Główna zawartość

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 1

Lekcja 5: Definiowanie całek za pomocą Sum Riemanna

Całka oznaczona jako granica sum Riemanna

Sumy Riemanna nie tylko pomagają nam aproksymować całki oznaczone, ale również formalnie definiować całki oznaczone. Naucz się jak to działa i jak możemy poruszać się pomiędzy reprezentacją pola powierzchnii jako całki oznaczonej i sum Riemanna.

Całka oznaczona reprezentuje pole pod krzywą będącą wykresem funkcji, a sumy Riemanna pozwalają nam przybliżać to pole. Pozostaje pytanie: czy istnieje sposób na znalezienie dokładnej wartości całki oznaczonej?

Sumy Riemanna z "nieskończoną" liczbą prostokątów

Wyobraźmy sobie, że chcemy znaleźć pole pod wykresem funkcji

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

pomiędzy

x = 2

x = 6

Używając notacji całki oznaczonej, możemy wyrazić dokładne pole:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Możemy przybliżyć to pole używając sum Riemanna. Niech

R (n)

będzie prawostronną sumą Riemanna przybliżającą nasz obszar za pomocą

n

prostokątów o równych szerokościach.

Na przykład, na rysunku przedstawiono

R (4)

. Można zauważyć, że jest to przeszacowanie rzeczywistej powierzchni.

Możemy poprawić nasze przybliżenie dzieląc obszar na większą liczbę prostokątów o mniejszej szerokości, to znaczy używając

R (n)

dla większych wartości

n

Można zauważyć, jak niedokładność przybliżenia zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby prostokątów od

1

100

Oczywiście wraz z dalszym wzrostem liczby prostokątów jeszcze bardziej zbliżymy się do rzeczywistej powierzchni, ale przybliżenie zawsze pozostanie tylko przybliżeniem.

A gdybyśmy mogli użyć sumy Riemanna z nieskończonym podziałem odcinka na równe przedziały? Czy byłoby to możliwe? Cóż, nie możemy przyjąć wartości

n = \infty

, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą, ale moglibyśmy przypomnieć sobie sposób na przeniesienie czegoś do nieskończoności...

Granice!

A dokładnie, poniższa granica:

lim_{n \to \infty} R (n)

Niesamowity fakt #1: Ta granica naprawdę daje nam dokładną wartość

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Niesamowity fakt #2: Nie ma znaczenia, czy użyjemy prawostronnej sumy Riemanna, lewostronnej sumy Riemanna czy jakiegokowiek innego prostego przybliżenia. W nieskończoności zawsze otrzymamy dokładną wartość całki oznaczonej.

(Ścisły dowód tych faktów jest zbyt skomplikowany, żeby przedstawić go w tym artykule, ale nie stanowi to problemu - interesuje nas jedynie intuicja dotycząca związku pomiędzy sumami Riemanna a całkami oznaczonymi.)

Do tej pory używaliśmy

R (n)

jako symbolu zastępczego dla prawostronnej sumy Riemanna z

n

przedziałami. Teraz zajmijmy się znalezieniem odpowiedniego wyrażenia.

Szybkie przypomnienie: Szukamy

Δ x

, stałej

szerokości

każdego prostokąta i

x_{i}

, wartości

x

w prawym rogu

i -tego

prostokąta. Wówczas

f (x_{i})

da nam

wysokość

każdego prostokąta.

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

Zatem pole

i -tego

prostokąta to

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

, i sumujemy to dla wartości

i

1

n

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

Teraz możemy przedstawić rzeczywiste pole jako granicę:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

Z definicji, całka oznaczona to granica sumy Riemanna

Powyższy przykład to szczególny przypadek ogólnej definicji całki oznaczonej:

Całka oznaczona funkcji ciągłej

f

na przedziale

[a, b]

, oznaczana jako

\int_{a}^{b} f (x) d x

, to granica sumy Riemanna przy liczbie przedziałów dążącej do nieskończoności. To jest,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

gdzie

Δ x = \frac{b - a}{n}

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie sumy Riemanna z całki oznaczonej...

Wyobraźmy sobie, że zostaliśmy poproszeni o zapisanie poniższej całki oznaczonej jako granicy sumy Riemanna.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

Najpierw znajdź

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

Teraz, kiedy znamy już

Δ x

, możemy znaleźć

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

Zatem,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

Poćwicz zapisywanie sum Riemanna z całek oznaczonych

zadanie 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

Zadanie 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $Δ x$ ‍

Na przykład, w Zadaniu 2 student mógłby zdefiniować

Δ x

jako

\frac{e}{n}

albo

\frac{1}{n}

zamiast

\frac{e - 1}{n}

. Innym przykładem typowego błędu może być użycie

d x

jako

Δ x

. Pamiętaj, że

d x

jest używane tylko w notacji całkowej, nie przy sumowaniu. Informuje nas, że całkowanie odbywa się względem

x

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $x_{i}$ ‍

Student mógłby zapomnieć o dodaniu

a

Δ x \cdot i

, czego rezultatem byłoby błędne wyrażenie. Na przykład, w Zadaniu 2 student mógłby zdefiniować

x_{i}

jako

\frac{e - 1}{n} \cdot i

zamiast

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie całki oznaczonej na podstawie granicy sumy Riemanna...

