Precyzyjne definiowanie obrotów

Poniższej mamy rozmowę ucznia z nauczycielem. Ich celem jest opisanie obrotów w precyzyjnym języku matematyki. Możesz obserwować jak uczeń poprawia swoją definicję kilkukrotnie, uzyskując coraz większą precyzję. Baw się dobrze!

Dzisiaj będziemy próbowali opisać co właściwie robią obroty.

Załóżmy, że mamy obrót o $\theta$‍ stopni wokół punktu $P$‍. Jak opiszesz efekt tego obrotu dla innego punktu $A$‍?

Co ma pan na myśli? Skąd mam wiedzieć co obrót zrobi z punktem $A$‍ jeśli nic o nim nie wiem?

To prawda, że nie wiesz nic o tym konkretnym obrocie, jednak wszystkie obroty zachowują się w podobny sposób. Czy przychodzi Ci do głowy jakikolwiek sposób na opisanie tego, co obrót zrobi z punktem $A$‍?

Hmmmm... Niech pomyślę... No więc wydaje mi się, że punkt $A$‍ przesuwa się w w inne miejsce w odniesieniu do $P$‍. Na przykład Jeśli $A$‍ znajduje się na prawo od $P$‍, to może się po obrocie znaleźć ponad $P$‍, albo coś takiego. Zależy jak duże jest $\theta$‍.

Nieźle. To co mówisz, można opisać w taki sposób:

Tak, zgadzam się z tym.

Pamiętaj jednak, że w matematyce powinniśmy być bardzo precyzyjni. Czy jest tylko jeden sposób żeby stworzyć kąt $\mathrm{\angle }P$‍, który jest równy $\theta$‍?

Niech spojrzę... No nie, są dwa sposoby żeby stworzyć taki kąt: zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Dokładnie! Obroty są wykonywane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, i nasza definicja powinna to uwzględniać:

Oczywiście jeśli $\theta$‍ ma ujemną miarę, to obrót jest wykonywany w przeciwnym kierunku, czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Fajnie. Czy to już koniec?

Ty mi to powiedz. Definicja powinna zupełnie jasno określać gdzie przenosimy $A$‍. Czyli powinien być tylko jeden punkt, który pasuje do opisu $B$‍.

Czy jest tylko jeden punkt, który tworzy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara kąt równy $\theta$‍?

Tak sądzę... Moment! Nie! Jest wiele punktów, które mogą stworzyć taki kąt! Dowolny punkt na półprostej wychodzącej z $P$‍ w kierunku $B$‍ stworzy kąt $\theta$‍ z punktem $A$‍.

Trafne spostrzeżenie! Jak więc można ulepszyć naszą definicję?

Zgadza się, dodatkowo do tego, że kąt musi być równy $\theta$‍, odległość od $P$‍ powinna zostać taka sama. Myślę, że matematycznie można to zapisać jako $PA=PB$‍.

Brawo! Możemy podsumować naszą pracę w następującej definicji:

Wow, to jest bardzo precyzyjne!

W rzeczy samej. Dodatkowo pokażę ci inny sposób na zdefiniowanie obrotu:

Rzeczywiście, to również będzie działać, ponieważ punkty na okręgu znajdują się w tej samej odległości od jego środka.

Masz rację! Główna różnica pomiędzy tymi dwoma definicjami jest taka, że w pierwszej używamy odcinków, a w drugiej okręgu.

Super. I to już wszystko?

Tak. Sądzę, że zdefiniowaliśmy obroty tak precyzyjnie, jak się tylko da.