2013 AMC 10 A #21 / AMC 12 A #17 - film z polskimi napisami

Dobrze A więc, mamy tutaj 12 piratów. Chcą oni podzielić się skarbem, skrzynią złota. Oto, jak oni chcą to zrobić. Pierwszy pirat przyjdzie, weźmie 1/12 złota, tego co jest w skrzyni. Drugi pirat przyjdzie, weźmie 2/12 tego, co zostało w skrzyni po pierwszym piracie. Trzeci pirat przyjdzie, weźmie 3/12 tego, co zostało po dwóch poprzednich piratach. I tak dalej, i tak dalej, i tak dalej. Zobaczmy, co się dzieje. Każdy pirat dostaje dodatnią, naturalną liczbę monet. A liczba monet, która była w skrzyni jest najmniejszą liczbą monet, dla której jest możliwe, by każdy pirat dostał dodatnią liczbę monet, naturalną liczbę monet użytą w tym schemacie. Zaczniemy od x, ponieważ x oznacza niewiadomą. x jest liczbą monet, które są w skrzyni na początku. Pierwszy pirat przychodzi i bierze 1/12. Zostawia 11/12 dla następnego, który przychodzi. Następny, drugi pirat bierze 2/12 i zostawia 10/12 tego, co było tutaj, kiedy przyszedł, dla następnego pirata. Zatem, on teraz dostaje i to jest całkiem sporo. Zostawia 10/12 tej ilości dla następnego pirata. Następny pirat przychodzi, bierze 3/12, zostawia 9/12 tego dla następnego pirata. I tak dalej, i tak dalej, aż dojdziemy do kilku ostatnich piratów. 11. pirat weźmie 11/12, zostawi 1/12 tego, co było, dla ostatniego pirata, który przyjdzie i weźmie wszystko to, co zostało. To, co my chcemy policzyć, to ile zostanie dla ostatniego pirata? Zatem, chcemy policzyć, jaka jest wartość tego wyrażenia. Możemy zapisać to, trochę krócej, jako x razy w liczniku 11 silnia, a w mianowniku 12 do potęgi 11. I chcemy obliczyć, ile to jest. Teraz, x jest najmniejszą liczbą, dla której to wyrażenie jest całkowite. Podsumowując, x jest najmniejszą wartością która daje nam pewność, że każdy pirat otrzyma całkowitą liczbę monet. Nie będę się teraz o to martwić. Ale obawiam się teraz o ostatniego pirata i o liczbę monet, którą on otrzyma. Jeśli właśnie już oznaczyłeś, że x to 12 do potęgi 11, to po prostu to jest liczbą całkowitą. Ale 11 silnia nie jest żadnym z tych doborów. Zatem, możemy uprościć ten ułamek. Możemy usunąć wszystkie czynniki z 2 i 3 z 11 silnia i zobaczyć, co zostanie. Pominiemy czynnik z 11. A następnie, mamy dwie piątki, z 5 i z 10. Mamy 7, która się tu znajduje. A następnie powinniśmy to policzyć, cóż, uprościmy ten ułamek, wykreślając czynniki z 2. Moglibyśmy już przestać to robić, tylko obliczyć to i podać odpowiedź. Ale trochę się martwię tym, że każdy pirat musi dostać liczbę monet, która jest całkowita. Nie krępujmy się i uprośćmy ten ułamek. Liczba dwójek w 11 silnia, liczba czynników z dwójką, dostajemy: 2, 4, 6, 8, 10. Zatem mamy 5. Dostajesz jeszcze jedną dwójkę z 4 i jeszcze dwie dodatkowe dwójki z 8. 8 czynników z dwójką w liczniku i 22 czynniki z dwójką w mianowniku, co daje nam 2 do potęgi 14. Następnie czynniki z trójką, masz: 3, 6, 9, tutaj, na górze. Dostajesz dodatkowy czynnik z trójką z 9. Cztery czynniki z 3 w liczniku. 11 w mianowniku. Zostaje nam 3 do potęgi 7. Możemy teraz iść dalej i pomnożyć ten licznik. 