Wprowadzenie do równań z wartością bezwzględną i ich wykresów

Rozwiążmy kilka równań z wartością bezwzględną. Dla przypomnienia: jeśli mamy wartość bezwzględną liczby na przykład wartość bezwzględną -2 to mówi ona, w jakiej odległości ta liczba leży od zera. W przypadku liczby -1... Narysujmy oś liczbową... Niezbyt ładnie mi wyszła ta oś. Tu na naszej osi jest 0... a tu jest -1. Leży w odległości równej 1 od zera, więc jej wartość bezwzględna to 1. Wartość bezwzględna liczby 1 też jest równa 1, bo też leży ona w odległości równej 1 od zera. Wartość bezwzględna to odległość od zera ale w praktyce wygodniej traktować ją jak dodatnią wersję danej liczby. Wartość bezwzględna liczby -7346 jest równa 7346. Mając to na uwadze, rozwiążmy kilka równań z wartością bezwzględną. Na przykład takie: wartość bezwzględna x – 5 równa się 10. Można też rozumieć to inaczej, skupcie się. To nam mówi, że odległość liczby x od liczby 5 wynosi 10. Jakie liczby są dokładnie 10 pozycji od 5? Właśnie poznaliście rozwiązanie, ale teraz pokażę to po kolei. To równanie będzie prawdziwe w dwu przypadkach. Albo w przypadku, gdy x – 5 = 10... Między kreskami otrzymamy plus 10 którego wartość bezwzględna to 10. Albo... x – 5 może dać wynik -10. Jeśli x – 5 da wynik -10, to wartość bezwzględna -10 też będzie równa 10. Zatem x – 5... może też być równe -10. Obie wersje równania są prawdziwe. Dodajmy teraz 5 do obu stron tego równania. Uzyskamy x = 15. To samo zróbmy z tym równaniem. Uzyskamy x = -5. To równanie ma więc dwa rozwiązania. x może być równe 15, wtedy 15 – 5 = 10. Albo może być równe -5, wtedy -5 – 5 = -10... a wartość bezwzględna tej liczby to 10. Zauważcie: obie te liczby znajdują się w odległości 10 pozycji od liczby 5. Zróbmy kolejne równanie. Kolejne równanie. Niech będzie takie: wartość bezwzględna x + 2 równa się 6. Co nam to mówi? Że albo x + 2 czyli wartość między kreskami jest równa 6... albo wartość między kreskami jest równa -6. To wyrażenie może dać wynik ujemny bo kreski wartości bezwzględnej i tak usuną minus. A więc x + 2 może się równać -6. Jeśli odejmiemy 2 od obu stron tego równania, uzyskamy x = 4... A jeśli zrobimy to samo tutaj, uzyskamy x = -8. To są dwa rozwiązania tego równania. Zróbmy jeszcze eksperyment, który pokaże, dlaczego wartość bezwzględna to odległość. Przepiszmy to równanie jako wartość bezwzględna x – -2 równa się 6. To równanie pyta nas, jakie liczby znajdują się w odległości 6 pozycji od -2. Pamiętacie? Wcześniej mieliśmy liczby odległe o 10 pozycji od liczby 5. Gdy odejmujemy 5 od niewiadomej, te dwie liczby są 10 pozycji od 5. A tu jesteśmy pytani, jakie liczby leżą 6 pozycji od -2. Odpowiedź to 4 i -8. Możecie sprawdzić sami. Rozwiążmy kolejne równanie. Tym razem niech będzie... fioletowe. Załóżmy, że mamy: wartość bezwzględna... podniesiemy poprzeczkę: 4x – 1... Wartość bezwzględna 4x – 1 równa się 19. Jak poprzednio: 4x – 1 = 19. To pierwsza możliwość. Albo 4x – 1 = -19 bo wartość bezwzględna skasuje minus. Czyli: 4x – 1 = -19. Pozostaje rozwiązać te równania. Dodajmy 1 do obu stron tego równania. Wychodzi 4x = 20. Dodajmy 1 do obu