Główna zawartość

Kurs: Fizyka w szkole średniej > Rozdział 1

Lekcja 5: Przyspieszenie średnie i przyspieszenie chwilowe

Interpretacja wykresów prędkości w zależności od czasu.

Wykresy, które wiążą przesunięcie, prędkość przyspieszenie i czas. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Co przedstawia oś pionowa na wykresie prędkości?

Oś pionowa przedstawia prędkość obiektu. Prawdopodobnie wydaje się to oczywiste, ale bądź ostrożny, wykresy prędkości są nadal trudne do interpretacji. Ludzie tak przyzwyczaili się do obliczania prędkości przez wyznaczanie prostej stycznej (tak jak robi się to na wykresie położenia), że zapomnieli o tym, że na wykresach prędkości wartość na osi pionowej oznacza prędkość. Poza tym pamiętaj — prędkość jest wektorem! To znaczy, że żeby narysować poniższy wykres, na którym prędkość w danej chwili czasu jest liczbą, musieliśmy najpierw wybrać układ współrzędnych, określić jego kierunek i zwrot — w przypadku ruchu w jednym wymiarze sprawa kierunku jest prosta, ale zwrot może nadal oznaczać ruch w prawo, lub w lewo, albo do góry, lub w dół.

Spróbuj przesuwać poziomo kropkę na poniższym wykresie, żeby wybrać różne chwile czasu i zobaczyć, jak zmienia się prędkość.

Pytanie kontrolne: Jaka jest prędkość obiektu w chwili $t = 4 sekund$ ‍, według powyższego wykresu?

Co przedstawia nachylenie prostej na wykresie prędkości?

Nachylenie prostej na wykresie prędkości, przedstawia przyśpieszenie obiektu. Więc wartość nachylenia prostej w danej chwili czasu, przedstawia przyśpieszenie obiektu w tej właśnie chwili.

Nachylenie prostej stycznej do wykresu prędkości, przedstawia się według następującego wzoru:

nachylenie = \frac{przyrost w osi pionowej}{przyrost w osi poziomej} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}

Ponieważ iloraz

\frac{Δ v}{Δ t}

jest definicją przyśpieszenia, nachylenie prostej na wykresie prędkości, musi być równe przyśpieszeniu obiektu.

nachylenie = przyśpieszenie

Oznacza to, że kiedy nachylenie jest strome, obiekt będzie zmieniał prędkość gwałtownie. Kiedy nachylenie jest łagodne, obiekt nie będzie zmieniał swojej prędkość tak gwałtownie. Oznacza to również, że jeżeli nachylenie jest ujemne (skierowane w dół), przyśpieszenie będzie ujemne, jeżeli nachylenie jest dodatnie (skierowane w górę) przyśpieszenie będzie dodatnie.

Spróbuj przesuwać kropkę poziomo, na poniższym przykładowym wykresie prędkości żeby zobaczyć, jak wygląda nachylenie prostej w określonej chwili czasu.

Pomiędzy czasem

t = 0 s

t = 2 s

, nachylenie prostej stycznej do krzywej jest dodatnie, ponieważ prosta jest skierowana do góry. Oznacza to, że w tym układzie współrzędnych przyśpieszenie jest dodatnie.

Pomiędzy czasem

t = 2 s

t = 8 s

, nachylenie prostej stycznej do krzywej jest ujemne, ponieważ prosta jest skierowana do dołu. Oznacza to, że w tym układzie współrzędnych przyśpieszenie jest ujemne.

W czasie

t = 2 s

, nachylenie prostej jest równe zeru, ponieważ styczna jest w położeniu poziomym. Oznacza to, że przyśpieszenie w tej chwili czasu, jest równe zeru. Wektor zerowy ma składową równą zeru w każdym układzie współrzędnych.

Pytanie kontrolne: Czy obiekt, którego ruch jest opisany za pomocą powyższego wykresu, przyśpiesza czy zwalnia w czasie $\begin{aligned} t = 4 \\ t e x t s \end{aligned}$ ‍?

W chwili

t = 4 s

obiekt zwalnia.

Jednym ze sposobów żeby to zobaczyć, jest przeciągnięcie suwaka do czasu

\begin{aligned} t = 4 \\ t e x t s \end{aligned}

i zobaczenie, że nachylenie stycznej do wykresu jest ujemne, co oznacza że przyśpieszenie jest ujemne. Prędkość w czasie

\begin{aligned} t = 4 \\ t e x t s \end{aligned}

jest dodatnia i ma wartość równą

\begin{aligned} + 3 \\ t e x t m / s \end{aligned}

. Ponieważ przyśpieszenie i prędkość mają przeciwne znaki, obiekt musi zwalniać.

