Główna zawartość

Składanie funkcji

Omówienie przykładów, wyjaśnień i zadań ze znajdowania i obliczania wartości funkcji złożonych.

Dwie funkcje można połączyć w taki sposób, że wynik jednej funkcji jest argumentem drugiej funkcji. To działanie definiuje nam funkcję złożoną. Rzućmy okiem na to, co to oznacza!

Obliczenia wartości funkcji dla funkcji złożonych

Przykład

Jeśli

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

, to ile wynosi

f (g (3))

Rozwiązanie

Jeden ze sposobów obliczenia wartości

f (g (3))

jest podejście "od wewnątrz - na zewnątrz". Innymi słowy, na początku obliczmy

g (3)

first i później podstawmy ten wynik do

f

, aby uzyskać odpowiedź.

Znajdźmy wartość

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (3) & = (3)^{3} + 2 Podstaw x = 3 . \\ = 29 \end{aligned}$ ‍

Ponieważ

g (3) = 29

, to

f (g (3)) = f (29)

Teraz znajdźmy wartość

f (29)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (29) & = 3 (29) - 1 Podstaw x = 29 . \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Stąd

f (g (3)) = f (29) = 86

Znalezienie funkcji złożonej.

W przykładzie powyżej, funkcja

g

przekształciła

3

29

, po czym funkcja

f

przekształciła

29

86

. Znajdźmy funkjcę, która bezpośrednio przeprowadza

3

86

Aby to zrobić, musimy złożyć te dwie funkcje i znaleźć

f (g (x))

Przykład

Co to jest

f (g (x))

?
Przypomnij sobie, że $f (x) = 3 x - 1$ ‍ i $g (x) = x^{3} + 2$ ‍.

Rozwiązanie

Jeśli spojrzymy na wyrażenie

f (g (x))

, zobaczymy, że

g (x)

jest argumentem funkcji

f

. Więc podstawmy

g (x)

wszędzie gdzie widzimy

x

w funkcji

f

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \end{aligned}$ ‍

Skoro

g (x) = x^{3} + 2

, możemy podstawić

x^{3} + 2

g (x)

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \\ = 3 (x^{3} + 2) - 1 \\ = 3 x^{3} + 6 - 1 \\ = 3 x^{3} + 5 \end{aligned}$ ‍

Ta nowa funkcja powinna przeprowadzić

3

bezpośrednio w

86

. Sprawdźmy to.

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 x^{3} + 5 \\ f (g (3)) & = 3 (3)^{3} + 5 \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Doskonale!

Ćwiczenia

Zadanie 1

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

Oblicz $g (f (1))$ ‍.

Aby obliczyć

g (f (1))

, zadziałajmy "od tyłu".

Obliczmy

f (1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (1) & = 3 (1) - 1 Podstaw x = 1. \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Skoro

f (1) = 2

, to

g (f (1)) = g (2)

Obliczmy teraz

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (2) & = (2)^{3} + 2 Podstaw x = 2. \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Wynika stąd, że

g (f (1)) = g (2) = 10

Mogliśmy również znaleźć

g (f (x))

i obliczyć wartość tej funkcja dla

x = 1

Zadanie 2

m (x) = 3 x - 2

n (x) = x + 4

Znajdź $m (n (x))$ ‍.

Funkcje złożone: formalna definicja

W przykładzie powyżej, znaleźliśmy funkcję złożoną i obliczyliśmy jej wartość.

Ogólnie, aby pokazać, że funkcja

f

jest złożona z funkcją

g

, możemy napisać

f \circ g

, które czyta się jako "

f

złożone z

g

". To złożenie jest zdefiniowane za pomocą następującej reguły:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ‍

Diagram poniżej pokazuje związek pomiędzy

(f \circ g) (x)

f (g (x))

Teraz spójrzmy na inny przykład, mając pod uwagą tę nową definicję.

