Rozwiązywanie równań w postaci wykładniczej przy użyciu logarytmów (artykuł)

Kluczem do rozwiązania równań wykładniczych są logarytmy! Przyjrzyjmy się bliżej paru przykładom.

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Rozwiążmy równanie

5 \cdot 2^{x} = 240

Żeby znaleźć

x

musimy najpierw oddzielić część wykładniczą. Żeby to zrobić, dzielimy obie strony przez

5

, tak jak pokazano poniżej. Nie mnożymy

5

2

, bo to nie jest zgodne z kolejnością wykonywania działań!

\begin{aligned} 5 \cdot 2^{x} & = 240 \\ 2^{x} & = 48 \end{aligned}

Teraz możemy znaleźć

x

, logarytmując obie strony równania.

Równanie

2^{x} = 48

jest równoważne równaniu

\log_{2} (48) = x

I tak po prostu rozwiązaliśmy równanie! Dokładne rozwiązanie to

x = \log_{2} (48)

Ponieważ

48

nie jest wymierną potęgą

2

, musimy użyć zmiany podstawy logarytmu i użyć kalkulatora do obliczenia logarytmu. Poniżej zobaczysz, jak to zrobić.

\begin{aligned} x & = \log_{2} (48) \\ = \frac{\log (48)}{\log (2)} & Wzór na zamianę podstawy logarytmu \\ \approx 5,585 & Obliczenie za pomocą kalkulatora \end{aligned}

Przybliżone rozwiązanie, zaokrąglone do części tysięcznych to

x \approx 5,585

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jakie jest rozwiązanie równania $2 \cdot 6^{x} = 236$ ‍?

2) Oblicz $5 \cdot 3^{t} = 20$ ‍.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

t =

2) Oblicz $6 \cdot e^{y} = 300$ ‍.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

y =

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

Rozważmy inny przykład. Rozwiążmy równanie

6 \cdot 10^{2 x} = 48

Zaczynamy ponownie od oddzielenia części wykładniczej dzieląc obie strony przez

6

\begin{aligned} 6 \cdot 10^{2 x} & = 48 \\ 10^{2 x} & = 8 \end{aligned}

Teraz możemy sprowadzić potęgę na dół zamieniając na postać logarytmiczną.

\begin{aligned} \log_{10} (8) & = 2 x \end{aligned}

Na koniec dzielimy obie strony przez

2

żeby znaleźć

x

x = \frac{\log_{10} (8)}{2}

To jest dokładna odpowiedź. Żeby znaleźć przybliżenie odpowiedzi do najbliższej tysięcznej, możemy wpisać to bezpośrednio do kalkulatora. Zauważ, że nie ma potrzeby zmiany podstawy logarytmu, ponieważ podstawa już wynosi

10

\begin{aligned} x & = \frac{\log_{10} (8)}{2} \\ = \frac{\log (8)}{2} & \log_{10} (x) = \log (x) \\ \approx 0,452 & Obliczenie za pomocą kalkulatora \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Które z następujących wyrażeń jest rozwiązaniem równania $3 \cdot 10^{4 t} = 522$ ‍?

3) Oblicz $4 \cdot 5^{2 x} = 300$ ‍.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.

x =

6) Rozwiąż $- 2 \cdot 3^{0, 2 z} = - 400$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej tysięcznej.

z =

Wyzwanie

7)Które z następujących wyrażeń są rozwiązaniami równania $(2^{x} - 3) (2^{x} - 4) = 0$ ‍?

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Rozwiązywanie równań w postaci wykładniczej przy użyciu logarytmów

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyzwanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci a⋅bx=d‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci a⋅bcx=d‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyzwanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Rozwiązywanie równań wykładniczych postaci $a \cdot b^{c x} = d$ ‍