Można na to spojrzeć jeszcze inaczej: zastanówmy się, co się dzieje z szybkością obiektu w chwili

t = 4 s

. Jak widać, współrzędna na osi

Y

maleje, zbliża się do punktu zero. Szybkość, która równa się wartości bezwzględnej tej współrzędnej, również maleje — im bliżej zera leży liczba na osi liczbowej, tym jej wartość bezwzględna = odległości liczby od zera, jest mniejsza. A co się stanie, jak wykres prędkości przetnie oś czasu (oś

X

) i zacznie biec w dół? Technicznie, prędkość ciągle maleje, bo odpowiadający jej punkt na osi

Y

odsuwa się teraz w dół od punktu zero. ale szybkość = wartość bezwzględna prędkości rośnie. A zatem, w chwili

t = 7 s

szybkość naszego obiektu rośnie.

Co przedstawia obszar pod wykresem prędkości?

Obszar pod wykresem prędkości przedstawia przemieszczenie obiektu. Żeby zobaczyć dlaczego, rozważ następujący wykres ruchu, który pokazuje obiekt utrzymujący stałą prędkość, równą 6 metrów na sekundę w czasie 5 sekund.

Żeby obliczyć przemieszczenie w tym przedziale czasu, moglibyśmy użyć wzoru,

Δ x = v Δ t = (6 m/s) (5 s) = 30 m

Co daje nam przemieszczenie równe

30 m

Teraz pokażemy, że jest to równoznaczne z obliczeniem obszaru pod krzywą. Rozważ prostokątny obszar utworzony przez wykres, tak jak pokazano poniżej.

Pole tego prostokąta, możemy obliczyć przez pomnożenie wysokości 6 m/s, razy jego szerokość 5 s, co daje nam

pole = wysokość \cdot szerokość = 6 m/s \cdot 5 s = 30 m

Jest to taka sama odpowiedź, którą otrzymaliśmy poprzednio dla przemieszczenia. Obszar pod krzywą prędkości, niezależnie od kształtu krzywej, będzie równy przemieszczeniu w czasie tego przedziału czasu.

Dla krzywej dowolnego kształtu, możesz podzielić obszar pod krzywą na prostokąty o bardzo małej szerokości, tak jak na wykresie poniżej. Przemieszczenie podczas każdego małego przedziału czasu, będzie wyrażone przez

Δ x = v Δ t

, ponieważ prędkość jest w przybliżeniu stała, jeśli przedziały czasu są wystarczająco małe. Gdybyś stworzył nieskończenie małe prostokąty, przedstawiłyby dokładnie obszar pod krzywą. Wszystkie małe obszary dodane do siebie, będą równe całkowitemu obszarowi, czyli przemieszczeniu obiektu. Rozwiązując obecny problem, tak naprawdę nigdy nie musisz dzielić krzywej na nieskończoną liczbę prostokątów. Jak tylko uświadomisz sobie, że obszar pod krzywą prędkości przedstawia przemieszczenie, możesz wyznaczyć obszar w najdogodniejszy dla Ciebie sposób.

pole obszaru pod wykresem = przemieszczenie

W tym przypadku nadal możesz obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego wykresem i osią czasu. Tym razem, skoro krzywa prędkości leży poniżej osi czasu, przemieszczenie będzie równe polu powierzchni tego obszaru wziętym ze znakiem minus. Zauważ, że jeśli krzywa leży poniżej osi czasu, to składowa prędkości jest ujemna, a zatem składowa przemieszczenia w tym czasie też będzie ujemna.

For this reason, many people think of areas that lie underneath the time axis as "negative areas under the curve" so that they remember to add the negative sign. Strictly speaking this is nonsense, since area is zero or positive by definition, but that doesn't stop people from using "negative area under the curve" as a useful mnemonic device.

Jak wyglądają rozwiązane przykłady, dotyczące wykresów prędkości w funkcji czasu?

Przykład 1: Zmiana szybkości surfera

Surfer porusza się wzdłuż prostej linii i jego ruch jest przedstawiony poniżej, za pomocą wykresu prędkości w układzie współrzędnych skierowanym zgodnie z kierunkiem ruchu surfera.

