Opcjonalny dowód oparty na rachunku całkowym pokazuje, że przychód krańcowy to podwójne nachylenie popytu

Dla ciekawych, którzy znają podstawy rachunku różniczkowego, mam odcinek nadobowiązkowy. Nie musicie tego rozumieć, by połapać się w kolejnych odcinkach. W tym opcjonalnym odcinku udowodnię, że z zasady, nachylenie krzywej przychodów krańcowych monopolisty jest 2 razy większe od nachylenia krzywej popytu, gdy jest ona liniowa. Czyli wygląda tak. Tu mamy cenę… tu ilość… a to krzywa popytu. Udowodnię, że krzywa przychodów krańcowych ma 2 razy większe… 2 razy większe nachylenie. Właściwie mniejsze, bo ujemne. Zapiszmy cenę jako funkcję ilości. Zatem cena równa się… To linia prosta, więc można opisać ją równaniem funkcji liniowej. Na lekcji matematyki, to byłaby oś Y, a to X i napisalibyście: y = mx + b, gdzie „m” to nachylenie, a „b” – przecięcie z Y. Zrobię tu dokładnie to samo. Tylko osie nazywają się P i Q. Zatem „P” równa się „m” razy „Q”… gdzie „m” to nachylenie… plus… cena na przecięciu, czyli „b”. To właśnie jest „b”. Jeśli weźmiemy teraz… Jeśli weźmiemy teraz zmianę „P”… Jeśli weźmiemy zmianę „P” i podzielimy przez zmianę „Q”… przez zmianę „Q”, to uzyskamy „m”, czyli nachylenie. Zmiana „P” podzielona przez zmianę „Q”. Jaki będzie nasz przychód całkowity? Zrobię właściwie to samo, co w poprzednich odcinkach, tylko tym razem na wzorach. Tu jest przychód całkowity. Przychód całkowity jako funkcja ilości. Przychód całkowity to cena razy ilość. Po prostu cena razy ilość. Zapisaliśmy już cenę jako funkcję ilości, tutaj. Możemy to więc podstawić… możemy podstawić to tutaj. A więc przychód całkowity równa się… Napiszę całość na niebiesko. mQ + b i mnożymy to przez Q. Mnożymy przez Q i mamy: przychód całkowity równa się mQ²… „m” razy „Q” do kwadratu, plus „b” razy „Q”. To jest równanie paraboli. Odwróconej paraboli, bo „m” jest ujemne. Ta prosta ma ujemne nachylenie, „m” jest mniejsze od zera. Wiemy, że „m” jest tutaj mniejsze od zera. Zakładamy to. A przy „m” ujemnym parabola będzie odwrócona. Zatem krzywa przychodów całkowitych będzie wyglądała jakoś tak. To właśnie przychód całkowity. A przychód krańcowy jako funkcja ilości to pochodna, która wyraża nachylenie stycznej w danym punkcie. Właśnie tym jest pochodna. Nachyleniem stycznej w punkcie wyrażonym jako funkcja ilości. Podajcie mi ilość, a powiem wam, jakie jest nachylenie stycznej do krzywej przychodów całkowitych w tym punkcie. Interesuje nas więc pochodna przychodu w funkcji ilości. Dzielimy zmianę przychodu całkowitego przez zmianę ilości. O ile zmienia się przychód całkowity przy bardzo, bardzo małej zmianie ilości? Nieskończenie małej zmianie ilości? To się nazywa różniczka. „m” jest stałe, a pochodna funkcji Q² względem Q wynosi 2Q. Zatem mamy 2Q razy stała, czyli 2mQ. Także „b” jest stałą. Zakładamy, że jest dane. Przy stałym „b”, pochodna z „bQ” względem Q wynosi „b”. Wynosi „b”. To jest nasza krzywa przychodów krańcowych. Powinienem raczej powiedzieć „prosta”. 2mQ + b. Zauważcie: ma ten sam wyraz wolny, co krzywa popytu, więc też zaczyna się tu, lecz ma 2 razy większe nachylenie. Nachylenie krzywej popytu to „m”, a nachylenie krzywej przychodów krańcowych to „2m”. Nachylenie jest ujemne, więc dwukrotnie bardziej ujemne. Więc krzywa wygląda tak. Krzywa przychodów krańcowych wygląda tak. Jeśli założymy, że krzywa popytu jest liniowa, to krzywa przychodów krańcowych jest linią o 2 razy większym nachyleniu. Tu: 2 razy bardziej ujemnym. Ale tak będzie zawsze. Jeśli zrozumieliście – świetnie! Udowodniłem, że tak jest zawsze przy liniowej krzywej popytu. Jeśli nie rozumiecie, to nic. Możecie oglądać kolejne odcinki. Nie musicie umieć różniczkować, żeby nauczyć się mikroekonomii.