If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:17:26

Transkrypcja filmu video

Wiele filmów temu wprowadziliśmy ideę rzutowania. W tamtym przypadku mieliśmy w szczególności do czynienia z rzutowaniami na proste przechodzące przez 0. Zatem jesli mieliśmy pewną prostą -- nazwijmy ją L -- i powiedzmy, że L jest kierunkiem pewnego wektora v. Lub, równoważnie, że L jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektora v nad ciałem liczb rzeczywistych. Obie są reprezentacjami prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych. Zdefiniowaliśmy rzutowanie dowolnego wektora na tę prostą. Narysuję to możliwie szybko. Narysujmy osie Zatem to jest moja -- chciałem to narysować nieco lepiej -- to jest moja pionowa oś, zaś to - pozioma. Załóżmy że mam pewną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Powiedzmy -- ta nie przechodzi -- powiedzmy, że ta prosta przechodzi przez 0. To jest L. Wiedzieliśmy, że wizualnie rzut wektora x na L -- powiedzmy, że to jest wektor x -- gdyby światło padało prostopadle na L to rzut x na L byłby cieniem wektora x. Tutaj mamy rzutowanie wektora x na prostą L. Zdefiniowaliśmy to bardziej formalnie. Za pomocą prostopadłości. Powiedzieliśmy, że x minus rzut x na L jest prostopadły do prostej L, lub prostopadły do wszystkiego -- ortogonalny do wszystkiego -- na prostej L. To jest przynajmniej jak ja to sobie wyobrażam. Cień światła padającego prostopadle na L. To był szczególny przypadek rzutowania. Pewnie zauważyłeś, że L jest właściwą podprzestrzenią, co możesz udowodnić: zawiera wektor zerowy, przechodzi przez początek układu współrzędnych jest zamknięte ze względu na dodawanie - jakikolwiek element L plus jakikolwiek inny element L wciąż należy do L. Jest zamknięte ze względu na mnożenie przez skalary -- można wziąć dowolny element L, przeskalować go, i wciąż będzie należał do L. Zatem jest to podprzestrzeń, tak jak to definiowaliśmy. W ramach przypomnienia, byliśmy w stanie znaleźć ten rzut dla pewnej prostej L. Gdy mamy pewien wektor rozpinający L, to rzut na tę prostą L przechodzącą przez początek wektora x jest iloczynem skalarnym x i wektora rozpinającego L, czyli <x,v> / <v,v>, które to tak naprawdę jest długością v do kwadratu. Zatem dostajemy pewien skalar i chcemy jakoś go powiązać z naszą prostą. Otrzymamy inny wektor należący do prostej. Zatem będzie to wielokrotność wektora v. Czyli po prostu przeskalowana wersja naszego wektora rozpinającego L. Być może twój wektor rozpinający wygląda tak. Ale tak naprawdę jakikolwiek inny wektor z L rozpina prostą L. Każdy różny od zera. To był rzut na prostą, która jest szczególnym przypadkiem podprzestrzeni. Musimy zatem poszerzyć naszą definicję rzutu do dowolnej podprzestrzeni. Wiemy już, że jeśli -- pozwólcie mi narysować pewną prostą wskazującą, że będziemy robić coś nieco innego -- jeśli V jest podprzestrzenią Rn, to dopełnienie v jest także podprestrzenią liniową Rn. Zatem dopełnienie ortogonalne V również jest podprzestrzenią. Załóżmy, że mamy jakieś elementy - zapiszę to inaczej. Jeśli mamy 2 podprzestrzenie - mamy podprzestrzeń i jej dopełnienie ortogonalne - wiemy już, że jeśli weźmiemy element Rn - niech x należy do Rn - wtedy x można przedstawić jako sumę elementu z V i elementu z dopełnienia V. Gdzie - pozwólcie mi to zapisać - wektor v jest elementem podprzestrzeni V i wektor w jest elementem dopełnienia ortogonalnego podprzestrzeni V. Po