Główna zawartość

Kurs: Class 11 math (India) > Rozdział 8

Lekcja 3: Ciągi i szeregi arytmetyczne

Ćwiczenia z szeregów arytmetycznych

Rozwiążmy kilka zadań, w których proszą nas o obliczenie sumy pewnego skończonego szeregu arytmetycznego.

Przećwicz obliczenia na ciągach arytmetycznych

Zadanie 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

O co chodzi w pytaniu?

Pytają nas o sumę wartości wyrażenia

- 5 k + 12

dla

k

zmieniającego się od

k = 1

k = 275

(- 5 \cdot 1 + 12) + (- 5 \cdot 2 + 12) + … + (- 5 \cdot 275 + 12)

Jest to szereg arytmetyczny, ponieważ wyrażenie

- 5 k + 12

jest liniową funkcją

k

Wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

Wzór na

S_{n}

, czyli sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

W tym wzorze

a_{1}

to pierwszy wyraz,

a_{n}

to wyraz ostatni z tych, których sumę chcemy obliczyć, a

n

to liczba tych wyrazów.

Co musimy wiedzieć, aby móc wykorzystać ten wzór?

Liczba wyrazów

(n = 275)

definiuje górną granicę sumowania w notacji sigma.

Musimy obliczyć

a_{1}

(czyli pierwszy wyraz) oraz

a_{275}

(ostatni wyraz).

Krok 1: Znajdź $a_{1}$ ‍ i $a_{275}$ ‍ (pierwszy i ostatni wyraz sumy)

a_{1} = - 5 (1) + 12 = 7

a_{275} = - 5 (275) + 12 = - 1363

Krok 2: Znajdź sumę $(S_{n})$ ‍ szeregu

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \cdot 275 \\ S_{275} & = - 678 (275) \\ S_{275} & = - 186,450 \end{aligned}

Odpowiedź

- 186 450

Zadanie 2

Ciąg arytmetyczny

a_{i}

jest określony wzorem:

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Znajdź sumę pierwszych $335$ ‍ wyrazów tego ciągu.

Na początek

Zapiszmy kilka pierwszych wyrazów tego szeregu:

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

Mamy do czynienia z szeregiem arytmetycznym, bo różnica między wyrazami jest stała. Każdy wyraz jest o

3

mniejszy od poprzedniego.

Potrzebujemy wyprowadzenia wzoru na sumę tych wszystkich wyrazów.

Wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

Wzór na

S_{n}

, czyli sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

W tym wzorze

a_{1}

to pierwszy wyraz,

a_{n}

to wyraz ostatni z tych, których sumę chcemy obliczyć, a

n

to liczba tych wyrazów.

Co musimy wiedzieć, aby móc wykorzystać ten wzór?

Pierwszy wyraz

(a_{1} = 2)

oraz liczba wyrazów, które mamy wysumować,

(n = 335)

, są dane w zadaniu.

Musimy znaleźć ostatni sumowany wyraz, czyli

(a_{353})

Krok 1: Find $a_{353}$ ‍ (ostatni wyraz)

Jest

335 - 1 = 334

wyrazów następujących po pierwszym wyrazie. Każdy kolejny wyraz ciągu maleje o

3

. Wartość ostatniego wyrazu ciągu będzie więc mniejsza o

334 \cdot 3 = 1002

w stosunku do pierwszego wyrazu, równego

2

. Oznacza to, że ostatni wyraz musi być równy

2 - 1002 = - 1000

Innymi słowy,

a_{335} = - 1000

Krok 2: Znajdź sumę $(S_{n})$ ‍ szeregu

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \cdot 335 \\ S_{335} & = - 499 (335) \\ S_{335} & = - 167,165 \end{aligned}

Odpowiedź

- 167 165

Zadanie 3

Znajdź sumę $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍.

Na początek

Mamy do czynienia z szeregiem arytmetycznym, bo różnica między wyrazami jest stała. Każdy wyraz jest o

6

większy od poprzedniego.

Potrzebujemy wyprowadzenia wzoru na sumę tych wszystkich wyrazów.

Wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

Wzór na

S_{n}

, czyli sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

W tym wzorze

a_{1}

to pierwszy wyraz,

a_{n}

to wyraz ostatni z tych, których sumę chcemy obliczyć, a

n

to liczba tych wyrazów.

Co musimy wiedzieć, aby móc wykorzystać ten wzór?

Pierwszy wyraz

(a_{1} = - 50)

oraz ostatni z sumowanych wyrazów,

(a_{n} = 2044)

, są podane w zadaniu.

Musimy obliczyć

n

(liczbę wyrazów ciągu, jaką mamy zsumować).

Krok 1: Oblicz $n$ ‍ (liczbę wyrazów)

Od pierwszego do ostatniego wyrazu, wyrazy ciągu rosną o

2044 - (- 50) = 2094

. Kolejny wyraz jest zawsze większy o

6

od poprzedniego, dlatego mamy

\frac{2094}{6} = 349

wyrazów od pierwszego do ostatniego. W naszym wyniku musimy jeszcze uwzględnić pierwszy wyraz, także w sumie ciąg składa się z

349 + 1 = 350

wyrazów.

Innymi słowy,

n = 350

Krok 2: Znajdź sumę $(S_{n})$ ‍ szeregu

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \cdot 350 \\ S_{350} & = 997 (350) \\ S_{350} & = 348,950 \end{aligned}

Odpowiedź

348 950

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.