Porównywanie i porządkowanie ułamków

Pokażę, jak uporządkować te ułamki od najmniejszego do największego. Najprostszy sposób, który gwarantuje dobry wynik to znaleźć wspólny mianownik, bo w innym razie byłoby bardzo trudno je porównać: 4/9 3/4 4/5 11/12 13/15 Można próbować na oko ale jeśli sprowadzimy je do wspólnego mianownika różnice staną się oczywiste. To nasze pierwsze zadanie. Znajdźmy ten wspólny mianownik. Jest na to wiele sposobów. Można wybrać jedną z tych liczb i mnożyć ją aż znajdzie się wielokrotność podzielną przez wszystkie mianowniki. Inny sposób to rozłożyć na czynniki pierwsze każdą z liczb. Wtedy najmniejszy wspólny mianownik będzie iloczynem tych liczb pierwszych. Musi zawierać je wszystkie. Zróbmy to tym drugim sposobem i potem zweryfikujemy wynik. 9 = 3 * 3 więc najmniejszy wspólny mianownik musi zawierać przynajmniej 3 * 3. 4 = 2 * 2 Dopisujemy więc 2 * 2 do czynników wspólnego mianownika. 5 jest liczbą pierwszą, więc dopisujemy po prostu 5. Natomiast 12… zmienię kolor na żółty… 12 = 2 * 6, zaś 6 = 2 * 3. W najmniejszym wspólnym mianowniku musimy więc mieć 2 * 2 ale już mamy to tutaj, z rozkładu 4 i mamy już także jedno 3. Wynika z tego, że jeśli coś jest podzielne przez 9 i 4 to jest podzielne również przez 12 bo w rozkładzie jest 2 * 2, a także 3. I na koniec musimy sprawić aby nowy mianownik był podzielny przez czynniki pierwsze 15. 15 = 3 * 5 I znów, nasz rozkład zawiera już 3… oraz 5… więc mamy zapewnioną podzielność przez wszystkie mianowniki. To jest nasz wspólny mianownik, wystarczy przemnożyć. Nowy mianownik jest równy… 3 * 3 = 9 9 * 2 = 18 18 * 2 = 36 36 * 5… Można to obliczyć w pamięci, ale bezpieczniej zrobić to pisemnie. 6 * 5 = 30 3 * 5 = 15… Wyszło 180. Nasz wspólny mianownik to 180. Musimy teraz przekształcić ułamki, aby miały w mianownikach 180. Pierwszy ułamek, 4/9, to ile 180-tych? Aby uzyskać 180 z 9, musimy pomnożyć 9 przez 20. Napiszmy inaczej. 4/9 Aby mianownik był równy 180, mnożymy go przez 20. Nie chcemy zmieniać wartości ułamka, musimy więc pomnożyć również licznik. Mnożymy ułamek przez 20/20. 4 * 20 = 80 więc otrzymujemy 80/180. Zróbmy to samo z 3/4. Przez ile musimy pomnożyć mianownik, aby równał się 180? Przez 45. Można to obliczyć dzieląc 180 na 4. 4 * 45… 4 * 40 = 160 4 * 5 = 20 w sumie 180. Skoro pomnożyliśmy mianownik przez 45, trzeba pomnożyć licznik przez 45. 3 * 40 = 120 120 + 15 = 135 W liczniku 135 a w mianowniku 180. Teraz przekształćmy 4/5. Aby z 5 otrzymać 180, musimy pomnożyć 5 przez… Jeśli pomnożę 5 * 30, otrzymam 150. Brakuje jeszcze 30. Chwila, przecież mamy to tutaj. Mnożymy przez 36. Musimy pomnożyć licznik przez tę samą liczbę. W mianowniku mamy 180, a w liczniku? 4 * 30 = 120 4 * 6 = 24 więc mamy tu 144. 144/180 Zostały już tylko dwa ułamki. 11/12 Aby w mianowniku było 180, musimy pomnożyć 12 przez… 12 * 10 = 120 brakuje 60, więc mnożymy przez 15. Taki sam mnożnik dla licznika. W mianowniku mamy więc 180. A tu 11 * 15… 10 * 15 = 150 i trzeba dodać 15, czyli otrzymujemy 165. W liczniku 165. Na koniec mamy 13/15. 13/15 Aby z 15 uzyskać 180, trzeba pomnożyć 15 * 12. Już to obliczyliśmy. Mnożymy więc, i w mianowniku mamy 180. To samo robimy z licznikiem, aby wartość ułamka nie zmieniła się. 12 * 12 = 144 dodajemy jeszcze 12 i otrzymujemy 156. Jest dobrze? 12 + 144 = 156 W ten sposób sprowadziliśmy wszystkie te ułamki do wspólnego mianownika 180. Teraz bardzo łatwo je porównać. Wystarczy popatrzeć na liczniki. Najmniejszy z liczników to 80. Zatem 4/9 jest najmniejsze. Przepiszę je wszystkie tutaj w kolejności rosnącej. Najpierw 4/9… czyli 80/180, napiszę obie wersje. 80/180 Następny licznik w kolejności to 135 więc kolejny ułamek to 135… Wybiorę ten sam kolor… Następny ułamek to 135/180 czyli pierwotne 3/4. Kolejny licznik… Spójrzmy, mamy 144/180. Piszę więc: 144/180 czyli pierwotne 4/5. I wreszcie… O przepraszam, zostały dwa. Teraz 156/180. 156/180 czyli pierwotne 13/15. 13/15 Został ostatni: 165/180 czyli pierwotne… Napiszę go na żółto. 165/180 czyli pierwotne 11/12. I gotowe! Zakończyliśmy porządkowanie ułamków. Oto rozwiązanie. Na egzaminie należałoby wyróżnić je prostokątem.