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o znalezienie całki oznaczonej, która jest równoważna poniższej granicy:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

To znaczy, że musimy znaleźć przedział całkowania

[a, b]

oraz funkcję podcałkową

f (x)

. Wówczas odpowiednia całka to

\int_{a}^{b} f (x) d x

Wiemy, że każda suma Riemanna składa się z dwóch części: szerokości

Δ x

i wysokości

f (x_{i})

każdego prostokąta sumy. Patrząc na konkretną granicę, możemy dokonać rozsądnych wyborów dla obu części.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Prostokąty o jednakowej szerokości: Wyrażenie

\frac{5}{n}

dobrze reprezentuje szerokość naszych prostokątów,

Δ x

, ponieważ nie zależy od indeksu

i

. Oznacza to, że

Δ x

będzie takie samo dla każdego składnika sumy, a właśnie tego oczekujemy od sumy Riemanna, w której każdy prostokąt na mieć taką samą szerokość.

Prostokąty o różnych wysokościach: Wyrażenie

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

zależy od

i

, co sprawia, że dobrze reprezentuje wysokość,

f (x_{i})

. Najbardziej naturalnym wyborem

x_{i}

jest

2 + \frac{5 i}{n}

, więc zostaniemy przy nim, co oznacza że całkowana przez nas funkcja to

f (x) = \ln (x)

Aby znaleźć krańce przedziału całkowania,

a

b

, pomyślmy o ogólnych definicjach

Δ x

x_{i}

w odniesieniu do całek oznaczonych.

Jak zdefiniowano powyżej,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. W tym szczególnym przypadku,

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

, co można zapisać jako

2 + \frac{5}{n} i

, więc

a

musi być równe

2

Zgodnie z powyższą definicją,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. W tym szczególnym przypadku,

Δ x = \frac{5}{n}

. Oba mianowniki są równe

n

, więc liczniki też muszą być sobie równe:

b - a = 5

. Wiemy już, że

a = 2

, więc możemy wywnioskować, że

b = 7

Po połączeniu wszystkich informacji, całka oznaczona która jest równa granicy tej sumy Riemanna ma postać:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

Poćwicz zapisywanie całek oznaczonych na podstawie sum Riemanna

Zadanie 3.A

Zadanie 3 przeprowadzi Cię przez poszczególne etapy znalezienia całki oznaczonej reprezentowanej przez wyrażenie:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

Czym jest $Δ x$ ‍ w tym wyrażeniu?

Typowy problem: trudności w znalezieniu $Δ x$ ‍ w wyrażeniu na sumę Riemanna

Kiedy sumowane wyrażenie jest rozbudowane i zawiera wiele ułamków, znalezienie w nim

Δ x

może być trudne.

Pamiętaj, że $Δ x$ ‍ musi być czynnikiem sumowanego wyrażenia w postaci $\frac{k}{n}$ ‍, gdzie $k$ ‍ nie zawiera indeksu sumowania $i$ ‍

Inny typowy problem: trudności w znalezieniu granic sumowania

Zwróć uwagę, że w Zadaniu 3 fakt, że

Δ x = \frac{4}{n}

powiedział nam, że

b - a = 4

. To przydatna informacja, ale bez wyznaczenia

a

nie dowiemy się, jakie są

a

b

. Byliśmy w stanie znaleźć

a

korzystając z faktu, że

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

Częto popełnianym błędem jest natychmiastowe założenie, że jeśli np. $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, to przedziałem całkowania jest $[0, 4]$ ‍.

Ostatni typowy problem: Ogólne trudności w analizie wyrażenia

Niektórzy studenci po prostu nie wiedzą, gdzie zacząć.

Zacznijmy od sumowanego wyrażenia. Powinieneś być w stanie zidentyfikować dwa czynniki: jeden w postaci $\frac{k}{n}$ ‍ (gdzie $k$ ‍ nie zawiera indeksu sumowania $i$ ‍) i drugi, który jest funkcją $i$ ‍. Pierwszy czynnik daje Ci $Δ x$ ‍, a drugi $f (x_{i})$ ‍.

Zadanie 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

Potrzebujesz więcej praktyki? Wypróbuj to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Rachunek całkowy

Kurs: Rachunek całkowy > Rozdział 1

Sumy Riemanna z "nieskończoną" liczbą prostokątów

Z definicji, całka oznaczona to granica sumy Riemanna

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie sumy Riemanna z całki oznaczonej...

Poćwicz zapisywanie sum Riemanna z całek oznaczonych

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie Δx‍

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie xi‍

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie całki oznaczonej na podstawie granicy sumy Riemanna...

Poćwicz zapisywanie całek oznaczonych na podstawie sum Riemanna

Typowy problem: trudności w znalezieniu Δx‍ w wyrażeniu na sumę Riemanna

Inny typowy problem: trudności w znalezieniu granic sumowania

Ostatni typowy problem: Ogólne trudności w analizie wyrażenia

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $Δ x$ ‍

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $x_{i}$ ‍

Typowy problem: trudności w znalezieniu $Δ x$ ‍ w wyrażeniu na sumę Riemanna