prostu. Tak jak to było robione kilka filmów temu. Udowodniliśmy, że można tak zrobić dla każdego elementu Rn. Skoro mamy już to, to możemy zdefiniować rzut x na podprzestrzeń V jako składową x - to są dwie składowe ortogonalne x - definiujemy rzut na V jako składową x pochodzącą z V. Jest równa temu wektorowi v. Równoważnie można powiedzieć, że rzut x na dopełnienie ortogonalne -- przepraszam, pomyłka -- na dopełnienie ortogonalne V jest równe wektorowi w. Ten zakreślony wektor jest rzutem na podprzestrzeń V. Ten wektor jest rzutem na dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni V. Tym, co chciałbym zrobić w tym filmiku jest pokazanie, że te dwie definicje -- ta tutaj, która pozostaje w związku z tym wyrażeniem -- są równoważne temu, czego już się nauczyliśmy jeśli podprzestrzeń V z którą mamy do czynienia jest prostą. Ponieważ to była właściwa podprzestrzeń. Lecz nie wszystkie podprzestrzenie są prostymi, oczywiście. Żeby to zobaczyć, możemy odświeżyć przykład, który zobaczyliśmy kilka filmów temu. Mieliśmy tę oto macierz A. Macierz 2 na 2. Mieliśmy również wektor b, który był elementem przestrzeni rozpiętej przez kolumny A. Zajmowaliśmy się tym problemem, by pokazać, że najszybsze rozwiązanie tego układu było jednoznacznie wyznaczonym elementem przestrzeni rozpiętej przez wiersze A. Mam nadzieję, że przypominasz sobie poprzednie rozwiązanie tego problemu. Ale pozwól, że coś narysuję i pokażę, że rozwiązanie tego problemu jest też rzutem na podprzestrzeń. Pozwól, że wszystko rozrysuję. Być może rozjaśni to nieco twoją pamięć. Tu niech będą osie układu. Pierwszą rzeczą, której się dowiedzieliśmy -- wiem, że mógłbyś to rozwiązać, ale zrobiłem już to w innym filmie. To było chyba dwa lub 3 filmy temu -- przestrzeń rozwiązań A, tzn wszystkie x będące rozwiązaniami Ax=0, jest rozpięta przez wektor 2,3. Czyli przemieszczamy się o 2 w prawo 1, 2. i 3 do góry. 1, 2, 3. Zatem to jest kierunek tego wektora. Kierunek tego wektora to po prostu wszystkie te punkty. Ten wektor wyznacza ten punkt, ale jeśli przeskalujemy wektor otrzymamy wszystkie punkty na tej prostej. Wszystkie punkty na tej prostej. Narysuję to w ten sposób. Jest w porządku. Nie powinno skręcać aż tak na końcu. Pozwólcie, że narysuję to nieco lepiej. To jest przestrzeń rozwiązań. To jest nasza przestrzeń rozwiązań tamtej macierzy. Przestrzeń rozpięta przez wiersze jest rozpięta przez (3, -2). Co widać tutaj. 3, minus 2 jest pierwszym wierszem. Ten element jest po prostu wielokrotnością tego. Dlatego też nie narysowałem tego wektora w przestrzeni liniowej. Gdybyśmy mieli to narysować, 3, minus 2. 3 w prawo, potem 2 w dół To byłby kierunek tego wektora. Narysuję to w ten sposób. Teraz bierzemy wszystkie skalarne wielokrotności tego wektora i umieszczamy je w standardowej pozycji. Będą one wskazywać, ich końce będą wskazywać punkty na tej prostej. Na tej prostej. Staram się upewnić, że narysuję je prostopadle. Zatem to jest przestrzeń wierszowa. To jest przestrzeń wierszowa A która jest taka sama jak przestrzeń kolumnowa A transponowanego. Wiemy, że te proste są swoimi dopełnieniami ortogonalnymi. Wiemy, ponieważ widzielismy to w wielu filmikach, że przestrzeń rozwiązań A jest dopełnieniem ortogonalnym przestrzeni rozpiętej przez wiersze A. Wiemy także, że dopełnienie ortogonalne przestrzeni rozwiązań jest przestrzenią rozpiętą przez wiersze. Wszystko tutaj jest prostopadłe do wszystkiego