Co to jest siła wyporu?

Zdarzyło Ci się kiedyś zgubić okulary pływackie w głębokiej części basenu i próbować po nie zanurkować do samego dna? Pamiętasz pewnie to uczucie, że woda chce Cię wypchnąć do góry, podczas gdy ty chcesz zejść jak najgłębiej. Siła, która działa do góry na ciała zanurzone w cieczy ma swoją nazwę, nazywamy ją siłą wyporu.

W tym artykule pokażemy, jak powiązać siłę, działającą na ciała zanurzone w cieczy z innymi wielkościami fizycznymi, takimi jak ciśnienie i gęstość cieczy oraz objętość zanurzonego ciała. Ponieważ jednak nie mamy do dyspozycji całego koniecznego aparatu matematycznego, nasze wyprowadzenie dotyczyć będzie prostego, szczególnego przypadku. W drugiej części przedstawimy bardziej ogólny argument, prowadzący do tego samego wniosku. Załóżmy więc, że ktoś wrzucił do wody puszkę, powiedzmy z fasolą, w pozycji takiej, jak na poniższym rysunku.

Pokażemy, że siłę wyporu można zrozumieć jako konsekwencję różnicy ciśnień działających na górne i dolne wieczko puszki. Ciśnienie słupa wody $(p_w=\rho gh)$‍ rośnie razem z głębokością. Ponieważ dolne wieczko znajduje się głębiej, niż górne, skierowana do góry siła działająca na dolne wieczko jest większa od skierowanej do dołu siły działającej na górne wieczko i różnica tych sił daje w rezultacie siłę wyporu, działającą na puszkę. Zauważ, że ponieważ puszka ma symetrię osiową, siły, których źródłem jest ciśnienie działające z różnych stron na ścianę boczną puszki się równoważą.

I już, to wszystko. Żródłem siły wyporu jest różnica ciśnień działających na dolną i górną powierzchnię ciała. Ponieważ ciśnienie wody rośnie wraz z głębokością, wypadkowa siła działająca na ciało działa pionowo do góry.

Na pewno widzisz, że z tym wyjaśnieniem jest pewien kłopot. Nie każde ciało, zanurzone w wodzie, ma kształt puszki, na przykład trudno zgodzić się z tym, że gdy to Ty nurkujesz w basenie, można Cię opisać za pomocą puszki. Po drugie, nie każda puszka wpada do wody ustawiona tak równo, denkami poziomo. Jak wspomnieliśmy powyżej, brakuje nam tutaj matematyki, żeby uogólnić to rozumowanie na przypadek dowolnego kształtu i dlatego w części o prawie Archimedesa podejdziemy do tego inaczej. Na razie jednak spróbujemy obliczyć, ile dokładnie wynosi działająca na nią siła wyporu.

Zacznijmy od tego, że woda działa na górne denko puszki siłą skierowaną do dołu $F_{dodołu}$‍, a na dolne denko puszki działa siłą skierowaną do góry $F_{dogóry}$‍. Wypadkowa siła, którą nazwiemy siłą wyporu ($F_{wyporu}$‍) równa jest różnicy siły działającej do góry $F_{dogóry}$‍ i do dołu $F_{dodołu}$‍. (Pamiętamy, że siła jest wektorem, ale będziemy stosować tę uproszczoną notację, ponieważ nie prowadzi to do nieporozumienia).

Korzystając z definicji ciśnienia $P={\displaystyle \frac{F}{A}}$‍ możemy wyrazić te siły przez ciśnienie i pole powierzchni denka $F=PA$‍ . Siła działająca na dolne denko, skierowana do góry, równa się $F_{dogóry}=P_{dolne}A$‍, a siła działająca do dołu na górne denko równa się $F_{dodołu}=P_{górne}A$‍. Podstawiając te wyrażenia do zapisanego powyżej wzoru na siłę wyporu, dostajemy:

Ciśnienie na głębokości $h$‍ równa się sumie ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia słupa wody o wysokości $h$‍, $P=P_{atm}+P_h=P_{atm}+\rho gh$‍. Ciśnienie wody na dolne i górne denko równe jest, odpowiednio, $P_{dolne}=P_{atm}+\rho g{h}_{dół}$‍ i $P_{górne}=P_{atm}+\rho g{h}_{góra}$‍. Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru na siłę wyporu ciśnienie atmosferyczne się skróci i dostaniemy:

Możemy teraz wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik $\rho gA$‍:$$‍

Z poniższego rysunku wynika coś ciekawego! Różnica pomiędzy $h_{dół}-h_{góra}$‍ równa się wysokości puszki!

