Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:5:47

Dlaczego liczba ujemna pomnożona przez inną liczbę ujemną daje liczbę dodatnią

Transkrypcja filmu video

Wyobraźcie sobie, że jesteście starożytnym filozofem który tworzy podstawy matematyki. Wiecie już, co oznacza lub co powinna oznaczać liczba ujemna i umiecie je dodawać i odejmować. Macie jednak pewną zagwozdkę. Jak mnożyć liczby ujemne? Co robić, gdy mnożycie liczbę ujemną przez dodatnią albo mnożycie przez siebie dwie liczby ujemne. Na przykład co zrobić z takim mnożeniem: Wybiorę jedną liczbę dodatnią i jedną ujemną. Co zrobić z mnożeniem 5 × -3? Nie umiecie jeszcze tego robić. Nie wiecie też, jaki wynik daje mnożenie dwu liczb ujemnych. Na przykład -2 × -6. Też tego nie umiecie. Będąc matematykiem wiecie jednak że niezależnie od tego, co z tym zrobicie rozwiązanie musi być spójne z całą dotychczasową wiedzą matematyczną. Zwłaszcza z innymi zasadami mnożenia. Wtedy uwierzycie, że rozwiązanie jest dobre. Postarajmy się zatem dojść do wyniku i udowodnić, że jest prawidłowy. Aby rozwiązanie było spójne z wiedzą matematyczną zrobimy eksperyment myślowy. Jaki wynik dałoby 5 razy… 3 dodać -3? Wymyśliliśmy już, jak należy dodawać liczby ujemne i dodatnie i wiemy, że -3 jest przeciwieństwem 3. Wiemy, że -3 + 3 = 0. To będzie więc równe… 5 razy 0. Wywnioskowaliśmy to z tego, co już wiemy o dodawaniu liczb ujemnych. Każda liczba pomnożona przez 0 daje wynik 0 dlatego to wyrażenie jest równe 0. Teraz myślimy sobie: mnożenie liczb ujemnych musi być przecież zgodne z zasadą rozdzielności. Rozdzielmy tę piątkę. Rozdzielmy ją. Jeśli matematyka jest spójna, a musi taka być to nie powinno to wpłynąć na wynik. Rozdzielmy tę piątkę. Otrzymamy 5 × 3… 5 × 3… Napiszmy to. 5 × 3… Użyję krzyżyka jako znaku mnożenia, zamiast kropki. 5 × 3… To pierwszy element… plus… plus 5 × -3. Kolorem żółtym. 5 × -3 Całe to wyrażenie musi być równe 0. Musi być równe 0. 5 × 3 to dwie liczby dodatnie, umiemy je mnożyć. To się równa 15. Teraz mamy więc 15… plus… nieznany wynik działania 5 × -3… i to się musi równać 0, aby nie naruszało zasad matematyki. Ile trzeba dodać do 15, aby otrzymać 0? Przeciwieństwo 15. Aby to wszystko było spójne z całą naszą wiedzą matematyczną to wyrażenie musi być równe -15. Doszliśmy do wniosku, że jeśli ściśle trzymamy się wiedzy matematycznej to 5 × -3 musi być równe -15. To samo podpowiada nam intuicja bo 5 × -3 to odejmowanie liczby 3 pięć razy. Nieco trudniejszym zagadnieniem jest mnożenie dwu liczb ujemnych. Przeprowadźmy ten sam eksperyment. Wynik tego działania musi być spójny z całą wiedzą matematyczną. Przeprowadźmy ten sam eksperyment myślowy. Ile będzie równe -2 razy… 6 dodać -6? 6 + -6 równa się 0 a -2 × 0, jak wszystko razy 0, musi być równe 0. Rozdzielmy to, jak poprzednio. Mamy więc -2 razy 6… plus… -2 razy -6. I to wszystko musi być równe 0. Tak jak w poprzednim eksperymencie mówimy: to musi być równe -12. Można to rozumieć jako dwukrotne przesunięcie się na osi liczbowej o 6 w lewo albo jako sześciokrotne odjęcie liczby 2, co łącznie daje wynik -12. Tutaj, gdy mnożyliśmy liczbę dodatnią przez ujemną też otrzymaliśmy liczbę ujemną. Wiemy już, że to wyrażenie jest równe -12 zatem -12 dodać… nieznana wartość tego mnożenia… musi równać się 0. Musi się równać 0, aby pozostać w zgodzie z wiedzą matematyczną. Co zatem trzeba dodać do -12, aby otrzymać 0? Oczywiście trzeba dodać plus 12, aby wyszło 0. To wyrażenie musi być równe 12 aby pozostać w zgodzie z wiedzą matematyczną. Stąd wiemy, że -2 razy -6 musi się równać plus 12. Na tym skończymy, ale postaram się zrobić kolejne prezentacje aby przekonać was, że tak musi być.