Niezdefiniowane i nieokreślone wyrażenia

Raz jeszcze sami zastanówmy się, tak jak zrobił to jakiś starożytny filozof/matematyk, próbujący do końca uzupełnić matematykę, aby nikt mu nie zarzucił, że pozostawił nieokreśloność tam, gdzie można by tego uniknąć. Jednak gdy próbuje się uzupełniać matematykę, zwłaszcza w dziedzinie mnożenia i dzielenia, z kilkoma zasadami trudno się rozstać. Czujemy na przykład, że każde określone dzielenie powinno być odwracalne przez mnożenie. To niemal intuicyjne, dlatego zakładamy… dlatego zwykle zakładamy, że jeśli bierzemy do dzielenia jakąś liczbę i dzielimy ją przez liczbę, w przypadku której wynik dzielenia jest określony… czyli gdy podzielę przez tę liczbę, a potem pomnożę przez tę samą liczbę, to powinienem uzyskać tę początkową liczbę; powinienem uzyskać „x”. I tak jest, gdy mnożymy lub dzielimy zwyczajne liczby. Jeżeli policzę 3 ÷ 2 × 2, to otrzymam 3. A jeśli policzę, powiedzmy, 10 ÷ 5 × 5, to otrzymam z powrotem 10. Kolejna reguła, z którą trudno mi się rozstać. Czuję, że każde twierdzenie musi być spójne z tym: x razy x… Przepraszam, x razy zero. Lepiej użyję tu kropki. x razy zero musi się równać zero dla… dla każdego x. Czuję się do tego przywiązany. Gdy stawiam nowe twierdzenia, te dwie zasady nie mogą być z nimi sprzeczne, bo nie mogą być nieprawdziwe. Powziąwszy te założenia, możemy przystąpić do badania problemu dzielenia przez zero. Na początek może spróbujmy uznać to za określone. Załóżmy, że mamy… Zróbmy kolejne założenie, że x to jakaś niezerowa liczba. x to niezerowa liczba i mówimy: być może najłatwiej będzie stwierdzić, ile jest równe x przez zero, po prostu zakładając, że to jest określone i patrząc, co z tego wyjdzie. Może uda się znaleźć wynik. Przyjmijmy więc, że x dzielone przez zero jest równe… powiedzmy, że jest równe y. Użyję innej litery, żeby nie myliło się z tym. Powiedzmy, że to jest równe k. Cóż, jeśli to jest wyrażenie prawdziwe i określa wynik dzielenia przez zero, to według tej zasady, pomnożenie przez zero da nam z powrotem tę liczbę. To są zasady, które nie mogą być z tym sprzeczne. Zobaczmy, co wyjdzie. Skoro x dzielone przez zero równa się k. Po lewej będę miał dzielenie przez zero i mnożenie przez zero. Jeśli strony są równe i robię coś po jednej z nich, to muszę zrobić to samo po drugiej. To musi być równe temu, bo pomnożyłem obie strony przez zero. Według tej reguły, której nigdy nie odpuszczę, lewa strona tego równania musi być równa x… To musi być równe x, a według tej drugiej reguły, której nigdy nie odpuszczę, prawa strona tego równania musi być równa… Prawa strona musi być równa zero. No i wyszła nam sprzeczność. Założyłem, że x nie równa się zero, a tu mi wyszło, że x równa się zero. Nie zamierzam odrzucić tej reguły, a właściwie obu. Nie zamierzam odrzucić reguły, że wynik dzielenia przez zero, a właściwie wynik dzielenia przez cokolwiek i mnożenia przez to coś da mi wyjściową liczbę. I nie odrzucę reguły, że cokolwiek razy zero to zero. Spośród tego wszystkiego, mogę odrzucić tylko jedno. Mianowicie to twierdzenie. Mówię więc: chyba k będzie musiało pozostać… k będzie musiało pozostać nieokreślone. Cała ta sprzeczność pojawiła się tylko dlatego, że próbowałem określić wynik dzielenia przez zero. Mamy to z głowy, ale to był przypadek, kiedy x nie równa się zero. A co będzie dla x równego zero? Zastanówmy się. Rozważmy to. Znów spróbuję uznać to za określone. Zakładam… zakładam… że zero dzielone przez zero jest równe jakiejś liczbie. Może znów przyjmijmy, że jest równe k. I znów użyjemy tego samego rozumowania. Przepiszę: zero dzielone przez zero równa się k. Zaznaczę zera kolorami. To fioletowe zero, a to niebieskie zero. I tu także nie odrzucę reguły, że jeśli mam liczbę x, podzielę ją przez coś o określonym ilorazie, a potem pomnożę przez to samo, to otrzymam z powrotem x. Nie odrzucę tej zasady. Prędzej uznam, że takie dzielenie nie ma sensu. Najpierw więc pomnożę lewą stronę przez zero. Z tej reguły, której nie odrzucę, wynika, że to powinno się uprościć do fioletowego zera – to całe wyrażenie. I znów, wszystko co robię po jednej stronie równania muszę też zrobić po drugiej stronie. Aby te strony nadal były sobie równe, muszę zrobić po prawej to samo, co po lewej. Pomnóżmy prawą stronę. Pomnóżmy prawą stronę przez zero. Po lewej otrzymałem zero. Fioletowe zero. A po prawej otrzymałem… wychodzi zero, ale zostawię, jak jest. k razy zero. k · 0 To, co tu widać, nie wygląda na sprzeczność. Jest prawdziwe dla każdego k. Dokładnie odzwierciedla jedno z moich niezłomnych założeń, których nigdy nie odrzucę. Zatem to prawda. Zapiszę to. To jest prawdziwe dla każdego… prawdziwe dla każdego k. Nie ma tu sprzeczności, ale problem w tym, że interesuje mnie k, a nie samo równanie. Lepiej, gdyby wyszło k równe zero, albo jeden, albo minus jeden. A tu widzę, że uwzględniając te reguły wartość k może być dowolna, absolutnie dowolna. Nie udało mi się ustalić, ile k się równa. Może być równe 100000, 75 albo cokolwiek. Wartość dowolna. Nie da się… Nie da się określić… wartości k. Dlatego, gdy wejdziemy w niuanse, tak jak dawni uczeni musimy uznać, że nie wiemy, ile to jest zero przez zero. Nie ma spójnej odpowiedzi. Wynik jest nieokreślony. Nie ma odpowiedzi, która byłaby lepsza niż inne. Ale widzimy pewne niuanse. Wartości 1/0 nie zdołaliśmy określić, bo prowadziła do sprzeczności. Natomiast 0/0 ma wartość dowolną. Niemożliwą do oznaczenia. Dlatego, na zajęciach z wyższej matematyki… (Słyszy się to zwłaszcza na analizie.) mówimy, że wynik dzielenia zera przez zero jest nieoznaczony. Nieoznaczony.