FAQ: proporcje i relacje proporcjonalności

Proporcje i wielkości proporcjonalne to pojęcia, które pomagają nam zrozumieć relacje pomiędzy różnymi wielkościami. Często pojawiają się w życiu codziennym — na przykład, gdy porównujemy ceny, obliczamy ilości składnika w przepisie na potrawę, lub chcemy obliczyć, jak szybko musimy podróżować, aby dotrzeć na czas do miejsca docelowego.

Stała proporcjonalność to liczba, która wiąże ze sobą dwie wielkości do siebie proporcjonalne. Na przykład, jeśli mówimy, że $y$‍ jest proporcjonalny do $x$‍, możemy zapisać to równaniem jako $y=kx$‍, gdzie $k$‍ jest stałą proporcjonalności.

Stałą proporcjonalności można też zdefiniować jako jednostkowe tempo zmian jednej wielkości względem drugiej. Załóżmy, że Hania przeskakuje nad skakanką w stałym tempie $135$‍ razy w ciągu $3$‍ minut. Na podstawie tej informacji możemy zdefiniować dwa jednostkowe tempa zmian, czyli dwie stałe proporcjonalności:

Aby określić, której stałej proporcjonalności powinniśmy użyć, musimy znać znaczenie $x$‍ w tym równaniu wielkości proporcjonalnych. Załóżmy, że $x$‍ oznacza liczbę minut, a $y$‍ oznacza liczbę przeskoków. W tym przypadki stała proporcjonalność wynosi $45$‍, to znaczy jest tym jednostkowym tempem zmian, które ma w mianowniku liczbę minut.

Sprawdź, czy rozumiesz: Porównywanie stałych proporjonalności.

Jest kilka sposobów na sprawdzenie, czy dwie ilości są do siebie proporcjonalne. Możemy sprawdzić, że stosunek między tymi dwoma wielkościami jest zawsze taki sam albo, że wykres zależności jednej z tych wielkości względem drugiej jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych (przez punkt, w którym zarówno $x$‍, jak i $y$‍ są równe $0$‍).

Sprawdź, czy rozumiesz: Rozstrzygnij, czy wielkości opisane w tabeli są proporcjonalne.

Proporcja to nic innego jak przyrównanie dwóch różnie zapisanych stosunków albo temp zmian do siebie. Na przykład ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$‍.

Rozwiązanie proporcji polega na obliczeniu brakującej wartości. Na przykład, jeśli wiemy, że $8$‍ z $12$‍ pomarańczy jest dojrzałych, i chcemy dowiedzieć się, ile z $24$‍ pomarańczy byłoby dojrzałych, przy takim samym stosunku dojrzałych do wszystkich pomarańczy, możemy to obliczyć w następujący sposób: ${\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{x}{24}}$‍. Zauważ, że po obu stronach tego równania zapisaliśmy ten sam stosunek ${\displaystyle \frac{\text{liczba dojrzałych pomarańczy}}{\text{liczba wszystkich pomarańczy}}}$‍.

Możemy rozwiązać tę proporcję dwoma sposobami:

Rozwiązanie proporcji może wymagać dodatkowego kroku, jeśli nieznana wielkość znajduje się w mianowniku. Załóżmy, że zapisaliśmy proporcję, korzystając ze stosunku ${\displaystyle \frac{\text{liczba wszystkich pomarańczy}}{\text{liczba dojrzałych pomarańczy}}}$‍:

Sprawdź, czy rozumiesz: Rozwiązywanie proporcji.