tutaj. Wszystko tutaj jest prostopadłe do wszystkiego tutaj. Widać to na rysunku. Te dwie przestrzenie, które są reprezentowane przez te proste, które przechodzą przez początek układu, są prostopodałe. To ma sens, że - co stwierdziliśmy na początku tego filmu - jakikolwiek punkt płaszczyzny R2 w tej sytuacji, może być przedstawiony jaki suma jednoznacznie wyznaczonego elementu przestrzeni wierszowej i jednoznacznie wyznaczonego elementu jego dopełnienia prostopadłego. Przypuśćmy, że mamy pewien punkt. Jak można go przedstawić w postaci sumy elementu stąd i elementu stąd? Jeśli podążamy tą prostą, w mamy ten wektor. Mamy ten wektor, leżący wzdłuż tej prostej. Następnie mamy też ten wektor. W tym wypadku narysowaliśmy go w standardowej pozycji, ale możemy narysować wektor gdziekolwiek chcemy. Te proste to zbiór wszystkich wektorów skierowanych w tę stronę zaczepionych w środku układu współrzędnych. Wcześniej jednak nauczyliśmy się, w pierwszym lub drugim filmie o wektorach, że mogę je narysować gdziekolwiek chcę. Więc jeśli dodam ten wektor i ten, mogę przesunąć ten wektor i będzie się on znajdował w tym miescu. Tak to wygląda. Wziąłem dowolny punkt z przestrzeni R2 i przedstawiłem go jako sumę elementu mojej przestrzeni wierszowej oraz elementu z jej dopełnienia ortogonalnego. Wcześniej rozwiązaliśmy ten problem patrząc na ten zbiór. Powiedzieliśmy, że zbiór rozwiązań wygląda w ten sposób. Składa się on ze szczególnego rozwiązania oraz elementów jądra, czyli rozwiązań jednorodnych. Widzieliśmy to kilka filmów temu. Zatem punkt 3,0 - o ten - oraz elementy jądra. Zatem zbiór rozwiązań będzie równoległy do tego, ale przesunięty w prawo o 3. Zatem to wygląda - narysuję to nieco lepiej narysuję to w ten sposób. Później zmierza w dół - źle to narysowałem w ten sposób. To też nie jest dobrze. Być może jestem zbyt wybredny. OK, to jest zbiór rozwiązań. Jeśli pamiętasz, w tamtym filmie stwierdziliśmy, że jest element zbioru rozwiązań, który jest także elementem naszej przestrzeni wierszowej i ten element zbioru rozwiązań który jest również elementem przestrzeni wierszowej, jest najkrótszym rozwiązaniem. Co widzieliśmy. Widać to dobrze tutaj. Prawda? Ten wektor jest w naszej przestrzeni wierszowej jest elementem naszej przestrzeni wierszowej. Wyznacza również punkt w naszej przestrzeni rozwiązań. Można było zobaczyć, że jest najkrótszym rozwiązaniem. Można o tym pomyśleć w ten sposób - to jest rzutowanie - muszę wybrać inny kolor - dowolne rozwiązanie z naszej przestrzeni rozwiązań powiedzmy, że to jest jakieś wybrane rozwiązanie naszego zbioru rozwiązań. ok? To będzie punkt w R2, a każdy punkt w R2 może być przedstawiony jako suma wektora z przestrzeni wierszowej oraz pewnego wektora z jądra. Jeśli mam ten wektor, jak mogę to zrobić? Cóż, mógłbym go przedstawić jako sumę tego oraz tego wektora. Tego wektora. Ten wektor oczywiście jest elementem jądra. Jedynie go przesunąłem. Ta prosta obowiązuje tylko, jeśli rysuję w standardowej pozycji. Ten wektor - pokazuję go w całej okazałości- jeśli dodam ten element przestrzeni wierszowej do tego elementu jądra, otrzymuję rozwiązanie należące do mojego zbioru rozwiązań. Jeśli się nad tym zastanowić, rzutowanie szczególnego rozwiązania na przestrzeń wierszową będzie tym wektorem. To pochodzi z - cóż, można to rozpatrywać na dwa sposoby - niech to będzie nasze rozwiązanie o tutaj. Możemy powiedzieć, że nasze rozwiązanie