Typowe przykłady podzielności

W tym odcinku pokażę kilka przykładów rozwiązywania typowych zadań z podzielności jakie pojawiają się na egzaminach. Na przykład takie zadanie. Wszystkie liczby podzielne jednocześnie przez 12 i 20 są także podzielne przez… Trik polega na zrozumieniu, że jeśli liczba jest podzielna przez 12 i 20 to jest podzielna przez czynniki pierwsze obu tych liczb. Rozbijmy je więc na czynniki. Najpierw 12. 12 = 2 × 6 6 to nie liczba pierwsza, bo 6 = 2 × 3. I już. Każda liczba podzielna przez 12 musi się dzielić dwukrotnie przez 2 i raz przez 3. Rozkład 12 na czynniki pierwsze to 2 × 2 × 3. To warunek podzielności przez 12. Natomiast liczba podzielna przez 20 musi być podzielna przez… Rozłóżmy 20 na czynniki. 20 = 2 × 10 a 10 = 2 × 5. Liczba podzielna przez 20 musi się dzielić dwukrotnie przez 2 i raz przez 5. Czyli musi mieć dwie dwójki i piątkę wśród swoich czynników pierwszych. Aby była podzielna przez obie te liczby, musi mieć wśród czynników 2, 2, 3 i 5. 2, 2 i 3 dla 12 oraz 2, 2 i 5 dla 20. Jeśli nie wierzycie, możemy sprawdzić. Rzecz jasna, jeśli podzielimy ją przez 20… Zróbmy to tak. a dzielenie przez 20 to dzielenie przez 2 × 2 × 5… to dwójki się skrócą, piątka się skróci i zostanie trójka. Liczba dzieli się więc przez 20. A jeśli podzielimy ją przez 12… czyli przez 2 × 2 × 3, (to się równa 12)… to skrócą się dwójki i trójka i zostanie 5. Wszystko się zgadza. Po przemnożeniu to wyrażenie daje 60. 2 × 2 × 3 × 5 = 60 Liczba ta jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 20. To najmniejsza liczba podzielna zarówno przez 12, jak i 20. Można ją pomnożyć przez dowolne inne czynniki… nazwijmy je: a, b i c… ale żadna mniejsza nie będzie podzielna przez 12 i 20. Każda wielokrotność liczby 60 będzie jednak miała te dzielniki. Skoro już wszystko wiemy, rozwiążmy zadanie. Wszystkie liczby podzielne przez 12 i 20 dzielą się także przez… Te czynniki mogą być dowolne, więc je pomińmy. Mogą być równe 1 i wtedy zostałoby nam samo 60. Może nam też wyjść 120. Nie wiemy, co tu jest. A jakie czynniki na pewno muszą się znaleźć w tej liczbie? Na pewno musi w niej być 2 bo widać, że 2 jest dzielnikiem liczby 2 × 2 × 3 × 5. Tak samo 2 × 2 bo tu mamy 2 × 2. Także 3 musi być wśród czynników. Oraz 2 × 3. Podpiszmy, to się równa 4, a to się równa 6. Także 2 × 2 × 3 jest wśród dzielników. Mógłbym wpisać każdą kombinację tych liczb. Czynnikiem jest 3 × 5… oraz 2 × 3 × 5… Można więc powiedzieć, że każda kombinacja tych czynników pierwszych jest dzielnikiem liczby podzielnej jednocześnie przez 12 i 20. Gdyby to był test wielokrotnego wyboru z odpowiedziami: 7… 9… powiedzmy, 12… i, na przykład, 8… to liczby 7 nie ma wśród czynników pierwszych… liczby 9 też nie ma, bo 9 = 3 × 3, a tu mamy tylko jedno 3. Zatem 7 odpada, 9 odpada… Natomiast 12 = 4 × 3, czyli 2 × 2 × 3 a wyrażenie 2 × 2 × 3 występuje wśród czynników pierwszych na które rozłożyliśmy najmniejszą wspólną wielokrotność tych dwu liczb. 12 to prawidłowa odpowiedź. Z kolei 8 = 2 × 2 × 2. Potrzeba trzech dwójek wśród czynników. A my nie mamy trzech, więc 8 też odpada. Zróbmy inny przykład, aby dobrze to sobie przećwiczyć. Załóżmy, że pytanie brzmi tak samo. Wszystkie liczby… podzielne przez… Niech będą dwie ciekawe liczby. Wszystkie liczby podzielne przez… 12… dajmy na to, 9… i… niech będzie ciekawie… i 24… są także… podzielne przez: są także podzielne przez: Znów zaczynamy od rozkładu na czynniki pierwsze. Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb. Czynniki 9 to 3 × 3. Gotowe. Rozkład 24 to… 2 × 12… 12 = 2 × 6… a 6 = 2 × 3. Liczba podzielna przez 9 musi mieć wśród swoich czynników pierwszych dwie trójki. Liczba podzielna przez 24 musi mieć trzy dwójki… Dopiszmy więc: 2 × 2 × 2. …i co najmniej jedną trójkę, a tę mamy już z dziewiątki. Wynik tego iloczynu będzie więc podzielny zarówno przez 9, jak i przez 24. Ten wynik to 72. 8 × 9 = 72 Załóżmy, że to pytanie w teście wielokrotnego wyboru a odpowiedzi to: 16… 27… 16… 27… 5… 11… i… 9. Rozłóżmy 16 na czynniki. 16 = 2 × 2 × 2 × 2 To 2 do potęgi 4. Potrzeba więc czterech dwójek. Nie mamy tu czterech dwójek. Tu mogą być dalsze liczby, ale nie wiemy jakie. To jednak są czynniki pierwsze, które gwarantują że wynik będzie podzielny przez 9 i 24. Wykluczamy więc 16, bo tu nie ma czterech dwójek. 27 = 3 × 3 × 3 Potrzeba trzech trójek wśród czynników, a mamy tylko dwie. Zatem 27 też odpada. 5 to liczba pierwsza. Nie ma tu piątek, więc odpada. 11 to też liczba pierwsza i też jej nie mamy. Odpada. 9 = 3 × 3 Właśnie zauważyłem głupią wpadkę bo 9 jest rzecz jasna dzielnikiem liczby podzielnej przez 9. 9 to dobra odpowiedź, ale jest oczywista. 9 pasuje, ale inną dobrą odpowiedzią byłoby 8. 8 = 2 × 2 × 2 a wśród czynników mamy trzy dwójki. Także 4 by pasowało, bo 4 = 2 × 2. Również 6, czyli 2 × 3. Oraz 18, równe 2 × 3 × 3. Każda liczba równa kombinacji tych czynników pierwszych będzie dzielnikiem liczby podzielnej przez 9 i 24. Mam nadzieję, że zrozumieliście.