If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 3

Lekcja 6: Z którego wzoru należy skorzystać przy obliczaniu pochodnej danej funkcji?
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Różniczkownie: funkcje złożone, funkcje uwikłane i funkcje odwrotne
Z którego wzoru należy skorzystać przy obliczaniu pochodnej danej funkcji?
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Różne sposoby postępowania przy różniczkowaniu funkcji

Google Classroom
Różniczkowanie rządzi się wieloma prawami, które w dodatku można zastosować na różne sposoby! Spójrzmy na to szerzej i zastanówmy się w jaki sposób dojść do takiej wprawy, by umieć obliczyć pochodną każdej funkcji, sprawnie i bez błędów.
Wiele osób uczących się rachunku różniczkowego dobrze zna reguły różniczkowania, jednak natrafia na trudności w stosowaniu właściwej reguły w odpowiedniej sytuacji. Pomocne może być nauczenie się, jak się szybko przekonać, z jakim rodzajem funkcji mamy do czynienia i którą z reguł należy zastosować, a nawet jak można zapisać funkcję w innej postaci, tak aby liczenie pochodnej było łatwiejsze.
Poniżej przedstawiamy podsumowanie reguł różniczkowania, do którego można będzie się później w razie potrzeby odwołać.
Postać funkcjiReguła
Potęgastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Sumastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Iloczynstart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Ilorazstart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
Złożeniestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Skupimy się na trzech ostatnich regułach, ponieważ w praktyce sprawiają one najwięcej trudności.

Zauważanie iloczynów, ilorazów i złożeń

Większość reguł różniczkowania mówi nam, jak określić pochodną konkretnej funkcji, np. sine, left parenthesis, x, right parenthesis lub potęgi x, start superscript, n, end superscript.
Tym niemniej istnieje wiele ważnych reguł, które mają szersze zastosowanie i opierają się na strukturze funkcji, której pochodną należy wyznaczyć. Są to wzory na pochodną iloczynu, ilorazu i złożenia funkcji, musisz więc umieć je wypatrzyć. Zastanów się za każdym razem, czy możesz dostrzec iloczyn, iloraz lub złożenie funkcji.
Iloczyn: Jeśli widzisz coś w rodzaju start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, musisz zauważyć, że jest to iloczyn dwóch funkcji - wówczas będziesz mógł zastosować wzór na pochodną iloczynu funkcji.
Iloraz: Analogicznie, gdy widzisz coś w rodzaju start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, powinnaś zauważyć, że mamy do czynienia z dzieleniem jednej funkcji przez drugą, w związku z czym można w tym wypadku zastosować wzór na pochodną ilorazu funkcji
Złożenie: Wreszcie, gdy widzisz coś w rodzaju left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, spróbuj pomyśleć o tym jak o złożeniu dwóch funkcji:
start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, start text, i, n, n, e, r, end text, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, o, u, t, e, r, end text, end subscript, end color #11accd
Tego rodzaju funkcje nazywamy funkcjami złożonymi - aby wyznaczyć ich pochodną, stosuje się wzór na pochodną złożenia.
zadanie 1
Kuba chciał obliczyć pochodną funkcji left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis. Oto rachunki, które przeprowadził:
=ddx[(x2+5x)⋅sin⁡(x)]=ddx[x2+5x]⋅ddx[sin⁡(x)]=(2x+5)⋅cos⁡(x)=2x⋅cos⁡(x)+5⋅cos⁡(x)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x^2+5x)\cdot\sin(x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[x^2+5x]\cdot\dfrac{d}{dx}[\sin(x)] \\\\ &=(2x+5)\cdot\cos(x) \\\\ &=2x\cdot\cos(x)+5\cdot\cos(x) \end{aligned}
Czy rozwiązanie Kuby jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: zapominanie o zastosowaniu wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu funkcji

Pamiętaj: Wyznaczanie pochodnej iloczynu funkcji to nie to samo, co liczenie iloczynu pochodnych.
Analogicznie, wyznaczanie pochodnej ilorazu funkcji nie sprowadza się jedynie do wypisania ilorazu pochodnych.
Zadanie 2
Leon chciał wyznaczyć pochodną sine, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis. Oto jego rachunki:
=ddx[sin⁡(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)⋅(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)]⋅(x2+5x)+sin⁡(x)⋅ddx[x2+5x]=cos⁡(x)(x2+5x)+sin⁡(x)(2x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)\cdot(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)]\cdot(x^2+5x)+\sin(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[x^2+5x] \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\sin(x)(2x+5) \end{aligned}
Czy obliczenia Leona są poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: mylenie złożenia funkcji z mnożeniem

Jak widzieliśmy na przykładzie zadania 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd jest złożeniem funkcji start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd oraz start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c. Niektóre osoby jednak zwodzi zapis i uznają one, że mamy do czynienia z iloczynem start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c. Tymczasem jest to zupełnie inna funkcja - policzenie jej pochodnej doprowadzi do błędnego wyniku.

