Główna zawartość

Kurs: Class 11 math (India) > Rozdział 4

Lekcja 7: Postać wykładnicza i trygonometryczna liczb zespolonych

Przypomnienie wiadomości o zapisie liczby zespolonej

Przypomniej sobie co wiesz o różnych sposobach przedstawienia liczby zespolonej: o postaciach kanonicznej, trygonometrycznej, oraz wykładniczej.

Jakie są różne sposoby zapisywania liczb zespolonych?


Postać kanoniczna		$a + b i$ ‍
Postać trygonometryczna		$r (\cos (θ) + i \sin (θ))$ ‍
Postać wykładnicza		$r \cdot e^{i θ}$ ‍

Postać kanoniczna

a + b i

W postaci kanonicznej liczbę zespoloną przedstawiamy jako sumę dwóch składników: części

rzeczywistej

i części

urojonej

, pomnożonej przez

i

Ta postać jest bardzo wygodna jeśli mamy obliczyć sumę albo różnicę liczb zespolonych.

Liczbę zespoloną w postaci kanonicznej możemy także łatwo przedstawić na płaszczyźnie zespolonej. Części rzeczywista i urojona odpowiadają odpowiednio współrzędnej rzeczywistej i urojonej.

Chcesz dowiedzieć się więcej o liczbach zespolonych w postaci kanonicznej? Obejrzyj ten film about o płaszczyźnie zespolonej, oraz ten film o dodawaniu i odejmowaniu liczb zespolonych.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))

Postać trygonometryczna podkreśla własności geometryczne liczby zespolonej:

wartość bezwzględną liczby zespolonej

(czyli odległość od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej) oraz

kąt

(kąt jaki tworzy wektor, utożsamiony z tą liczbą, z dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej). Wartość bezwzględna i kąt nazywane są także odpowiednio

modułem

argumentem

liczby zespolonej.

Zauważ, że jeśli rozwiniemy wyrażenie w nawiasie, otrzymamy znowu postać kanoniczną liczby zespolonej.

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ)) = \overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Tej formy warto używać, gdy chcemy pomnożyć lub podzielić liczby zespolone przez siebie: iloczyn dwóch liczb zespolonych o modułach równych

r_{1}

r_{2}

i argumentach równych odpowiednio

θ_{1}

θ_{2}

będzie liczbą zespoloną o module równym iloczynowi

r_{1} r_{2}

i argumencie równym sumie

θ_{1} + θ_{2}

Chcesz wiedzieć więcej o postaci trygonometrycznej liczb zespolonych? Obejrzyj ten film.

Postać wykładnicza liczby zespolonej

r \cdot e^{i θ}

Postać wykładnicza zależy od tych samych własności liczby zespolonej, co postać trygonometryczna, to znaczy od

modułu

argumentu

, natomiast zapisuje je w innej, bardziej zwartej formie. Na przykład, mnożenie dwóch liczb zespolonych zapisanych w tej postaci można przedstawić jako:

(r_{1} \cdot e^{i θ_{1}}) \cdot (r_{2} \cdot e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} \cdot e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

Wyprowadzenie postaci wykładniczej opiera się na słynnym wzorze Eulera, który można wyprowadzić z rozwinięcia potęgowego funkcji zespolonej

e^{z}

w szereg względem dowolnego argumentu

z

. Wyprowadzenie jest zaawansowane, ale rezultat jest magicznie prosty: dla dowolnej liczby rzeczywistej

x

zachodzi

e^{i x}

równa się

\cos (x) + i \sin (x)

Korzystając ze wzoru Eulera możemy łatwo sprawdzić równoważność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczby zespolonej:

r \cdot e^{i θ} = r (\cos (θ) + i \sin (θ))

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.