Optymalizacja ceny monopolisty: Krańcowy przychód

Już umiemy określić przychód całkowity dla dowolnej ilości i wyrazić go matematycznie. Teraz pomyślmy o przychodzie krańcowym w każdym z tych punktów. Przychód krańcowy to po prostu zmiana przychodu całkowitego dzielona przez zmianę ilości. Później wykorzystamy to, by zoptymalizować zysk dla naszego monopolu. Spróbuję bez wyższej matematyki. Za pomocą pochodnych najłatwiej oznacza się nachylenie krzywej w dowolnym punkcie, ale spróbuję algebraicznie, a potem może pokażę, jak robi się to za pomocą pochodnych. Najpierw określę nachylenie tutaj. Najłatwiej to zrobić zadając sobie pytanie: o ile zmienia się przychód całkowity przy bardzo małej zmianie ilości. Przy bardzo małej zmianie ilości o ile zmieni się mój przychód całkowity? Zróbmy to tą metodą. Choć metoda pochodnych jest nieco łatwiejsza. Rozumujemy tak: jeśli ilość wynosi 0, to przychód całkowity także. Proste. Jeśli bardzo, bardzo nieznacznie zwiększę ilość, powiedzmy o 0,001, to ile wyniesie przychód całkowity? Możemy sprawdzić to na tej krzywej albo użyć tego wzoru, wyprowadzonego z „cena razy ilość”. Uzyskamy… Wyjmę kalkulator. Jeśli mamy… Jeśli nasza ilość to 0,001, przychód całkowity równa się minus… Kalkulator trzeba włączyć. Przychód całkowity równa się - 0,001… do kwadratu, do kwadratu (to ta część) plus… 6 razy 0,001. 6 pomnożone przez 0,001. To nasz przychód całkowity. Czyli 0,005999. Mamy zero, przecinek, zero, zero, pięć, dziewięć, dziewięć. I teraz uzyskamy całkiem dobre przybliżenie przychodu krańcowego w tym punkcie. Zmiana ilości wynosi 0,001, zatem delta Q… W mianowniku mamy 0,001. To zmiana ilości, a zmiana przychodu wynosi 0,00599. Pozostaje podzielić. Dzielimy 0,005999 (to zmiana przychodu całkowitego) przez zmianę ilości. Dzielimy to przez 0,001 i uzyskujemy 5,99999. Próbując z jeszcze mniejszymi liczbami, na przykład 0,000001, uzyskacie piątkę i jeszcze więcej dziewiątek. Zatem im mniejsza zmiana… Na tym polega analiza matematyczna. Jeśli wybierzemy supermałe zmiany… Ta liczba to praktycznie 6. …okaże się, że przychód krańcowy w tym punkcie wynosi 6. Nałożę przychód krańcowy tutaj. Na krzywą popytu. Na wykres, na którym już jest krzywa popytu. Kiedy więc ilość wynosi 0, przychód krańcowy… Przy supermałym zwiększeniu ilości uzyskamy przychód całkowity równy 6. Zaznaczę ten punkt. I to ma sens, bo korzyść krańcowa dla rynku wynosi właśnie 6. Sprzedając kroplę soku pomarańczowego… Aha, sprzedajemy pomarańcze, nie sok. Sprzedając jedną milionową funta pomarańczy, uzyskalibyśmy, mniej więcej, cenę 6 dolarów za funt. Za tę milionową funta – bo taką korzyść krańcową rynek odnosi z tej odrobiny pomarańczy. Więc wszystko się zgadza. Teraz nachylenie w innych punktach. Dokonam przybliżenia. Zamiast robić tak, po prostu oszacuję wartość, wykorzystując inne punkty. Chcę znaleźć nachylenie tutaj, gdzie ilość wynosi 1. Nachylenie będzie mniej więcej takie. Określę je w przybliżeniu, obliczając nachylenie linii łączącej te punkty. To będzie bardzo porządne przybliżenie. Udowodnię to później korzystając z pochodnych, a teraz policzę tylko nachylenie tej linii. Między tymi punktami zmiana ilości wynosi 2. A