If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:7:25

Transkrypcja filmu video

To co widzimy jest wykresem funkcji g zmiennej t. Jest to funkcja zależna od t i określmy na jej podstawie nową funkcję. Oznaczmy ją przez G(x) i niech będzie ona równa całce oznaczonej liczonej na przedziale od -3 do x z funkcji g(t), liczonej po zmiennej t. Mając zatem definicję funkcji G(x) sprawdźmy, czy możemy policzyć jej wartości. Obliczmy zatem wartość funkcji G w określonym punkcie. Niech x będzie równe 4, i obliczmy również wartość funkcji G(x) dla x równego 8. Zachęcam w tym miejscu do zatrzymania odtwarzania video i do próby przemyślenia problemu we własnym zakresie, a potem możemy razem policzyć poszukiwane wartości. Zajmijmy się najpierw G(4). Mamy więc, że dla x=4 ograniczenie górne naszej całki wynosić będzie 4, zatem będzie to całka określona z funkcji g(t) na przedziale [-3,4]. g(t) Czym zatem będzie G(8)? Spójrzmy w tym momencie na nasz wykres Mamy -3, t jest więc równe -3, które jest w tym miejscu. t jest równe -3. I przejdziemy aż do miejsca gdzie t jest równe 4. Zakreślę to ograniczenie górne pomarańczowym okręgiem. Aż do miejsca gdzie t jest równe 4, co dzieje się dokładnie tutaj. Więc to jest nasz przedział. Jeden ze sposobów spojrzenia na to to zauważenie iż jest to pole ponad osią t i poniżej wykresu funkcji g. Będzie to zatem pole dokładnie w tym miejscu które jest ponad osią t i poniżej wykresu funkcji g(t), ale nie dodamy do tej wartości tego pola, zakreślę je na zółto. To pole, które właśnie zakreślam na zółto będzie ujemne. Dlaczego będzie ono ujemne? Ponieważ nasz obszar ma znajdować się ponad osią t i poniżej wykresu g. W tym przypadku jest odwrotnie. To pole znajduje się pod osią t i nad wykresem funkcji g. Jednym ze sposobów na myślenie o tym jest taki, że możemy sobie to rozdzielić. Pozwolę sobie w tym miejscu wymazać G(8), żebyśmy mieli więcej miejsca. Zatem G(4) będzie równe całce. Zrobię to kolorem fioletowym. Całce od t równego -3 do 0, z funkcji g po zmiennej t do której dodamy. Zrobię to kolorem zółtym. Dodać całka od t równego 0 do t równego 4 z funkcji g(t) zmiennej t. Zatem czym będzie każda z nich? Pierwszy obszar jest trójkątem o podstawie 3. Podstawa ma długość 3. Wysokość również jest długości 3. Zatem szukane pole będzie równe 3 * 3 podzielone przez 2, czyli 9 podzielone na 2. Dzielimy przez 2, gdyż 3*3 dałoby nam pole całego kwadratu. Nasz trójkąt natomiast jest jego połową. Więc to pole będzie równe 4,5. Pierwsza całka wynosi więc 4,5. A teraz, jakie jest pole zółtego obszaru? Popatrzmy, mamy trójkąt, którego podstawa w tym miejscu ma długość 4. Jest wysokość również wynosi 4, 4*4 daje 16, a to jest pole całego kwadratu. Połową jest natomiast 8. Teraz nie wystarczy dodać tych pól do siebie, gdyż zółte będzie polem o wartości ujemnej. Wykres funkcji g(t) w tym miejscu jest poniżej osi t. W tym miejscu zatem wstawimy minus, gdyż ta całka będzie wynosiła -8. Ponownie, dlaczego jest to -8? Gdyż wykres na zadanym przedziale jest poniżej osi t. Co zatem otrzymamy? Otrzymujemy G(4), które jest polem fioletowym - pole zółte. 4,5 - 8 będzie równe. Spójrzmy, 4-8 daje nam -4, ale dodajemy do tego 0,5, czyli ostatecznie otrzymujemy -3.5. Otrzymujemy więc, że G(4) = -3,5. Teraz spróbujmy obliczyć G(8). Napiszmy więc G(8). Jeśli nie mogłeś tego wymyśleć za pierwszym razem, to spróbuj zatrzymać video teraz i na podstawie obliczonego wcześniej G(4) spróbuj wyznaczyć G(8). Więc G(8) będzie polem fioletowym, minus pole zółte, a następnie będziemy musieli wyznaczyć pole, które po rozbiciu składać się będzie z dwóch mniejszych pól. Przejdziemy aż do t = 8. Pozwolę sobie narysować w tym miejscu linię. Będziemy musieli zatem myśleć teraz o całym tym polu, które znajduje się poniżej osi t i nad wykresem g. A potem będziemy musieli pomyśleć również i o tym. Możemy więc zapisać, że będzie to równe całce na przedziale Użyje do tego koloru fioletowego Więc będzie to dokładnie to pole, które jest wyznaczone przez całkę od t= -3 do t równego 0, z funkcji g(t) po zmiennej t. Dodajemy do tego cały ten zółty obszar Część którą wyznaczyliśmy wcześniej dodać ten mniejszy obszar w tym miejscu. Zapiszę to zatem jako całkę oznaczoną liczoną od t równego 0 do t równego 6 z funkcji g(t) po zmiennej t. I ostatecznie dodajemy do tego całkę od t=6 do t=8 ponownie z funkcji g(t) po zmiennej t. Wiemy już, że ta pierwsza wynosi 4.5 co zapisujemy poniżej. Czym więc będzie ta druga całka? Tak jak wcześniej mamy trójkąt. Jego podstawa ma długość 6, a wysokość 4. 6*4 podzielone przez 2 wynosi 12. Zatem zapisujemy zamiast tej całki 12, i możemy zastanowić się nad ostatnim fragmentem. Musimy być jednak ostrożni. Druga całka którą wyznaczyliśmy jest liczona po obszarze, który znajduje się nad wykresem g(t) i poniżej osi t. Będzie to zatem -12. Ostatecznie pozostaje nam do policzenia to pole, które ponownie będzie dodatnie, gdyż znajduje się poniżej wykresu funkcji g(t) i powyżej osi t. Zobaczmy więc, że licząc pole trójkąta tak jak wcześniej mamy 2*4 podzielone przez 2 daje nam 4. Mamy więc, że ostatnie pole wynosi 4 i zapisujemy +4. +4. Co zatem otrzymaliśmy? Ostatecznie dostaliśmy 4,5 + 4 = 8,5 i odejmujemy od tego 12. Będzie to więc równe 8-12 = -4, ale dodajemy do tego 0,5 i w efekcie końcowym otrzymujemy, że szukana wartość G(8) wynosi ponownie -3,5. Zastanówmy się teraz, dlaczego obydwie te wartości funkcji G(t) są takie same. Spójrzmy na to co stało się tutaj stało. Kiedy przeszliśmy od G(4) do G(8). Odjęliśmy wartość pola w tym miejscu i dodaliśmy wartość pola w tym miejscu. Widzimy więc, że odjęliśmy i dodaliśmy tę samą wartość, gdyż te pola są sobie równe, a więc nie zmieniliśmy absolutnie niczego.