Główna zawartość

Kurs: Algebra I (materiał z roku 2018) > Rozdział 15

Lekcja 2: Rozkład jednomianów

Największy wspólny dzielnik jednomianów

Naucz się jak znaleźć NWD (największy wspólny dzielnik, największy wspólny czynnik) dwóch lub więcej jednomianów.

Co powinieneś wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej oraz nieujemnej potęgi

x

, np.

3 x^{2}

. Wielomian jest sumą jednomianów.

Kompletny rozkład jednomianu na czynniki polega na rozłożeniu współczynnika na czynniki pierwsze i rozłożeniu na czynniki części, zależnej od zmiennych w taki sposób, aby dalszy rozkład nie był już możliwy. Zapoznaj się z artykułem rozkład jednomianów na czynniki aby upewnić się, że dobrze rozumiesz w czym rzecz.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji wprowadzimy pojęcie największego wspólnego czynnika (lub dzielnika - chodzi o to samo) i dowiemy się jak wyznaczyć go w przypadku jednomianów.

Powtórzenie: największy wspólny czynnik, albo dzielnik, w przypadku liczb całkowitych

Dla dwóch liczb całkowitych, największy wspólny dzielnik to największa liczba całkowita, która jest dzielnikiem obu tych liczb. Na przykład, dla

12

18

największy wspólny dzielnik wynosi

6

Chcąc wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, rozkładamy je na czynniki pierwsze:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ ‍

Zauważ, że dla

12

18

czynniki pierwsze

2

oraz

3

są wspólne, a stąd wynika że największy wspólny dzielnik (czynnik)

12

18

wynosi

2 \cdot 3 = 6

Największy wspólny dzielnik dla jednomianów

Proces wygląda podobnie, gdy trzeba znaleźć największy wspólny dzielnik dla dwóch lub więcej jednomianów.

Wystarczy rozłożyć każdy z jednomianów na czynniki pierwsze i znaleźć czynniki wspólne. Iloczyn wszystkich czynników wspólnych dla danych jednomianów jest ich największym wspólnym dzielnikiem.

Znajdźmy na przykład największy wspólny dzielnik dla

10 x^{3}

4 x

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ ‍

Zauważ, że dla

10 x^{3}

4 x

czynniki pierwsze

2

x

są wspólne. Dlatego ich największy wspólny dzielnik wynosi

2 \cdot x

czyli

2 x

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla $9 x^{2}$ ‍ i $6 x$ ‍?

2) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla $12 x^{5}$ ‍ i $8 x^{3}$ ‍?

Rozłóżmy każdy jednomian na czynniki pierwsze. Następnie możemy znaleźć czynniki wspólne dla obu jednomianów i pomnożyć je, co da największy wspólny dzielnik.

$12 x^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Zauważ, że każdy jednomian posiada dwa czynniki

2

i trzy czynniki

x

. Tak więc największy wspólny dzielnik tych jednomianów wynosi

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

, czyli

4 x^{3}

3) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍ i $10 x^{3}$ ‍?

Rozłóżmy każdy jednomian na czynniki pierwsze. Następnie możemy znaleźć czynniki wspólne dla wszystkich trzech jednomianów i pomnożyć je, co da największy wspólny dzielnik.

$5 x^{7} = 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$30 x^{4} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Zauważ, że każdy jednomian posiada jeden czynnik

5

oraz trzy czynniki

x

. Dlatego największy wspólny dzielnik tych jednomianów wynosi

5 \cdot x \cdot x \cdot x

, czyli

5 x^{3}

Uwaga odnośnie zmiennych w NWD

Z reguły część zmienna NWD dla dowolnych dwóch lub więcej jednomianów jest równa części zmiennej jednomianu z najniższą potęgą

x

Weźmy na przykład jednomiany

6 x^{5}

4 x^{2}

Ponieważ najniższą potęgą $x$ ‍ jest $x^{2}$ ‍, jest to część zmienna tego NWD.
Następnie znajdź NWD dla $6$ ‍ i $4$ ‍, który wynosi $2$ ‍, i pomnóż go przez $x^{2}$ ‍, co daje $2 x^{2}$ ‍, czyli NWD obu jednomianów!

\begin{aligned} NWD 6 i 4 wynosi 2 & Najniższą potęgą x^{5} i x^{2} jest x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ NWD (6 x^{5}, 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

Jest to szczególnie przydatne, gdy trzeba znaleźć NWD jednomianów zawierających bardzo wysokie potęgi

x

. Niezwykle męczące byłoby na przykład rozłożenie na czynniki pierwsze jednomianów takich jak

32 x^{100}

, czy

16 x^{88}

Zadania sprawdzające

4) Jaki jest największy wspólny dzielnik dla $20 x^{76}$ ‍ i $8 x^{92}$ ‍?

5*) Jaki jest największy wspólny dzielnik $40 x^{5} y^{2}$ ‍ i $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

Żeby znaleźć największy wspólny dzielnik

40 x^{5} y^{2}

32 x^{2} y^{3}

, rozłóżmy całkowicie na czynniki każdy z nich, i zobaczmy, które są wspólne.

$40 x^{5} y^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍
$32 x^{2} y^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍

Jednomiany wspólne mają trzy czynniki równe

2

, dwa czynniki

x

, i dwa czynniki

y

. Tak więc największy wspólny dzielnik to wielomian

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

, czyli

8 x^{2} y^{2}

Inną opcją jest zauważenie, że najmniejszą potęgą

x

jest

x^{2}

i najmniejszą potęgą

y

jest

y^{2}

. Więc zmienna część NWD to

x^{2} y^{2}

. NWD liczby

40

32

8

, więc NWD tych jednomianów będzie wynosić

8 x^{2} y^{2}

Co dalej?

Żeby zobaczyć w jaki sposób możemy użyć tych umiejętności do rozkładania wielomianów na czynniki, zobacz nasz artykuł wyłączanie przed nawias największego wspólnego czynnika!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.