zmiana przychodu całkowitego wynosi 8. Zmiana przychodu to 8. Produkując 2000 funtów pomarańczy, uzyskaliśmy przychód równy 8000 dolarów. A więc 2… Mamy więc zmianę przychodu całkowitego równą 8000, podzieloną przez zmianę ilości równą 2000, nasz przychód krańcowy wynosi więc 8 podzielić przez 2, a raczej 8000 przez 2000, co daje 4 dolary za funt. Przy ilości 1 przychód krańcowy wynosi 4 dolary za funt. 4 dolary za funt. Właśnie tak. A teraz – przychód krańcowy przy ilości 2. Przybliżę go nachyleniem linii między tymi punktami. Chcemy określić nachylenie tej stycznej, ale nachylenie tego odcinka będzie dobrym przybliżeniem. Uzyskamy prawie dokładny wynik, bo to parabola. Dlatego można tak zrobić. W każdym razie sprawa jest prosta. Znów zmiana ilości wynosi 2, a zmiana przychodu całkowitego… zmiana przychodu całkowitego… Przechodzimy od 5 do 9, więc mamy 4. To dziewiątka z poprzedniego odcinka. Dzielimy teraz 4000 dolarów przez 2000 funtów pomarańczy, uzyskując 2 dolary za funt. Przychód krańcowy w tym punkcie przy ilości 2, wynosi 2 dolary za funt. W tym punkcie, jeśli sprzedamy odrobinę pomarańczy, to uzyskamy odpowiedni ułamek ceny 2 dolarów za funt. O tyle zwiększy się nasz przychód całkowity. Weźmy jeszcze jeden punkt. Pewnie wiecie, dlaczego tylko jeden. Bo doszliśmy na szczyt. Ustalmy, jaki jest koszt krańcowy tutaj, czyli jakie jest nachylenie. O ile wzrośnie tutaj przychód, jeśli nieznacznie zwiększymy ilość. Najłatwiej to po prostu zobaczyć. Tu mamy maksimum paraboli. Pochodna w tym punkcie, czyli nachylenie, wynosi 0. Można to sprawdzić, dokonując przybliżenia między tymi punktami. Ilość się zmienia, a przychód całkowity – nie. W tym punkcie nachylenie jest ledwie dodatnie, tutaj wynosi 0, a dalej jest nieznacznie ujemne. Ale dokładnie w tym punkcie przychód krańcowy wynosi 0. Przy ilości 3000 funtów przychód krańcowy równa się 0. A dalej staje się ujemny. Coraz bardziej ujemny. Ciekawa sprawa: gdy nałożymy krzywą przychodów krańcowych, w tym przypadku linię prostą, uzyskamy linię, uzyskamy linię… uzyskamy linię dwukrotnie bardziej stromą… dwa razy bardziej stromą od krzywej popytu. Można to uogólnić. W przypadku, gdy krzywa popytu jest prostoliniowa, to krzywa przychodów krańcowych, dla monopolisty, też będzie prostą o nachyleniu ujemnym, czyli opadającą, przy czym nachylenie będzie dwukrotnie większe. Tu było -1, a tutaj mamy -2. Z każdym przyrostem ilości cena spada o 2. Przyrost ilości – cena w dół o 2. Ilość wzrasta, cena spada o 2. To krzywa przychodów krańcowych. Dla przypomnienia… Bo robimy tu tyle obliczeń. Co pokazuje krzywa przychodów krańcowych? Krzywa popytu pokazuje, ile danego dobra chce rynek przy danej cenie, albo jaka jest korzyść krańcowa rynku z danej ilości, albo za jaką cenę możemy sprzedać tę ilość. Z niej uzyskaliśmy przychód całkowity będący funkcją ilości. Znając przychód całkowity, pytaliśmy: „Jeśli przy każdej z tych ilości, odrobinę ją zwiększymy, jeśli nieznacznie zwiększymy ilość, to o ile wzrośnie nasz przychód?”. Oczywiście chcemy stale zwiększać ilość, dopóki przychód… dopóki przychód krańcowy, który uzyskujemy, jest wyższy niż koszt krańcowy. Omówię to w następnym odcinku.