Wprowadzenie pojęcia granicy funkcji w punkcie (starszy film, z polskimi napisami)

Witajcie w prezentacji o granicach. Zacznijmy z ... - cóż, najpierw wyjaśnienie, zanim narobię problemów. Powiedzmy, że miałem - pozwólcie, że się upewnię, że mam odpowiedni kolor i, że mój pisak działa. No dobra, powiedzmy, że mam granicę, i zaraz wytłumaczę czym jest granica, ale to za chwilę. Ale sposób w jaki piszecie, to znaczy, wymawiacie "granica" - nie ten kolor- OK, pozwólcie, że wezmę żółty pisak. OK, granica gdy wartość X zbliża się do 2 funkcji x do kwadratu. Chodzi o to: jaką wartość przyjmuje X do kwadratu gdy wartość X zbliża się do 2? Cóż, to bardzo proste. Jeśli się temu przyjrzymy - pozwólcie, że narysuję wykres Zostanę przy żółtym. Więc narysuję. X do kwadratu wygląda jakoś - pozwólcie, że użyję innego koloru. Wykres X do kwadratu wygląda jakoś tak, prawda? Gdy X jest równy 2, tj. Y, albo wyrażenie - bo nie mówimy czemu to jest równe. Po prostu wyrażenie X do kwadratu jest równe 4, prawda? Więc granica mówi, że gdy wartość X zbliża się do 2 z obu stron, od liczb po lewej i prawej stronie od dwójki to do czego zbliża się wartość wyrażenia? Myślę, że już możecie zauważyć dokąd to zmierza pewnie zastanawiacie się dlaczego w ogóle się uczymy tej nowej koncepcji, bo jest oczywiste, że gdy x coraz bardziej zbliża się stąd do dwójki gdy X zbliża się coraz bardziej i bardziej do dwóch w tym kierunku, to czemu jest równa wartość tego wyrażenia? To wszystko jest równe 4, prawda? Wartość wyrażenia jest równa 4. Wyobrażam to sobie jak poruszanie się po krzywej coraz bliżej i bliżej do wartości tego wyrażenia, a czemu równa się wartość tego punktu? W tym wypadku jest to 4. Pewnie zaraz powiecie: "Sal, ten koncept wydaje się być bezużyteczny, bo wystarczyło wpisać tam dwa i wiedziałbym, że jeżeli - nazwijmy to f od X - "że jeżeli f(x)=x², to f(2)=4 i nie wymagało by to myślenia. Cóż, pozwólcie, że tutaj się na moment zatrzymam i może w końcu dostrzeżecie do czego możemy użyć granic. Pozwólcie, że zdefiniuję - niech f(x)=x² kiedy x różne od 2 i niech f(x)=3, gdy x=2. Interesujące. To taka mała wariacja tej funkcji tutaj. To jest nasze nowe f(x). Zadam wam teraz pytanie. Co jest - mój pisak wciąż działa - co jest granicą - użyłem tym razem kursywy - co jest granicą gdy X - to jest X - gdy X zbliża się do 2 dla f(x) To jest X. To oznacza wartość X zbliżającą się do 2. Właśnie tak. OK, narysuję to teraz. Oto jak wygląda schludny wykres. To taki, który właśnie narysowałem. Pozwólcie, że narysuję. Będzie to prawie identyczne jak ta krzywą po lewej, poza tym, że coś interesującego wydarzy się, gdy x równa się 2. Właśnie tak. Wygląda to jak wykres krzywej x². Ale przy x=2 i f(x)=4 rysujemy małą dziurkę. Rysujemy ją, gdyż funkcja nie ma rozwiązań dla x=2. To właśnie jest x=2 A to jest 2. To jest 4 To oczywiście jest f(x). Kiedy x=2 - niech to będzie 3. Kiedy x=2 to f(x)=3. To właściwie jest zaraz pod tym. Powinienem - nie wygląda to jakby było idealnie pod tym ale myślę, że wiecie o co chodzi. Oto wykres f(x)=x² Jest to dokładnie y=x², dopóki nie dojdziemy do x=2 Przy x=2 mamy wykres - nie, nie wykres. Mamy lukę w wykresie, którą możemy nazwać "grap" (wykres - "graph" + luka - "gap") Mamy lukę w wykresie, i potem po x=2 idziemy dalej. Ta luka jest tutaj, co się dzieje, gdy x=2? Cóż, wtedy funkcja przyjmuje wartość 3 Więc ten wykres niby idzie - to tak jakby x² ale zamiast dla f(2)=4 spada do 3 ale potem idzie już normalnie. Wracając do zagadnienia granicy, jaka ona jest kiedy x zbliża się do 2? Teraz pomyślmy o tej samej rzeczy. Mamy zamiar pójść - tak ja to sobie wyobrażam. W miarę zbliżania się x do 2 z tej strony, z lewej albo od strony liczb mniejszych od 2 f(x) zbliża się wartościami do 4, prawda? F(x) zbliża się do 4 w miarę jak x zbliża się do 2, prawda? Myślę, że to widzicie. Podążając za krzywą, gdy osiąga f(2) zbliżamy się coraz bardziej do 4. Podobnie, zbliżając się z lewej i prawej strony - upewnię się tylko czy mój drobiazg wciąż działa - Zbliżając się z lewej i prawej strony wzdłuż krzywej i f(x) powoli osiąga 4. Jak widzicie: w miarę zbliżania się do x=2, f od jakiejkolwiek liczby, równa się 4. W tym wypadku, granica w miarę zbliżania się x do 2 jest równa 4. To interesujące, bo w tym przypadku granica w miarę osiągania x=2 dla f(x) wcale nie równa się f(2) Normalnie to było by na tej linii. W tym wypadku, granica gdy osiągamy wartość równą temu. W tym wypadku tak nie jest. Myślę, że teraz zaczynacie rozumieć dlaczego granica jest troszkę inna niż zwykłe obliczanie funkcji bo możecie mieć funkcje gdzie, z byle powodu w konkretnym punkcie może być zdefiniowana albo skakać góra-dół, ale dopóki zbliża się ona do tego punktu to wciąż zbliżacie się do punktu innej wartości niż funkcja w tym punkcie. Oto moje wprowadzienie. Myślę, że da wam to intuicyjne pojęcie czym jest granica. W innej prezentacji podam wam bardziej formalną, matematyczną definicję granicy, no wiecie, taką "δ - ε" definicję granicy. W przyszłej prezentacji rozwiążę parę problemów związanych z granicą. Uważam, że im więcej zagadnień tym bardziej pojmuje się czym jest granica. A potem jak zajmiemy się pochodznymi i całkami, zrozumiecie po co najprawdobodobniej ludzie wymyślili granicę. Do zobaczenia w następnej prezentacji.