Możemy zapisać funkcję w innej postaci, dzięki czemu wyznaczenie pochodnej będzie prostsze

Nie oszukujmy się: stosowanie reguł różniczkowania iloczynu, ilorazu czy złożenia funkcji może być bardzo pracochłonne. Szczególnie pochłaniające jest wyznaczanie pochodnej ilorazu. Po co więc się tak męczyć, skoro można tego uniknąć? Poniższe trzy przykłady ukazują iloczyny i ilorazy funkcji, które można zapisać w inny sposób, który uczyni liczenie ich pochodnych znacznie łatwiejszym zadaniem.
Zapisywanie funkcji w sposób ułatwiający ich różniczkowanie to nie tylko kwestia wygody - im prostsze i łatwiejsze będą rachunki, tym mniejsza szansa, że w ich trakcie popełnimy jakiś błąd!

Czasem da się zapisać iloczyn funkcji jako wielomian

Można wprawdzie zastosować wzór na pochodną iloczynu funkcji do left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, będzie to jednak wymagało większych nakładów pracy niż jest to konieczne. Zamiast tego możemy po prostu wymnożyć wyrażenia w nawiasach, otrzymując wielomian x, squared, plus, 2, x, minus, 15, a następnie zastosować wzór na pochodną funkcji potęgowych, aby otrzymać w końcu pochodną postaci 2, x, plus, 2.
Aby naprawdę przekonać się, ile zyskujemy, zobacz, o ile więcej rachunków wymagałoby zastosowanie wzoru na pochodną iloczynu:
Pochodna iloczynuPochodna wielomianu
=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x+5]⋅(x−3)+(x+5)⋅ddx[x−3]=(1)(x−3)+(x+5)(1)=x−3+x+5=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x+5]\cdot (x-3)+(x+5)\cdot \dfrac{d}{dx}[x-3]\\\\&=(1)(x-3)+(x+5)(1)\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x2+2x−15]=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x^2+2x-15]\\\\&=2x+2\end{aligned}
Żeby było jasne: oba rozwiązania są poprawne, ale użycie reguły dla funkcji potęgowych zajmie o wiele mniej czasu i daje większe szanse, że nie popełnimy błędów w trakcie obliczeń.
Zadanie 3
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
Jak zapiszemy f, left parenthesis, x, right parenthesis, aby można było następnie skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Analogicznie, niekiedy iloraz można zapisać tak, by dało się skorzystać z reguły dla funkcji potęgowej

Można wprawdzie zastosować do funkcji start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction wzór na pochodną ilorazu funkcji, znacznie łatwiej będzie jednak najpierw wykonać dzielenie, a potem użyć reguły dla funkcji funkcji potęgowej, aby wyznaczyć pochodną uproszczonego wyrażenia 0, comma, 5, x, cubed, minus, 4.
Jeśli wybierzemy wymagającą większej ilości obliczeń regułę liczenia pochodnej ilorazu funkcji, powinniśmy otrzymać ten sam wynik, ale szansa popełnienia po drodze jakiegoś błędu będzie dużo większa.
Nie każdy iloraz funkcji można przedstawić w ten sposób. Na przykład funkcji start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction nie da się uprościć do wielomianu.
Pamiętaj: Zawsze można zastosować tę metodę do ilorazów, które mają w mianowniku jednomian.
Gdy mianownik zawiera wielomian składający się z więcej niż jednego wyrazu, być może da się uprościć zapis dokonując rozkładu na czynniki i skracając odpowiednie wyrażenia.
Zadanie 4
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
Jak zapiszemy f, left parenthesis, x, right parenthesis, aby można było następnie skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej?
Wybierz 1 odpowiedź:

Ostatni przykład: zapisywanie ilorazu jako iloczynu

Wielu osobom łatwiej jest zapamiętać wzór na pochodną iloczynu niż ilorazu. Na szczęście zawsze można zapisać iloraz jako iloczyn.
Przypuśćmy, że chcemy zróżniczkować start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, ale nie pamiętamy kolejności wyrażeń we wzorze na pochodną ilorazu. W takim wypadku możemy wydzielić licznik i mianownik jako osobne czynniki, a następnie zapisać mianownik przy pomocy ujemnej potęgi - w ten sposób pozbywamy się jakiegokolwiek ilorazu.
x+3x4=x+3⋅1x4=x+3⋅x−4\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\cdot \dfrac{1}{x^4} \\\\ &=\sqrt{x+3}\cdot x^{-4} \end{aligned}
Teraz możemy wreszcie użyć wzoru na pochodną iloczynu. (Uwaga: dla pierwiastka musimy dodatkowo użyć wzoru na pochodną złożenia)
Zadanie 5
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction
W jakiej postaci można zapisać h, left parenthesis, x, right parenthesis tak, aby do funkcji tej dało się zastosować wzór na pochodną iloczynu?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Częsty problem: Zapisywanie odwrotności i pierwiastków w postaci potęgowej (np. square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript czy start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript) może sprawiać ci trudności, o ile na razie nie czujesz się z tym dobrze. Jeśli chcesz jeszcze to przećwiczyć, przyjrzyj się następującym zadaniom:

Podsumowanie

Sprawne liczenie pochodnych wymaga rozeznania, jaki wzór należy zastosować w danym wypadku. Trzeba też umieć zauważać, kiedy da się zapisać dane wyrażenie w postaci upraszczajacej różniczkowanie.
A oto schemat blokowy podsumowujący to, co dotąd powiedzieliśmy:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.