If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 5

Lekcja 7: Określanie wklęsłości na przedziałach oraz znajdowanie punktów przegięcia: podejśćie algebraiczne
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony II
Zastosowanie rachunku pochodnych do badanie własności funkcji
Określanie wklęsłości na przedziałach oraz znajdowanie punktów przegięcia: podejśćie algebraiczne
© 2024 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Badanie zachowania drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia

Google Classroom
Wykorzystanie znajomości drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia i błędy, często popełniane przy tej okazji. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Badając drugą pochodną funkcji, możemy wyznaczyć jej punkty przegięcia.

Przykład: Znajdowanie punktów przegięcia funkcji f(x)=x5+53x4

Krok 1: obliczenie drugiej pochodnej funkcji
Aby znaleźć punkty przegięcia funkcji f, musimy obliczyć f″:
f′(x)=5x4+203x3f″(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
Krok 2: znalezienie wszystkich kandydatów na punkty przegięcia
Podobnie jak w wypadku punktów krytycznych, są to punkty, w których f″(x)=0 lub f″(x) jest nieokreślona.
f″ równa się zero dla x=0 i x=−1 i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. A zatem, naszymi kandydatami na punkty przegięcia są x=0 i x=−1.
Krok 3: analizowanie wypukłości
PrzedziałPróbka x-af″(x)Wniosek
x<−1x=−2f″(−2)=−80<0f jest wklęsła ∩
−1<x<0x=−0,5f″(−0,5)=2,5>0f jest wypukła ∪
x>0x=1f″(1)=40>0f jest wypukła ∪
Krok 4: znajdowanie punktów przegięcia
Teraz, gdy wiemy już na jakich przedziałach funkcja f jest wypuka i wklęsła, możemy określić, gdzie ma ona punkty przegięcia (tj. w których punktach f zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na odwrót).
  • f jest wklęsła na lewo od x=−1, a wypukła na prawo od tego punktu. Ponadto jest ona dobrze określona w punkcie x=−1. Zatem f ma punkt przegięcia dla x=−1.
  • f jest wypukła na lewo i na prawo od punktu x=0, zatem nie ma ona w tym miejscu punktu przegięcia.
Możemy sprawdzić nasz wynik, przyglądając się wykresowi funkcji f:
zadanie 1
Olgę poproszono o znalezienie punktów przegięcia funkcji f(x)=(x−2)4. Oto jej rozwiązanie:
Krok 1:
f′(x)=4(x−2)3f″(x)=12(x−2)2
Krok 2: Rozwiązanie równania f″(x)=0 to x=2.
Krok 3: f ma punkt przegięcia w punkcie x=2.
Czy rozwiązanie Olgi jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: pomijanie sprawdzenia kandydatów

Pamiętaj: Nie można po prostu zakładać, że każdy punkt spełniający f″(x)=0 (lub taki, że f″(x) jest nieokreślone) jest punktem przegięcia. Zamiast tego należy sprawdzić kandydatów i przekonać się, czy druga pochodna zmienia w tym punkcie znak, a także, czy sama wyjściowa funkcja jest w tym punkcie dobrze określona.
Zadanie 2
Roberta poproszono o sprawdzenie, gdzie funkcja g(x)=Ax3 ma punkty przegięcia. Oto jego rozwiązanie:
Krok 1:
g′(x)=13x−23g″(x)=−29x−53=−29Ax53
Krok 2: równanie g″(x)=0 nie ma rozwiązania.
Krok 3: funkcja g nie ma punktów przegięcia.
Czy rozwiązanie Roberta jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona

Pamiętaj: Kandydaci na punkty przegięcia to punkty, w których druga pochodna się zeruje lub takie, dla których nie jest ona dobrze określona. Pomijanie punktów, w których druga pochodna jest nieokreślona często będzie prowadzić do niewłaściwej odpowiedzi.
Zadanie 3
Tomka mam za zadanie sprawdzić, czy funkcja h(x)=x2+4x ma punkt przegięcia. Oto jego rozwiązanie:
Krok 1: h′(x)=2x+4
Krok 2: h′(−2)=0, to znaczy, że x=−2 jest kandydatem na punkt przegięcia.
Krok 3:
PrzedziałWartość xh′(x)Wniosek
(−∞,−2)x=−3h′(−3)=−2<0h jest wklęsła ∩
(−2,∞)x=0h′(0)=4>0h jest wypukła ∪
Krok 4: h jest wklęsła na lewo od x=−2, a wypukła na prawo od tego punktu. A zatem, funkcja h ma punkt przegięcia dla x=−2.
Czy wynik Tomka jest prawidłowy. A jeśli nie, to gdzie popełnił błąd?
Wybierz 1 odpowiedź:

Często popełniany błąd: badanie pierwszej pochodnej, zamiast drugiej pochodnej

Zapamiętaj: szukając punktów przegięcia należy zbadać zachowanie drugiej pochodnej i sprawdzić, w których punktach zmienia znak. Analiza miejsc zerowych pierwszej pochodne prowadzi do wyznaczenia kandydatów na ekstrema lokalne, a nie punkty przegięcia.
Zadanie 4
Niech g(x)=x4−12x3−42x2+7.
Dla jakich x wykres funkcji g ma punkty przegięcia?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.