7 razy 11 jest 77, razy 25. Dobrze, 80 razy 25 jest 2000. Zatem, 77 razy 25 jest 1925. Jesteśmy z tego zadowoleni, bo 1925 znajduje się tutaj. Ale, ja bym sobie teraz odpuścił tylko wziął w kółko 1925, odpowiedź D i poszedłbym dalej. Ale widząc 3850, właśnie tam, przeraża mnie to trochę. To sprawia, że pamiętam, iż każdy pirat musi dostać dodatnią liczbę monet, więc może to jest powód, który sprawia, że musimy gdzieś pomnożyć przez 2. Jedynym sposobem sprawdzenia tej odpowiedzi jest poradzenie sobie z tym. Załóżmy, że x wynosi 2 do potęgi 14. razy 3 do potęgi 7. Następnie, zobaczmy, czy każdy pirat dostanie dodatnią liczbę monet. Teraz, jeśli zaciąłeś się na czas tego testu zaznacz D i przejdź dalej. Pewnie jest dobrze to zrobić, ponieważ to wygląda, jak gdybyś miał dostać naturalną liczbę monet w każdym kroku. Szybko sprawdźmy, jak to działa w rzeczywistości. Jeśli rozpoczniemy z 2 do potęgi 14. razy 3 do potęgi 7 monetami, co się stanie? Chcemy mieć pewność, że na końcu będziemy mieli 1925 monet. I chcemy być pewni, że każdy pirat otrzyma dodatnią liczbę monet. Zaczynajmy. Zacznijmy od 2 do 14. razy 2 do potęgi 7. monet. Oddzielę tę część tablicy, ponieważ będziemy potrzebowali tutaj trochę miejsca. Pierwszy pirat dostanie 1/12 tego. To tylko wyliczymy i zostanie 11 razy 2-- 11/12 tego, 11 razy 2 do potęgi 12 razy 3 do potęgi 6. Teraz widzisz, dlaczego musimy zacząć się martwić. Chcemy pozbyć się tych potęg 2 i 3. Po prostu nigdy nie chcemy skończyć ułamkową liczbą monet. Następny pirat przychodzi. Dostaje 2/12, czyli 1/6 tego. Tego, co zostało już ustalone. Zostaje 5/6 tej ilości. Zostawiając 5/6 tego, daje nam czynnik 5 w liczniku, ale zabiera czynnik z 2 i czynnik z 3. Następna osoba przychodzi, bierze 1/4 monet, zostawia 3/4 monet. Zatem, dostaniemy kolejny czynnik z 3, z powrotem, ale pozbędziemy się dwóch czynników z 2. Zatem, to jest tyle, ile monet nam zostało. Następna osoba przychodzi i bierze 1/3. To znaczy 4/12. Zostaje 2/3 tej ilości, zabierając czynnik z 3, dorzucając czynnik z 2. Następna osoba przychodzi, bierze 5/12, zostawia 7/12. Zatem, to jest 7 razy 55. Teraz, wyeliminowaliśmy dwa czynniki z 2 i czynnik z 3. Następna przychodzi, bierze 1/2, zostaje 1/2. Tu jest bardzo łatwo, tylko wyeliminowaliśmy czynnik z dwójką. Następna osoba przychodzi, bierze 7/12, zostawia 5/12. Wiemy teraz, że jest 5 razy 7 razy 55. Właśnie to obliczyliśmy, 1925 razy 2 do potęgi 5. razy 3 do potęgi trzeciej. Następna osoba przychodzi, bierze 8/12, zostawia 4/12 tej gmatwaniny. Więc zostaje 1/3, pozostaje 1925 razy 2 do potęgi piątej razy 3 do kwadratu. Uff. Już prawie. Następna osoba przychodzi bierze 3/4, zostaje 1/4 tej ilości. Następna przychodzi. To ta osoba, właśnie tutaj. Zabiera 10/12, zostaje 2/12, pozostawia 1/6 tej ilości. Jak widzisz, w każdym kroku pirat, który odchodzi z łupem, odchodzi z całkowitą liczbą monet. Teraz, na końcu, ostatnia osoba przychodzi i bierze 11/12 tego, co zostało ustalone. Zamierzasz dostać dodatnią liczbę monet, ponieważ mamy tutaj czynnik 12. Zamierzamy zostawić 1/12 pozostałości, czyli 1925 monet. Jeśli tylko zaznaczyłeś D i przeskoczyłeś do przodu to właśnie teraz wszystko już jest wyliczone. I gotowe.