If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Podsumowanie wiedzy na temat znajdowania monotoniczności funkcji

Przypomnij sobie wiadomości o zastosowaniu metod rachunku różniczkowego do wyznaczania przedziałów, w których funkcja jest rosnąca lub malejąca. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Znajdowanie przedziałów monotoniczności przy użyciu rachunku różniczkowego

Gdy funkcja jest rosnąca, jej pochodna (jej "nachylenie") jest dodatnia, a gdy funkcja jest malejąca, jej pochodna jest ujemna.
Jeżeli więc chcemy znaleźć przedziały, na których funkcja ma określoną monotoniczność (jest wszędzie rosnąca lub wszędzie malejąca), musimy ją zróżniczkować i znaleźć przedziały, na których jej pochodna ma określony znak.
Chcesz dowiedzieć się więcej o przedziałach monotoniczności i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Przykład

Znajdźmy przedziały monotoniczności funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7. Pierwszym krokiem jest wykonanie pochodnej funkcji f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9
Teraz chcemy znaleźć przedziały, w których f, prime jest dodatnia lub ujemna. Robi się to przy użyciu punktów krytycznych, w których f, prime jest równa zeru lub nie jest zdefiniowana. f, prime jest wielomianem, więc jest zawsze zdefiniowana. Aby znaleźć jej zera, możemy ją przedstawić w postaci iloczynowej:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
Punktami krytycznymi są więc x, equals, minus, 3 i x, equals, 1. Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały:
Znajdźmy wartość f, prime w każdym z przedziałów monotoniczności, by sprawdzić, jaki ma tam znak.
Przedziałwartość xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisWynik
x, is less than, minus, 3x, equals, minus, 4f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f rośnie. \nearrow
minus, 3, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f maleje. \searrow
x, is greater than, 1x, equals, 2f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f rośnie. \nearrow

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
  • Prąd elektryczny
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 3, x, squared, plus, 9
W których przedziałach h jest malejąca?
Wybierz 1 odpowiedź:

Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.