stron tego równania. Wychodzi 4x = -18. Dzielimy obie strony tego przez 4 i wychodzi x = 5. To samo robimy z tym i wychodzi x = -18/4 czyli x = -9/2. Obie te liczby są rozwiązaniami równania. Sprawdźmy: -9/2 * 4 = -18 odjąć 1 równa się -19. Wartość bezwzględna z tego to 19. Teraz dla 5: 4 * 5 = 20 odjąć 1 równa się 19. Wartość bezwzględna 19 to 19. Zróbmy wykres funkcji, dla zabawy. Powiedzmy, że mamy... y = wartość bezwzględna x + 3 To równanie funkcji z wartością bezwzględną. Znów mamy dwie możliwości. W pierwszej, x + 3 daje wynik dodatni. Czyli mamy rozwiązanie dla x + 3 większego od zera... i rozwiązanie dla x + 3 mniejszego od zera. Jeśli x + 3 jest większe od zera ta funkcja – a właściwie wykres tej funkcji spełnia równanie y = x + 3. Jeśli to wyrażenie jest większe od zera, to wartość bezwzględna niczego nie zmienia. Dlatego równanie w tej wersji to y = x + 3. A kiedy x + 3 jest większe od zera? Jeśli odejmiemy 3 od obu stron nierówności, uzyskamy x > -3. Czyli gdy x przyjmie wartość większą od -3 wykres funkcji będzie spełniał to równanie. A co, gdy x + 3 będzie mniejsze od zera? Wtedy wyrażenie między kreskami będzie ujemne. W takim przypadku... równanie będzie miało postać: y = -(x + 3) Skąd to wiem? Spójrzcie: jeśli wyrażenie x + 3 będzie ujemne... Takie jest założenie. ...jeśli będzie ujemne, to wartość bezwzględna skasuje minus tak jakbyśmy pomnożyli je przez -1. Jeśli wiemy, że wyciągamy wartość bezwzględną z liczby ujemnej to jest to jak mnożenie przez -1: wartość stanie się dodatnia. Tak jest w tym przypadku. x + 3 < 0 Jeśli odejmiemy 3 od obu stron tej nierówności, otrzymamy x < -3. Zatem dla x < -3 wykres funkcji będzie spełniał to równanie a dla x > -3 będzie spełniał to równanie. Zobaczmy, jak wygląda cały wykres. Pozwólcie... że narysuję... układ współrzędnych. To jest oś X a to oś Y. Rozbiję ten nawias, żeby łatwiej się liczyło. To jest y = -x – 3. Zastanówmy się, jak będzie wyglądał wykres. -x – 3 Dla tej funkcji wartość w punkcie 0 wynosi -3 a więc 1, 2, 3. Minus przed x oznacza linię opadającą. Zatem wykres wygląda tak. Jakoś tak. Punkt przecięcia z osią X... W tym punkcie y musi być równe 0 a tak jest w przypadku, gdy x = -3. Czyli wykres przechodzi przez ten punkt. Gdybyśmy nie mieli tego założenia, cały wykres wyglądałby tak. Jakoś tak. Tak by wyglądał, gdyby nie było ograniczenia wartości x. A jak wygląda wykres tej funkcji? Przecięcie z osią Y w punkcie +3. Mniej więcej tutaj. A z osią X? y jest równe zero dla x = -3. Linia też trafia w ten punkt i wygląda mniej więcej tak. To jest ta funkcja. Ustaliliśmy, że nasza funkcja z wartością bezwzględną ma fioletowy wykres, gdy x < -3. Gdy x < -3... Tu mamy x równe -3. ...wtedy funkcja ma taki wykres. Ta półprosta... dla x < -3. Gdy x > -3, funkcja ma wykres zielony. Ta półprosta. Wykres naszej funkcji wygląda więc jak litera V. Gdy x > -3, wyrażenie x + 3 jest dodatnie. Dlatego mamy linię rosnącą. Natomiast gdy x < -3 powiedzmy, że funkcja przyjmuje postać ujemną. Stąd linia malejąca i kształt litery V. Taki kształt wykresu jest charakterystyczny dla funkcji z wartością bezwzględną.