Główna zawartość

Kurs: Class 11 math (India) > Rozdział 13

Lekcja 2: Measures of spread: range, variance, and standard deviation

Obliczanie odchylenia standardowego krok po kroku

Wprowadzenie

W tym artykule nauczymy się, jak obliczyć odchylenie standardowe "ręcznie", albo "na piechotę".

Co ciekawe, w rzeczywistości żaden statystyk nie liczyłby odchylenia standardowego ręcznie. Potrzebne obliczenia są jednak nieco skomplikowane, a ryzyko popełnienia błędu jest duże. Ręczne liczenie trwa również długo. Bardzo długo. Dlatego właśnie statystycy polegają na arkuszach kalkulacyjnych i programach komputerowych do radzenia sobie z danymi.

Jaki jest więc cel tego artykułu? Dlaczego poświęcamy czas, żeby nauczyć się czego, czego statystycy właściwe nie używają? Odpowiedź jest prosta: uczenie się wykonywania ręcznych obliczeń pozwoli nam zrozumieć działanie odchylenia standardowego od środka. I to zrozumienie jest wartościowe. Zamiast patrzeć na odchylenie standardowe jak na jakąś magiczną liczbę, którą daje nam arkusz kalkulacyjny lub program, będziemy mogli wyjaśnić, skąd się ta liczba wzięła.

Przegląd obliczania odchylenia standardowego

Wzór na odchylenie standardowe (σ) to

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

gdzie

\sum

oznacza "sumę z",

x

jest wartością w zbiorze danych,

μ

jest średnią zbioru danych, a

N

jest liczbą elementów w zbiorze danych w całej populacji.

Wzór na odchylenie standardowe może wyglądać skomplikowanie, jednak ma sens kiedy rozbijemy go na kawałki. W następnych częściach przejdziemy krok po kroku przez interaktywny przykład. Oto krótki podgląd kroków, które będziemy wykonywać:

Krok 1: Znajdź średnią.

Krok 2: Dla każdego elementu zbioru, znajdź kwadrat jego odległości od średniej.

Krok 3: Zsumuj wartości z kroku 2.

Krok 4: Podziel wynik kroku 3 przez liczbę obserwacji.

Krok 5: Wyciągnij z wyniku kroku 4 pierwiastek kwadratowy.

Ważna uwaga

Powyższy wzór dotyczy odchylenia standardowego danych na temat całej populacji. Jeśli zamiast całej populacji mamy do czynienia z próbką, podzbiorem danych dotyczących populacji, do oszacowania na tej podstawie odchylenia standardowego w populacji należy użyć innego wzoru (poniżej), w którym

N

zastąpiono przez

n - 1

. W tym artykule skupiamy się na kolejnych krokach prowadzących do obliczenia odchylenia standardowego, które właściwie są takie same, niezależnie od tego czy mamy do czynienia z całą populacją, czy z próbką.

σ_{próbka} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n - 1}}

Dobre pytanie, ale odpowiedź na nie nie jest prosta. Mamy całą serię filmów na ten temat, oraz symulacje komputerowe, które ilustrują to zagadnienie. Intuicyjnie, wartość średnia w próbce powinna być taka sama jak wartość średnia w populacji, mamy więc dodatkowy warunek, a co za tym idzie liczba stopni swobody jest mniejsza o jeden.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na temat różnicy pomiędzy odchyleniem standardowym w populacji i w próbce i dlaczego te wzory wyglądają inaczej, przejdź do lekcji na temat odchylenia standardowego w próbce.

Naprzód!

Interaktywny przykład krok po kroku - obliczanie odchylenia standardowego

Potrzebujemy zbioru danych, na których moglibyśmy pracować. Wybierzmy jakiś mały, żebyśmy nie musieli wykonywać zbyt dużo pracy. Ten będzie dobry:

$6, 2, 3, 1$ ‍

Krok 1: obliczenie $μ$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

W tym kroku obliczymy wartość średnią zbioru danych, która jest opisana przez zmienną

μ

Wypełnij puste pole.

μ =

Krok 2: obliczenie $| x - μ |^{2}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

W tym kroku chcemy znaleźć odległość każdej obserwacji od średniej (czyli odchylenia) i podnieść każdą taką odległość do kwadratu.