Wybierz wszystkie zdania, które są prawdziwe na temat szybkości i przyśpieszenie surfera.

(A) Szybkość wzrasta.
(B) Przyśpieszenie wzrasta.
(C) Szybkość maleje.
(D) Przyśpieszenie maleje.

Prawdziwe są odpowiedzi A (szybkość wzrasta) i D (przyśpieszenie maleje).

Prosta styczna do wykresu prędkości jest przyspieszeniem. Ponieważ nachylenie prostej stycznej do krzywej maleje i staje się mniej strome, oznacza to, że przyspieszenie również maleje.

Może się to wydawać sprzeczne z intuicją, ale surfer cały czas przyśpiesza w czasie ruchu, który został przedstawiony na tym wykresie. Prędkość surfera stale rośnie dla w całym okresie, dla którego zrobiono ten wykres, ale przyrost prędkości w każdej sekundzie maleje. W pierwszych

\begin{aligned} 4, 5 \\ t e x t s \end{aligned}

szybkość wzrosła z

\begin{aligned} 0 \\ t e x t m / s \end{aligned}

do około

\begin{aligned} 5 \\ t e x t m / s \end{aligned}

, ale dla kolejnego przedziału o długości

\begin{aligned} 4, 5 \\ t e x t s \end{aligned}

szybkość wzrosła z

\begin{aligned} 5 \\ t e x t m / s \end{aligned}

tylko do około

\begin{aligned} 7 \\ t e x t m / s \end{aligned}

Przykład 2: Przyśpieszenie gokarta

Ruch gokarta jest przedstawiony poniżej za pomocą wykresu prędkości gokarta w pewnym układzie współrzędnych, w funkcji czasu.

A. Ile wynosiło przyśpieszenie gokarta w czasie $t = 4 s$ ‍?
B. Ile wyniosło przemieszczenie gokarta pomiędzy czasem $t = 0 s$ ‍ i $t = 7 s$ ‍?

A. Obliczanie przyśpieszenia gokarta w czasie $t = 4 s$ ‍

Możemy znaleźć przyśpieszenie w czasie

t = 4 s

, wyznaczając nachylenie wykresu prędkości w czasie

t = 4 s

nachylenie = \frac{przyrost w pionie}{przyrost w poziomie}

Dla naszych dwóch punktów, wybierzemy początek

(3 s, 6 m/s)

i koniec

(7 s, 0 m/s)

skośnej linii, odpowiednio jako punkty jeden i dwa. Podstawiając te punkty do wzoru na nachylenie prostej, otrzymujemy,

nachylenie = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{0 m/s - 6 m/s}{7 s - 3 s} = \frac{- 6 m/s}{4 s} = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

przyśpieszenie = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

B. Obliczanie przemieszczenia gokarta pomiędzy czasem $t = 0 s$ ‍ i $t = 7 s$ ‍

Możemy wyznaczyć przemieszczenie gokarta, przez obliczenie obszaru pod wykresem prędkości. Możemy przyjąć, że wykres jest prostokątem (pomiędzy

t = 0 s

t = 3 s

) i trójkątem (pomiędzy

t = 3 s

t = 7 s

). Po obliczeniu i dodaniu pól tych figur, otrzymamy całkowite przemieszczenie.

Pole prostokąta obliczamy jako

pole = w y s o k o ś ć \cdot s z e r o k o ś ć = 6 m/s \cdot 3 s = 18 m

Pole trójkąta obliczamy jako

pole = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (4 s) (6 m/s) = 12 m

Dodając do siebie oba pola, otrzymujemy całkowite przemieszczenie.

całkowite pole = 18 m + 12 m = 30 m

całkowite przemieszczenie = 30 m

. Otrzymaliśmy wartość dodatnią, to znaczy że gokart przemieścił się o

30

m w kierunku zgodnym z orientacją układu współrzędnych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

KAMIL KOWALCZYK
Opublikowane 4 lata temu. Odnosi się do postu KAMIL KOWALCZYK's o treści “Co oznacza pole powierzch...”
Co oznacza pole powierzchni pod wykresem zależności prędkości od czasu?
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(0 głosów)
Odpowiedź
- Phil McMahon
  Opublikowane 2 miesiące temu. Odnosi się do postu Phil McMahon's o treści “Obszar pod wykresem prędk...”
  Obszar pod wykresem prędkości przedstawia przemieszczenie obiektu.
  Kliknij, aby przejść do strony rejestracji
  (1 głos)

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Fizyka w szkole średniej