Przykład

g (x) = x + 4

h (x) = x^{2} - 2 x

Znajdź

(h \circ g) (x)

(h \circ g) (- 2)

Rozwiązanie

Możemy znaleźć

(h \circ g) (x)

w następujący sposób:

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = h (g (x)) & Zdefiniuj. \\ = (g (x))^{2} - 2 (g (x)) & Wstaw g (x) za x w funkcji h . \\ = (x + 4)^{2} - 2 (x + 4) & Podstaw x + 4 za g (x) . \\ = x^{2} + 8 x + 16 - 2 x - 8 & Wymnóż. \\ = x^{2} + 6 x + 8 & Uporządkuj wyrazy podobne. \end{aligned}$ ‍

Ponieważ teraz mamy funkcję

h \circ g

, możemy podstawić

- 2

pod

x

aby znaleźć

(h \circ g) (- 2)

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = x^{2} + 6 x + 8 \\ (h \circ g) (- 2) & = (- 2)^{2} + 6 (- 2) + 8 \\ = 4 - 12 + 8 \\ = 0 \end{aligned}$ ‍

Oczywiście, mogliśmy znaleźć

(h \circ g) (- 2)

przez obliczenie wartości

h (g (- 2))

. Pokazano to poniżej:

$\begin{aligned} (h \circ g) (- 2) & = h (g (- 2)) \\ = h (2) Ponieważ g (- 2) = - 2 + 4 = 2 \\ = 0 Ponieważ h (2) = 2^{2} - 2 (2) = 0 \end{aligned}$ ‍

Diagram poniżej pokazuje jak

(h \circ g) (- 2)

jest związane z

h (g (- 2))

Tutaj widzimy, że funkcja

g

przeprowadza

- 2

2

i później funkcja

h

przeprowadza

2

0

, podczas gdy funkcja

h \circ g

przeprowadza

- 2

bezpośrednio w

0

Rozwiążmy kilka zadań treningowych

Zadanie 3

f (x) = 3 x - 5

g (x) = 3 - 2 x

Oblicz $(g \circ f) (3)$ ‍.

Użyjmy wpierw definicji złożenia funkcji, aby zapisać to zadanie jako

g (f (3))

Aby obliczyć

g (f (3))

, zadziałajmy "od tyłu".

Znajdźmy wartość

f (3)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 5 \\ f (3) & = 3 (3) - 5 Podstaw x = 3. \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Ponieważ

f (3) = 4

, to

g (f (3)) = g (4)

Znajdźmy teraz

g (4)

$\begin{aligned} g (x) & = 3 - 2 x \\ g (4) & = 3 - 2 (4) Podstaw x = 4. \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Wynika z tego, że

g (f (3)) = g (4) = - 5

Mogliśmy również znaleźć

g (f (x))

i obliczyć wartość tej funkcja dla

x = 3

W zadaniach 4 i 5, niech

f (t) = t - 2

g (t) = t^{2} + 5

Zadanie 4

Znajdź $(g \circ f) (t)$ ‍.

Używając definicji złożenia funkcji, możemy najpierw zapisać

(g \circ f) (t)

jako

g (f (t))

Jeżeli teraz spojrzymy na wyrażenie

g (f (t))

, zobaczymy, że

f (t)

jest daną wejściową funkcji

g

. Podstawmy więc

f (t)

w miejsce wszystkich

t

w funkcji

g

$\begin{aligned} g (t) & = t^{2} + 5 \\ g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \end{aligned}$ ‍

Skoro

f (t) = t - 2

, możemy podstawić

t - 2

f (t)

$\begin{aligned} g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \\ = (t - 2)^{2} + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 4 + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 9 \end{aligned}$ ‍

Zadanie 5

Znajdź $(f \circ g) (t)$ ‍.

Używając definicji złożenia funkcji, możemy najpierw zapisać

(f \circ g) (t)

jako

f (g (t))

Jeżeli teraz spojrzymy na wyrażenie

f (g (t))

, zobaczymy, że

g (t)

jest daną wejściową funkcji

f

. Podstawmy więc

g (t)

w miejsce wszystkich

t

w funkcji

f

$\begin{aligned} f (t) & = t - 2 \\ f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \end{aligned}$ ‍

Skoro

g (t) = t^{2} + 5

, możemy podstawić

t^{2} + 5

g (t)

$\begin{aligned} f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \\ = (t^{2} + 5) - 2 \\ = t^{2} + 5 - 2 \\ = t^{2} + 3 \end{aligned}$ ‍

Wyzwanie

Wykresy równań

y = f (x)

oraz

y = g (x)

są przedstawione poniżej.

Które z poniższych najlepiej przybliża wartość $(f \circ g) (8)$ ‍?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 7

Obliczenia wartości funkcji dla funkcji złożonych

Przykład

Rozwiązanie

Znalezienie funkcji złożonej.

Przykład

Rozwiązanie

Ćwiczenia

Zadanie 1

Zadanie 2

Funkcje złożone: formalna definicja

Przykład

Rozwiązanie

Rozwiążmy kilka zadań treningowych

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Wyzwanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?