Upraszczanie wyrażeń pierwiastkowych (dodawanie)

Każą nam dodać i uprościć: pierwiastek z 2x² plus 4 razy pierwiastek z 8 plus 3 razy pierwiastek z 2x² plus pierwiastek z 8. Możemy najpierw upraszczać, a potem dodawać lub na odwrót. Widać, że coś można dodać. Spróbujmy. Tutaj mam pierwiastek arytmetyczny z 2x², a tu jest 3 razy pierwiastek arytmetyczny z 2x². Gdy mam pojedyncze coś i 3 razy to samo coś, to aby je dodać… Najpierw, dla jasności, tutaj dopiszę współczynnik 1. Tu jedna rzecz, a tu 3 takie same. Coś plus 3 razy to coś daje nam 4 razy to coś. Czyli to jest 4 razy pierwiastek arytmetyczny z... 4 razy pierwiastek z 2x². To trochę mylące. Wyobraźmy sobie, że √(2x²) jest po prostu zmienną. Powiedzmy, że to „a”. A tu jest to samo, czyli też „a”. Więc: a + 3a... Razem mamy 4a. W tym przypadku „a” oznacza to wszystko tutaj. To już dodaliśmy, idźmy dalej: tu mamy 4√8, a tu jeszcze jeden √8. Ta sama zasada. Mamy 4 takie rzeczy, zakreślę na różowo, i jeszcze raz to samo. Zakreślam. Współczynnik „1” jest domyślny. Mam 4 razy coś plus jeszcze raz to coś. Łącznie 5 razy to coś. Plus 5 razy pierwiastek kwadratowy... Plus 5 razy pierwiastek kwadratowy z 8. Zobaczmy, czy to się da uprościć. Mamy 4 razy coś i 5 razy coś innego… Nie dodamy tego, ale może trochę to uprościmy. Wiemy, że √(2x²) jest tym samym, co… Napiszę czwórkę z przodu. Mamy 4… zaś √(2x²) jest tym samym, co √2 razy √(x²). To cała ta część. Trzeba jeszcze dodać 5 razy… 8 można przedstawić jako iloczyn kwadratu i niekwadratu. 8 można przedstawić jako 4 razy 2. Zapiszmy to tak. Cały ten fragment, z pierwiastkiem z 4 razy 2, możemy zapisać jako 5 razy pierwiastek arytmetyczny z 4... razy pierwiastek arytmetyczny z 2. Czy to da się uprościć? Znamy pierwiastek arytmetyczny z x². To dodatni pierwiastek kwadratowy z x², więc nie tylko x. Może was kusi, by tak powiedzieć, ale skoro… to ma być pierwiastek dodatni, chodzi o wartość bezwzględną z „x”. Bo gdyby „x” było ujemne…? Weźmy np. „-3”. „-3” do kwadratu to plus 9, a pierwiastek arytmetyczny z 9 to plus 3. Czyli nie po prostu „x”, nie „-3”, tylko 3. Wartość bezwzględna. Kolejny kwadrat to 4. Pierwiastek arytmetyczny z 4 wynosi 2. Ściślej: arytmetyczny pierwiastek kwadratowy. Jeśli zmienimy kolejność mnożenia, mamy… 4 razy wartość bezwzględna z „x”… 4 razy |x| razy √2. Razy pierwiastek z 2. Wezmę ten sam żółty kolor. Razy pierwiastek kwadratowy z 2… Plus… plus… Mamy 5 razy 2, czyli 10. To wszystko uprościło się do 2. Czyli mamy 10 pierwiastków kwadratowych z 2. Moglibyśmy na tym poprzestać, mówiąc, że wszystko uprościliśmy, ale można więcej. Zależy, jak na to spojrzymy. Tutaj mamy 4 razy |x| razy pierwiastek z 2, a tu jest 10 pierwiastków z 2. 4 razy |x| razy coś, a tu mamy 10 razy to samo coś. Można je dodać. Albo pomyślmy inaczej: wyciągnijmy przed nawias √2. Jedno i drugie działa. Uzyskujemy 4 razy |x| plus 10… plus 10 razy… razy… arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z 2. Zależnie, który wynik uznacie za bardziej uproszczony, jeden z nich powinien was zadowolić.