rozwiązanie

Krok 1: Określ, z której funkcji trygonometrycznej skorzystać.

Skupmy się na kącie $B$ ‍ jako, że jest on podany przez miarę na powyższym rysunku.

Zauważmy, że mamy dany bok $przeciwprostokątna$ ‍ i kąt $B$ ‍, a mamy znaleźć bok $dalsza przyprosotkątna$ ‍. Funkcja trygonometryczna korzystająca z obu tych boków i kąta to sinus.
Wartości funkcji trygonometrycznych są opisane dla kąta $A$ ‍.
W tych definicjach ważne jest, żeby zrozumieć, że przyprostokątna przeciwległa do kąta, przyprostokątna przyległa do kąta oraz przeciwprostokątna oznaczają długości odpowiednich boków w stosunku do danego kąta, w tym wypadku kąta $A$ ‍.
Metoda mnemotechniczna $S O H$ ‍ $C A H$ ‍ $T O A$ ‍ może nam pomóc zapamiętać zależności trygonometryczne.

Krok 2: Utwórz równanie korzystając z funkcji sinus i oblicz poszukiwaną długość boku.

$\begin{aligned} \sin (B) & = \frac{przyprostokątna naprzeciwległa}{przeciwprostokątna} Definicja sinusa. \\ \sin (50^{\circ}) & = \frac{A C}{6} Podstawienie. \\ 6 \sin (50^{\circ}) & = A C Mnożenie obydwu stron przez 6. \\ 4, 60 & \approx A C Skorzystanie z kalkulatora. \end{aligned}$ ‍

Rozwiążmy teraz kilka przykładowych zadań.

Zadanie 1

Dany jest $△ D E F$ ‍, wyznacz $D E$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej.

Krok 1: Określ, z której funkcji trygonometrycznej skorzystać.

Mamy podaną długość $przyprostokątnej przyległej$ ‍ do kąta $E$ ‍ i staramy się obliczyć długość $przyprostokątnej$ ‍. Do tego zestawu danych pasuje funkcja cosinus.

Krok 2: Utwórz równanie korzystając z funkcji cosinus i oblicz poszukiwaną długość boku.

$\begin{aligned} \cos (E) & = \frac{przyprostokątna przyległa}{przyprostokątna} Definicja cosinusa. \\ \cos (55^{\circ}) & = \frac{4}{E D} Podstawienie. \\ E D \cdot \cos (55^{\circ}) & = 4 Mnożenie obu stron przez E D . \\ E D & = \frac{4}{\cos (55^{\circ})} Dzielenie obydwu stron przez \cos (55^{\circ}) . \\ E D & \approx 6, 97 Wyliczenie z kalkulatora. \end{aligned}$ ‍

Zadanie 2

Dany jest $△ D O G$ ‍. Wyznacz $D G$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej.

Zadanie 3

Dany jest $△ T R Y$ ‍, wyznacz $T Y$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej.

Wyzwanie

W poniższym trójkącie, których z następujących równań można by użyć, żeby wyznaczyć $z$ ‍?

Podano długość przyprostokątnej przeciwległej do kąta

X

, a naszym zadaniem jest wyznaczyć długość przeciwprostokątnej. Funkcja trygonometryczna, która korzysta z obu tych boków to sinus. Zatem

\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}

Skoro suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego wynosi

90^{\circ}

, wiem też, że

m ∠ I = 62^{\circ}

. Podano nam długość przyprostokątnej przyległej do tego kąta a naszym zadaniem jest wyznaczenie długości przeciwprostokątnej. Funkcja trygonometryczna, która korzysta z obu tych boków to cosinus. Więc

\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}

Aby wyznaczyć

z

można wykorzystać następujące dwa równania:

$\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

$\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.