jest równe elementowi przestrzeni wierszowej oraz jądra. To jest przestrzeń wierszowa, to jest jądro. Zatem z definicji rzutowania na podprzestrzeń, którą podałem, wiemy, że to rzutowanie tego rozwiązania na moją - teraz trochę popiszę- na moją przestrzeń wierszową jest równe tej pierwszej rzeczy. Jest równe jego komponentowi w przestrzeni wierszowej. Jego druga składowa, jak można to nazwać, znajduje się w dopełnieniu ortogonalnym przestrzeni wierszowej. Lub też, w jądrze. Zatem będzie równe wektorowi R. Teraz chciałbym pokazać, że to jest równoważne definicji, którą zajmowaliśmy się wcześniej Jest to dokładnie to samo, co nasza definicja rzutowania na prostą, ponieważ w tym przypadku podprzestrzeń to właśnie prosta. Znajdźmy przestrzeń rozwiązań Najłatwiesze rozwiązanie które możemy znaleźć otrzymamy, gdy weźmiemy C równe 0. Wiemy, że x równe (3,0) jest jednym z tych rozwiązań Zatem x równe (3,0) wygląda tak. Wiemy, że x=(3,0) jest rozwiązaniem. Tym, co chcemy zrobić, jest znalezienie najkrótszego rozwiązania. Lub inaczej, rzutowanie x na przestrzeń wierszową. Możemy pomyśleć również o rzutowaniu x na tę prostą. Ta prosta to przestrzeń wierszowa. Zróbmy to. Robię to, żeby pokazać, że ta definicja rzutowania na podprzestrzeń którą wprowadziłem w tym filmie, jest tym samym, co definicja - może nie tym samym, jest zgodna z definicją rzutowania na prostą. Ta definicja jest bardziej ogólna, ponieważ podprzestrzeń nie musi być prostą. W tym wypadku jest. Zróbmy to. Rzutowanie wektora (3,0) na przestrzeń wierszową, która jest prostą więc możemy użyć tego wzoru, jest równa (3,0) razy wektor rozpinający naszą przestrzeń wierszową. Razy wektor rozpinający. (3,-2). Jest sporo wektorów rozpinających naszą przestrzeń wierszową, wybraliśmy po prostu ten konkretny wektor. mnożone przez (3,-2), podzielone przez wektor rozpinający pomnożony przez siebie. (3,-2) razy (3,-2). Po pomnożeniu uzyskamy skalar, następnie pomnożymy nim - przeskalujemy - nasz rozpinający wektor. To jest rzutowanie tego rozwiązania na przestrzeń wierszową, które powinno dać mi ten wektor. Ponieważ rzutujemy na prostą, bo przestrzeń wierszowa w tej podprzestrzeni jest prostą. Zatem użyliśmy liniowych rzutowań, o których nauczyliśmy się, gdy zaczęliśmy zajmować się przekształceniami liniowymi. Zobaczmy. 3 razy 3 + 0 razy -2. otrzymujemy 9. 3 razy 3 plus (-2) razy (-2) 9 + 4 13. mamy 9/13 razy ten wektor To będzie 9/13 razy wektor (3,-2). Co jest równe wektorowi 27/13 i -18/13. Który jest tym wektorem. Otrzymaliśmy dokładnie tę samą odpowiedź co wcześniej, ale nie używaliśmy rzutowania na prostą. Teraz widzimy, że to jest zupełnie zgodne z tym, co robiliśmy wcześniej. Użyliśmy rzutowania na prostą. Widzimy, że jest to zgodne z naszą nową, ogólniejszą definicją rzutowania. Tutaj byliśmy w stanie to zrobić, ponieważ rzutowaliśmy na prostą. Ale w rzeczywistości działa to dla dowolnej podprzestrzeni. Wiemy jak rzutować na prostą, ale tak naprawdę zdefiniowałem rzutowanie na dowolną podprzestrzeń. Ale nie dałem wam dobrego narzędzia matematycznego oraz obliczeniowego, by zrozumieć, co to będzie, gdy nie rzutujemy na prostą. Tak naprawdę nawet nie pokazałem w ogólnym przypadku, czy to na pewno jest przekształcenie liniowe. Wiemy, że rzutowanie na prostą jest przekształceniem liniowym. Ale nie pokazałem, że rzutowanie na dowolną podprzestrzeń jest przekształceniem liniowym. Zrobię to w następnym filmie.