Możemy więc zamiast różnicy $(h_{dół}-h_{góra})$‍ w tym wyrażeniu podstawić wysokość puszki $h_{puszki}$‍:

Rozważana przez nas puszka ma kształt walca. Zauważ, że iloczyn pola powierzchni denka i wysokości puszki $A\cdot h$‍ równa się objętości puszki, więc wyraz$A{h}_{puszki}$‍ możemy podstawić objętość puszki $V$‍ . Na objętość $V$‍ możemy spojrzeć także jak na objętość wody, która wypełniłaby przestrzeń, zajętą przez zanurzoną w wodzie puszkę. Jest to więc także objętość wody wypartej przez tę puszkę.

Zastanówmy się przez chwilę, która z tych interpretacji iloczynu $Ah$‍, czyli objętości $V$‍ , jako objętości puszki czy objętości cieczy wypartej przez puszkę jest bardziej przydatna? Odpowiedź na to pytanie można uzyskać, analizując sytuację, w której puszka pływałaby na powierzchni tak, że tylko jej część byłaby zanurzona w cieczy. W tej sytuacji ewidentnie chodziłoby o objętość części zanurzonej w cieczy, a więc objętość cieczy $V_{cieczy}$‍ wypartej przez puszkę, ponieważ to ta objętość, a nie objętość całkowita puszki, związana jest z siłą wyporu.

I to w zasadzie koniec wyprowadzenia. Mamy wzór, który pozwala obliczyć siłę wyporu działającą na dowolne ciało całkowicie lub częściowo zanurzone w wodzie. W tym sformułowaniu siła wyporu nie zależy od kształtu ciała, ani od głębokości, na jakiej jest zanurzone. Zależy wyłącznie od gęstości cieczy $\rho$‍, przyspieszenia grawitacyjnego (natężenia pola grawitacyjnego) $g$‍ i objętości cieczy, wypartej przez zanurzone ciało $V_{cieczy}$‍.

Zauważ, że siła wyporu nie zależy od głębokości, na jaką zanurzone jest ciało. Jeśli tylko znajduje się całe pod powierzchnią cieczy, działająca na nie siła wyporu jest taka sama niezależnie od tego, na jakiej głębokości się znajduje. Ktoś może uznać, że ten wniosek jest sprzeczny z intuicją, ponieważ ciśnienie wody rośnie z głębokością. W przypadku puszki, o sile wyporu decydowała różnica ciśnień pomiędzy górnym i dolnym denkiem, a ta jest na każdej głębokości taka sama.

W takim razie dlaczego niektóre ciała toną, skoro działa na nie skierowana do góry siły wyporu? W polu grawitacyjnym siła wyporu nie jest jedyną siłą działająca na ciało. Ciała toną, gdy ich ciężar jest większy od siły wyporu. W miarę jak ciało się zanurza, objętość części zanurzonej w cieczy rośnie. Jeśli w pewnym momencie siła wyporu, pochodząca od części zanurzonej w cieczy, zrównoważy ciężar, ciało przestanie się zanurzać i będzie pływać, częściowo zanurzone, na powierzchni. Analizując równowagę ciężaru i siły wyporu można dojść do ogólnego wniosku, że gdy gęstość zanurzonego ciała jest większa od gęstości cieczy, to ciało zatonie, niezależnie od tego, jaki ma kształt.

W tej części przedstawimy inny argument, który zaprowadzi nas do dokładnie tych samych wniosków, ale po drodze niepotrzebne będą założenia o kształcie zanurzonego w wodzie ciała. Wyobraź sobie duży zbiornik wody, w którym woda spoczywa, to znaczy, nie ma żadnych prądów, woda nie przepływa ani z góry na dół, ani w kierunku poziomym. Ewidentnie, taka sytuacja jest możliwa, wszyscy, którzy obserwowali jezioro w bezwietrzny dzień, mogą to potwierdzić. Wyobraź sobie teraz znajdujący się na pewnej głębokości obszar wypełniony wodą, taki jak na powyższym rysunku. Kształt obszaru nie gra roli, ważne jest tylko, że woda w tym obszarze znajduje się, tak jak woda w całym zbiorniku, w spoczynku. Woda w wodzie nie tonie! Z pierwszej zasady dynamiki Newtona wynika, że w takim razie wypadkowa siła, działająca na wodę w tym obszarze równa jest zero. Skoro jednak woda ma ciężar, musi działać na nią skierowana do góry siła, która dokładnie równoważy ciężar wody, a zatem jej wartość musi wynosić:

$F_{wyporu}=W_{cieczy}$‍, przy czym ciężar tej cieczy $W_{cieczy}=\rho V_{cieczy}g$‍

Ponieważ ściany i dno naszego zbiornika znajdują się bardzo daleko, a z doświadczenia wiemy, że siła wyporu działa niezależnie od tego, czy ciało znajduje się w sadzawce, czy w rozległym i głębokim jeziorze, źródłem siły wyporu może być tylko ograniczająca ten obszar woda. Wyobraź sobie teraz, że w pewien czarodziejski sposób z tego obszaru usuwamy wodę i w jej miejsce umieszczamy ciało o dokładnie tym samym kształcie, jaki miała wcześniej woda w tym obszarze. Czy z punktu widzenia reszty wody w zbiorniku coś się zmieniło? $$‍$$‍

$$‍ Jeśli uważasz, że nie jest to oczywiste, przypomnij sobie, co wiemy dzisiaj o oddziaływaniach międzycząsteczkowych np. w wodzie, czy ogólnie w cieczach. Cząsteczki cieczy oddziałują jedynie z najbliższymi sąsiadami i nie mogą odczuwać różnicy z powodu tego, że gdzieś, w jakimś obszarze, zamiast wody pojawiło się ciało o innej gęstości.

