Główna zawartość
Geometria (cały materiał)
Kurs: Geometria (cały materiał) > Rozdział 10
Lekcja 7: Właściwości i definicje przekształceńPrecyzyjne definiowanie obrotów
Przeczytaj rozmowę, w której uczeń i nauczyciel zastanawiają się, jak precyzyjnie zdefiniować obrót.
Poniższej mamy rozmowę ucznia z nauczycielem. Ich celem jest opisanie obrotów w precyzyjnym języku matematyki. Możesz obserwować jak uczeń poprawia swoją definicję kilkukrotnie, uzyskując coraz większą precyzję. Baw się dobrze!
Nauczyciel:
Dzisiaj będziemy próbowali opisać co właściwie robią obroty.
Załóżmy, że mamy obrót o theta stopni wokół punktu P. Jak opiszesz efekt tego obrotu dla innego punktu A?
Uczeń:
Co ma pan na myśli? Skąd mam wiedzieć co obrót zrobi z punktem A jeśli nic o nim nie wiem?
Nauczyciel:
To prawda, że nie wiesz nic o tym konkretnym obrocie, jednak wszystkie obroty zachowują się w podobny sposób. Czy przychodzi Ci do głowy jakikolwiek sposób na opisanie tego, co obrót zrobi z punktem A?
Uczeń:
Hmmmm... Niech pomyślę... No więc wydaje mi się, że punkt A przesuwa się w w inne miejsce w odniesieniu do P. Na przykład Jeśli A znajduje się na prawo od P, to może się po obrocie znaleźć ponad P, albo coś takiego. Zależy jak duże jest theta.
Nauczyciel:
Nieźle. To co mówisz, można opisać w taki sposób:
Załóżmy, że jeśli obrót nakłada punkt A na punkt B, to kąt pomiędzy odcinkami start overline, P, A, end overline i start overline, P, B, end overline to theta.
Uczeń:
Tak, zgadzam się z tym.
Nauczyciel:
Pamiętaj jednak, że w matematyce powinniśmy być bardzo precyzyjni. Czy jest tylko jeden sposób żeby stworzyć kąt angle, P, który jest równy theta?
Uczeń:
Niech spojrzę... No nie, są dwa sposoby żeby stworzyć taki kąt: zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Nauczyciel:
Dokładnie! Obroty są wykonywane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, i nasza definicja powinna to uwzględniać:
Obrót o theta stopni wokół punktu P przemieszcza dowolny punkt A przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do punktu B, gdzie m, angle, A, P, B, equals, theta.
Oczywiście jeśli theta ma ujemną miarę, to obrót jest wykonywany w przeciwnym kierunku, czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Uczeń:
Fajnie. Czy to już koniec?
Nauczyciel:
Ty mi to powiedz. Definicja powinna zupełnie jasno określać gdzie przenosimy A. Czyli powinien być tylko jeden punkt, który pasuje do opisu B.
Czy jest tylko jeden punkt, który tworzy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara kąt równy theta?
Uczeń:
Tak sądzę... Moment! Nie! Jest wiele punktów, które mogą stworzyć taki kąt! Dowolny punkt na półprostej wychodzącej z P w kierunku B stworzy kąt theta z punktem A.
Nauczyciel:
Trafne spostrzeżenie! Jak więc można ulepszyć naszą definicję?
Uczeń:
Zgadza się, dodatkowo do tego, że kąt musi być równy theta, odległość od P powinna zostać taka sama. Myślę, że matematycznie można to zapisać jako P, A, equals, P, B.
Nauczyciel:
Brawo! Możemy podsumować naszą pracę w następującej definicji:
Obrót o theta stopni wokół punktu P przemieszcza dowolny punkt A przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do punktu B, gdzie P, A, equals, P, B i m, angle, A, P, B, equals, theta.
Uczeń:
Wow, to jest bardzo precyzyjne!
Nauczyciel:
W rzeczy samej. Dodatkowo pokażę ci inny sposób na zdefiniowanie obrotu:
Obrót o theta stopni wokół punktu P przemieszcza dowolny punkt A przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do punktu B takiego, że zarówno A jak i B znajdują się na tym samym okręgu o środku P, a m, angle, A, P, B, equals, theta.
Uczeń:
Rzeczywiście, to również będzie działać, ponieważ punkty na okręgu znajdują się w tej samej odległości od jego środka.
Nauczyciel:
Masz rację! Główna różnica pomiędzy tymi dwoma definicjami jest taka, że w pierwszej używamy odcinków, a w drugiej okręgu.
Uczeń:
Super. I to już wszystko?
Nauczyciel:
Tak. Sądzę, że zdefiniowaliśmy obroty tak precyzyjnie, jak się tylko da.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji