Główna zawartość

Kurs: Class 11 math (India) > Rozdział 13

Lekcja 2: Measures of spread: range, variance, and standard deviation

Sprawdzenie zrozumienia: Odchylenie standardowe

Sześć pytań, które pomogą Ci dogłębniej zrozumieć pojęcie odchylenia standardowego.

Wprowadzenie

Poniższe pytania są ułożone w taki sposób, żeby pomóc Ci zastanowić się nad pojęciem odchylenia standardowego i sposobem jego obliczania.

Inaczej niż większość pytań na Khan Academy, niektóre z nich nie są oceniane przez komputer. Najwięcej nauczyć się, jeśli odpowiesz na każde z pytań samodzielnie zanim klikniesz w przycisk "Wyjaśnij".

Wzór (dla odniesienia)

Wzór na odchylenie standardowe (σ) to

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

gdzie

\sum

oznacza "sumę z",

x

jest wartością w zbiorze danych,

\bar{x}

jest średnią zbioru danych, a

n

jest liczbą wartości z zbiorze danych.

Część 1

Mamy podany prosty zbiór danych

{1, 4, 7, 2, 6}

Ile wyniesie odchylenie standardowe, jesli $7$ ‍ zamienimy na $12$ ‍?

W jaki sposób możemy zobaczyć to we wzorze na odchylenie standardowe?

Jak zmienia się odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe zwiększa się ponieważ dane stają się bardziej rozproszone:

W jaki sposób możemy zobaczyć to we wzorze?

Możemy zobaczyć to we wzorze

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

ponieważ

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

jest sumą kwadratów odległości każdego punktów od średniej. Kiedy dane stają się bardziej rozproszone, wartość

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

rośnie.

Ciekawe jakie są rzeczywiste odchylenia standardowe zbiorów danych?

Odchylenie standardowe

{1, 2, 4, 6, 7}

to w przybliżeniu

2, 28

Odchylenie standardowe

{1, 2, 4, 6, 12}

to w przybliżeniu

3, 90

Część 2

Czy jest możliwe stworzenie zbioru danych mającego $4$ ‍ elementy, którego odchylenie standardowe wyniesie $0$ ‍?

Jeśli jest to możliwe, to zrób to! Czy możesz stworzyć dwa różne zbiory spełniające ten warunek? A trzy?

Tak, to możliwe!

W rzeczywistości istnieje nieskończona liczba możliwych zbiorów danych.

Oto jeden z nich:

$5, 5, 5, 5$ ‍

A to drugi:

$8, 8, 8, 8$ ‍

Dowolny zbiór danych, w którym wszystkie elementy mają taką samą wartość ma odchylenie standardowe równe

0

, ponieważ odległość każdego z elementów od średniej wynosi

0

Pokaż mi obliczenia dla ${5, 5, 5, 5}$ ‍.

Krok 1: Znajdowanie średniej

\bar{x} = \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5

Krok 2: Znajdowanie kwadratu odległości każdego elementu od średniej

$x$ ‍		$\| x - \bar{x} \|^{2}$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍

Krok 3: Zastosowanie wzoru

\begin{aligned} σ & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}} \\ = \sqrt{\frac{0}{4}} \\ = \sqrt{0} \\ = 0 \end{aligned}

Część 3

Czy odchylenie standardowe może być ujemne?

Dlaczego tak lub dlaczego nie?
Wskazówka: Zastanów się nad wzorem.

Nie, odchylenie standardowe nie może być ujemne!

Żeby przekonać się dlaczego, zastanów się nad licznikiem i mianownikiem wewnątrz ułamka.

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

Zauważ, że

n

jest zawsze dodatnie. Jest to liczba elementów, i a nie możemy mieć ujemnej liczby elementów.

Zauważ również, że

\sum | x - \bar{x} |^{2}

zawiera wartość podniesioną do kwadratu. Zawsze kiedy podnosimy coś do kwadratu, dostajemy liczbę, która nie jest ujemna.

Ponieważ zarówno mianownik jak i licznik są dodatnie, całe wyrażenie również musi być dodatnie.

Część 4

Odchylenie standardowe jest miarą rozproszenia danych w rozkładzie.

Jak myślisz, co oznacza odchylenie?

Część 5

To są wzory na odchylenie standardowe (

σ

) i odchylenie przeciętne (

d

), obie miary mierzą rozproszenie:

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

$d = \frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |}{n}$ ‍

Jakie są podobieństwa w tych wzorach? Jakie są różnice?

Jakie są podobieństwa?

Wzory są bardzo podobne! Oba są oparte na odległości każdego punktu danych od średniej

| x - \bar{x} |

, i oba zawierają dzielenie przez liczbę elementów

n

Jakie są różnice??

Różnica pomiędzy tymi dwoma wzorami jest taka, że podczas obliczania odchylenia standardowego podnosimy do kwadratu odległości każdego z elementów od średniej, i wyciągamy pierwiastek kwadratowy w ostatnim działaniu we wzorze.

Który jest lepszy?

Odchylenie standardowe jest bardziej skomplikowane, ale ma pewne przydatne właściwości, które sprawiają, że statystycy bardziej lubią go używać jako miary rozproszenia.

Część 6

Oto wzór, którego używaliśmy do obliczenia odchylenia standardowego:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

A to wzór, którego używają statystycy:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Czy te dwa wzory są równoważne?

Jaka jest różnica pomiędzy tymi wzorami?

We wzorze, którego użyliśmy, wzięliśmy wartość bezwzględną

x - \bar{x}

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} {| x - \bar{x} |}^{2}}{n}}$ ‍

We wzorze, którego używają statystycy, umieszczają nawiasy wokół

x - \bar{x}

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Czy wzory są równoważne?

Tak, oba wzory są równoważne!

Statystycy wiedzą, że podniesienie do kwadratu sprawia, ze odległość jest dodatnia, więc nie muszą się martwić o używanie znaków wartości bezwzględnej i zamiast tego używają nawiasów.

Na przykład, żeby obliczyć

| x - \bar{x} |^{2}

(x - \bar{x})^{2}

dla

x = 2

\bar{x} = 5

$| x - \bar{x} |^{2} = | 2 - 5 |^{2} = | - 3 |^{2} = 3^{2} = 9$ ‍

$(x - \bar{x})^{2} = (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ‍

Oba są dodatnie! Oba wynoszą

9

! Są więc równoważne!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.