Jeśli tak, to siła, z jaką ciecz w zbiorniku działa na obszar, który wydzieliliśmy, będzie taka sama jak wtedy, gdy w tym obszarze znajdowała się ciecz, czyli dokładnie równa co do wartości, lecz skierowana w przeciwnym kierunku, do góry, ciężarowi cieczy zajmującej uprzednio tę objętość.

To równanie jest matematycznym zapisem prawa Archimedesa, które stwierdza, że na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi cieczy, wypartemu przez to ciało. Prostota tego stwierdzenia jest uderzająca. Chcąc wyznaczyć siłę wyporu działającą na zanurzone w cieczy ciało musisz obliczyć ciężar cieczy wypartej przez to ciało.

Nasze wyprowadzenie nie zależało od kształtu ciała, nie odwoływało się także do pojęć takich, jak ciśnienie i nie wymagało znajomości skomplikowanego aparatu matematycznego mechaniki cieczy i gazów. Kluczową rolę odegrała w nim obserwacja Galileusza na temat źródła spoczynku i ruchu, którą Newton sformułował później jako pierwsze ze swych trzech praw mechaniki. Przedstawione tutaj rozumowanie bliskie jest wywodowi, przypisywanemu samemu Archimedesowi, sprzed 2000 lat, a samo prawo Archimedesa jest jednym z najwcześniejszych dowodów potęgi myśli ludzkiej, zajmującej się abstrakcyjnymi rozważaniami

Czasem ktoś zapomina że gęstość $\rho$‍ we wzorze na siłę wyporu $F_{wyporu}=\rho V_{cieczy}g$‍ oznacza gęstość cieczy, a nie gęstość zanurzonego w cieczy ciała.

Często też zdarza się, że zapominamy, że objętość występująca we wzorze na siłę wyporu oznacza objętość cieczy wypartej przez tę część ciała, która jest zanurzona w cieczy, a niekoniecznie całkowitą objętość ciała.

Niektórym wydaje się, że siła wyporu rośnie razem z głębokością. Siła wyporu faktycznie rośnie, w miarę jak ciało zanurza się w cieczy i osiąga maksymalną wartość, gdy ciało jest zanurzone całkowicie. Dalsze zanurzanie nie zmienia objętości cieczy $V_{cieczy}$‍ wypartej przez to ciało. Również gęstość cieczy $\rho$‍ i przyspieszenie grawitacyjne $g$‍ praktycznie nie zależy od głębokości, jak długo znajdujemy się niezbyt głęboko pod powierzchnią.

Niestety, jeśli chodzi o prawo Archimedesa, najczęściej pamiętamy historię o starszym panu, który wyskoczył nago z wanny z okrzykiem "Eureka". Dobrze jest więc zapamiętać dokładni: "Na każde ciało zanurzone w cieczy działa skierowana do góry siła wyporu, której wartość równa jest ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało."

Ważący $\mathrm{0,650}\text{ kg}$‍ krasnal ogrodowy zanurkował nieco zbyt głęboko i znalazł się na dnie jeziora o głębokości $35,0\text{ m}$‍. Krasnala ogrodowego możemy rozpatrywać jako bryłę bez otworów, której objętość równa się $1,44\cdot {10}^{-3}{\text{ m}}^3$‍. Gęstość wody słodkiej w jeziorze wynosi $1000{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍.

Magiczny sześcian, który znalazłeś w swoim ogrodzie, ważny $2,33\text{kg}$‍ .

Aby sześcian nie zatonął, to znaczy, aby po zanurzeniu w wodzie utrzymywał stałą głębokość, siła wyporu musi równoważyć jego ciężar:

Reklamę w postaci wypełnionego helem balonu z rysunkiem krowy przymocowano liną do wbitej w ziemię kotwicy. Masa powłoki balonu i wypełniającego go gazu jest równa $9,20\text{ kg}$‍ . Średnica balonu równa się $3,50\text{ m}$‍ . Gęstość powietrza równa się $1,23{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

Zacznijmy od narysowania sił działających na nasz balon. Na rysunku zaznaczymy także dane liczbowe. Zauważ, że w tym zadaniu rolę cieczy, wypartej przez ciało pełni powietrze.

Balon pozostaje w spoczynku, a zatem siły działające na niego się równoważą. Zapiszemy równanie równowagi sił: