Co to strumień indukcji magnetycznej?

Jeżeli obydwie niebieskie powierzchnie zaznaczone na rysunku 1 mają jednakowe pola, a kąt $\theta$‍ wynosi ${25}^{\circ }$‍, jaka jest zależność między strumieniem indukcji przez lewą powierzchnię w stosunku do strumienia przez prawą?

Rozwiązanie

Analizując równanie definiujące strumień indukcji, możemy zauważyć, iż, jeśli rozważamy jednakowo duże powierzchnie umieszczone w tym samym polu magnetycznym, różnica wartości strumienia indukcji wynika jedynie z kątów, pod jakimi umieszczone są te płaszczyzny. Na rysunku zaznaczony jest kąt między niebieska powierzchnią w płaszczyzną prostopadłą do wektora pola - zauważ, że jest to taki sam kąt, jak między wektorem normalnym (prostopadłym) do płaszczyzny, a wektorem pola. Dalej, wiedząc, że

$\cos {25}^{\circ }\simeq 0,91$‍

jesteśmy w stanie stwierdzić, że strumień indukcji przez nachyloną powierzchnię jest o około 9% mniejszy niż strumień przez powierzchnię prostopadłą.

Jak zmierzyć strumień indukcji magnetycznej?

Na rysunku 2 przedstawiono wyniki pomiaru indukcji niejednorodnego pola w pobliżu jakiegoś magnetycznego materiału. Zielona linia symbolizuje pętlę z przewodnika - jaki jest strumień indukcji pola przez tę pętle, przy założeniu, że pole magnetyczne pada prostopadle do powierzchni?

Rysunek 2: Wyniki pomiarów indukcji pola magnetycznego w otoczeniu pętli z przewodnika (zielona linia); wyniki podane w $mT$‍, a pole pojedynczej kratki wynosi $1c{m}^2$‍.

Rozwiązanie

Aby obliczyć strumień indukcji, musimy znać pole zadanej powierzchni oraz wartość indukcji magnetycznej.W tym przypadku pole jest niejednorodne, więc obliczamy jego średnią wartość.

$\begin{array}{rl}{B}_{śr}& =\frac{123\mathrm{mT}}{30}\\ & =4,1\mathrm{mT}\end{array}$‍

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =A{B}_{śr}\\ & =(0,05\mathrm{m}\cdot 0,06\mathrm{m})\cdot (4,1\mathrm{mT})\\ & =\mathrm{0,012}3\mathrm{mWb}\end{array}$‍

Do czego to się przydaje?

1. W wykonanej z przewodnika pętli, znajdującej się w polu magnetycznym indukuje się, zgodnie z prawem Faradaya , siła elektromotoryczna, której wartość zależy od zmian strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez pętle. Więcej na temat zjawiska indukcji magnetycznej możesz przeczytać w naszym artykule o prawie Faradaya. Efekt ten wykorzystuje się w prądnicach, w których wykonane z przewodnika pętle wirują w polu magnetycznym, co schematycznie przedstawiono na Rysunku 3. W tym przypadku strumień pola przepływającego przez pętlę z drutu zmienia się na skutek obrotu pętli. Dzięki pojęciu strumienia pola magnetycznego inżynierowie potrafią obliczyć siłę elektromotoryczną generowaną w obwodach o najróżniejszym kształcie.

   Rysunek 3: Uproszczony schemat prądnicy - przewód obraca się w stałym polu magnetycznym (domena publiczna).

2. Do tej pory zajmowaliśmy się strumieniami pola przez proste, płaskie powierzchnie, ale w praktyce umiemy obliczać strumienie pola przez powierzchnie o dowolnym kształcie. Także przez powierzchnie zamknięte, takie jak sfera, wewnątrz których zamknięty jest obszar, którym się interesujemy. Zamknięte powierzchnie są o tyle ciekawe, że z równań pola magnetycznego wynika, że całkowity strumień przez taką powierzchnię musi wynosić zero, ponieważ nie istnieją elementarne ładunki magnetyczne, tak zwane monopole. Przypomnij sobie, że magnes zawsze ma dwa bieguny i pomimo uporczywych poszukiwań fizykom nie udało się do tej pory (o ile nam wiadomo) odkryć monopol magnetyczny To właśnie oznacza, że wypadkowy strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą musi wynosić zero, jako że linie pola, które wpływają do wewnątrz powierzchni nie mogą kończyć się w środku, a zatem muszą gdzieś obszar ograniczony tą powierzchnię opuścić, dokładnie równoważąc strumień pola wchodzącego strumieniem pola wychodzącego. Korzystając z tego rozumowania udaje się często uprościć rozwiązanie zadań o polu magnetycznym.

Strumień indukcji magnetycznej w pobliżu przewodu z prądem

Na rysunku 4 pokazano prostokątną pętle z przewodnika umieszczoną w pobliżu przewodu z prądem. Korzystając z danych liczbowych umieszczonych na rysunku, oblicz strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię ograniczoną tą pętlą. Jeśli nie wiesz, jak policzyć indukcję magnetyczną w pobliżu przewodu z prądem, przypomnij sobie artykuł o polu magnetycznym. Wskazówka: warto narysować sobie na wykresie, jak zależy wartość indukcji magnetycznej w zależności od odległości od przewodu.

Rysunek 4: Strumień indukcji magnetycznej przez pętle umieszczoną w pobliżu przewodu z prądem.

Rozwiązanie

Z artykułu o polu magnetycznym pamiętasz, że wartość indukcji pola pochodzącego od długiego przewodnika, w którym płynie prąd $I$‍, zależy od odległości od tego przewodnika $r$‍ następująco:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$‍.

gdzie ${\mu }_0$‍ to przenikalność magnetyczna próżni. ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{A}$‍.

Gdy narysujemy wykres zależności wartości indukcji magnetycznej $B$‍ od odległości $r$‍, możemy łatwo zauważyć, że interesujący nas strumień indukcji jest proporcjonalny do pola powierzchni obszaru pod krzywą na wykresie, ograniczonego przez wartości $x$‍ odpowiadające pętli. Aby wyliczyć tę wartość dokładnie, musielibyśmy posłużyć się rachunkiem całkowym. Jeśli jednak nie zależy nam na dokładności, wystarczy proste przybliżenie. Na rysunku 5 cały obszar podzielono na małe prostokąty - teraz wystarczy oszacować, ile prostokątów znajduje się pod krzywą!

Rysunek 5: Wykres zależności pola magnetycznego od odległości w ćwiczeniu 1.

Licząc szare prostokąty na rysunku 5, dochodzimy do wniosku, że jest ich mniej więcej 44(,)5 (uwzględniając fakt, że sporo część jest szara tylko częściowo). Pole pod wykresem wynosi zatem około

$44,5\cdot (5\cdot {10}^{-3}\mathrm{m})\cdot (5\cdot {10}^{-6}\mathrm{T})=\mathrm{1,112}5\cdot {10}^{-6}\mathrm{Tm}$‍

Aby otrzymać wartość strumienia indukcji magnetycznej, musimy przemnożyć wartość indukcji przez pole całej powierzchni. Na razie uwzględniliśmy jedynie poprzeczny wymiar prostokąta. Przemnóżmy zatem wynik przez jego długość:

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =(\mathrm{1,112}5\cdot {10}^{-6}\mathrm{Tm})\cdot (75\cdot {10}^{-3}\mathrm{m})\\ & \simeq 8\cdot {10}^{-8}\mathrm{Wb}\end{array}$‍