Na przykład pierwszą wartością jest

6

, a średnia wynosi

3

, więc odległość pomiędzy nimi wynosi

3

. Ta odległość poniesiona do kwadratu daje nam

9

Dokończ poniższą tabelę.

Element $x$ ‍	Podniesiona do kwadratu odległość od średniej $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$9$ ‍
$2$ ‍	Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak $6$ ‍ właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍ niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍ liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍ dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍ wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍
$3$ ‍	Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak $6$ ‍ właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍ niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍ liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍ dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍ wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍
$1$ ‍	Prawidłowa odpowiedź to: liczba całkowita, taka jak $6$ ‍ właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍ niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍ liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍ dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍ wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍

Element $x$ ‍	Podniesiona do kwadratu odległość od średniej $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Krok 3: obliczenie $\sum | x - μ |^{2}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Symbol

\sum

oznacza "sumę", więc w tym kroku musimy dodać cztery wartości, które obliczyliśmy w kroku 2.

Wypełnij puste pole.

\sum | x - μ |^{2} =

Krok 4: obliczenie $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{n N}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

W tym kroku dzielimy wynik z kroku 3 przez zmienną

N

, czyli liczbę obserwacji.

Wypełnij puste pole.

\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N} =

Krok 5: obliczenie odchylenia standardowego $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Już prawie skończyliśmy! Wyciągniemy tylko pierwiastek kwadratowy z liczby z kroku 4 i koniec.

Wypełnij puste pole.
Zaokrąglij swoją odpowiedź do setnych.

σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \approx

Tak! Dokonaliśmy tego! Obliczyliśmy odchylenie standardowe małego zbioru danych.

Podsumowanie naszych działań

Rozbiliśmy wzór na pięć kroków:

Krok 1: oblicz średnią

μ

$μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ ‍

Krok 2: oblicz kwadraty odległości każdej obserwacji od średniej

| x - μ |^{2}

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍		$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Kroki 3, 4, oraz 5:

$\begin{aligned} σ & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} Zsumuj wszystkie kwadraty odległości (Krok 3). \\ = \sqrt{3, 5} Podziel tą liczbę przez ilość danych (Krok 4). \\ \approx 1, 87 Wyciągnij pierwiastek kwadratowy (Kok 5). \end{aligned}$ ‍

A teraz spróbuj sam

Wzór dla przypomnienia:

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

A to zbiór danych:

$1, 4, 7, 2, 6$ ‍

Znajdź odchylenie standardowe tego zbioru danych
Zaokrąglij odpowiedź do części setnych.

σ =

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$4$ ‍		$\| 4 - 4 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$7$ ‍		$\| 7 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Kurs: Class 11 math (India) > Rozdział 13

Obliczanie odchylenia standardowego krok po kroku

Wprowadzenie

Przegląd obliczania odchylenia standardowego

Ważna uwaga

Interaktywny przykład krok po kroku - obliczanie odchylenia standardowego

Krok 1: obliczenie $μ$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 2: obliczenie $| x - μ |^{2}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 3: obliczenie $\sum | x - μ |^{2}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 4: obliczenie $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{n N}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 5: obliczenie odchylenia standardowego $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Podsumowanie naszych działań

A teraz spróbuj sam

Znajdź średnią

Znajdź kwadrat odległości każdego elementu od średniej

Zastosuj wzór

Odpowiedź

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Class 11 math (India)

Kurs: Class 11 math (India) > Rozdział 13

Wprowadzenie

Przegląd obliczania odchylenia standardowego

Ważna uwaga

Interaktywny przykład krok po kroku - obliczanie odchylenia standardowego

Krok 1: obliczenie μ‍ w ∑|x−μ|2N‍

Krok 2: obliczenie |x−μ|2‍ w ∑|x−μ|2N‍

Krok 3: obliczenie ∑|x−μ|2‍ w ∑|x−μ|2N‍

Krok 4: obliczenie ∑|x−μ|2nN‍ w ∑|x−μ|2N‍

Krok 5: obliczenie odchylenia standardowego ∑|x−μ|2N‍

Podsumowanie naszych działań

A teraz spróbuj sam

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Krok 1: obliczenie $μ$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 2: obliczenie $| x - μ |^{2}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 3: obliczenie $\sum | x - μ |^{2}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 4: obliczenie $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{n N}$ ‍ w $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Krok 5: obliczenie odchylenia standardowego $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