Główna zawartość

Własności mnożenia macierzy

Przedstawiamy własności mnożenia macierzy (na przykład rozdzielność względem dodawania) i dyskutujemy ich związki z dobrze Ci znanymi własnościami mnożenia liczb rzeczywistych.

Własności mnożenia macierzy

W tej tabeli,

A

B

C

to macierze

n \times n

I

to macierz jednostkowa

n \times n

, a

O

to macierz zerowa

n \times n

Własność	Przykład
Przemienność mnożenia $nie działa!$ ‍	$A B \neq B A$ ‍
Łączność mnożenia	$(A B) C = A (B C)$ ‍
Rozdzielność	$A (B + C) = A B + A C$ ‍
	$(B + C) A = B A + C A$ ‍
Element neutralny	$I A = A$ ‍ i $A I = A$ ‍
Własność mnożenia przez zero	$O A = O$ ‍ i $A O = O$ ‍
Dopasowanie wymiarów	Iloczyn macierzy $m \times n$ ‍ i macierzy $n \times k$ ‍ to macierz $m \times k$ ‍ . $\neq$ ‍

Spójrzmy na mnożenie macierzy i przyjrzyjmy się tym własnościom.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

W mnożeniu macierzy każda wartość w macierzy wynikowej jest iloczynem skalarnym wiersza w pierwszej macierzy i kolumny w drugiej macierzy.

Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zajrzyj do naszego artykułu o mnożeniu macierzy.

Tutaj są inne ważne artykuły:

Mnożenie macierzy nie jest przemienne

Jedną z największych różnic pomiędzy mnożeniem liczb rzeczywistych a mnożeniem macierzy jest to, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Innymi słowy, w mnożeniu macierzy kolejność ich mnożenia ma znaczenie!

Przekonaj się!

Zobaczmy konkretny przykład z następującymi macierzami.

A = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

1) Oblicz $A B$ ‍ i $B A$ ‍.

$A B =$ ‍	$B A =$ ‍

Obliczanie $A B$ ‍	Obliczanie $B A$ ‍
Opiszmy wiersze macierzy $A$ ‍ i kolumny macierzy $B$ ‍, żeby łatwiej było przedstawić iloczyn $A B$ ‍.	Opiszmy wiersze macierzy $B$ ‍ i kolumny macierzy $A$ ‍, żeby łatwiej było przedstawić iloczyn $B A$ ‍.

Możemy obliczyć $A B$ ‍ w następujący sposób:	Możemy obliczyć $B A$ ‍ w następujący sposób:
$\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 \\ 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 30 & 14 \\ 12 & 6 \end{array}] \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} B A & = [\begin{array}{rr} \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{2}} \\ \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 6 \cdot 3 + 2 \cdot 1 & 6 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 20 & 28 \\ 11 & 16 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że wyniki nie są takie same! Ponieważ

A B

nie jest równe

B A

, mnożenie macierzy nie jest przemienne!

\neq

Poza tą dużą różnicą własności mnożenia macierzy są jednak w większości podobne do własności mnożenia liczb rzeczywistych.

Łączność mnożenia: $(A B) C = A (B C)$ ‍

Z tej własności wynika, że możesz zmienić pogrupowanie w mnożeniu macierzy.

Możesz na przykład pomnożyć macierz

A

przez macierz

B

, a następnie pomnożyć wynik przez macierz

C

, albo możesz pomnożyć macierz

B

przez macierz

C

, a potem pomnożyć wynik przez macierz

A

Kiedy używamy tej własności, musimy zwrócić uwagę w jakiej kolejności macierze są mnożone, ponieważ wiemy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne!

Rozdzielność

Rozdzielność w macierzach działa tak samo jak w liczbach rzeczywistych.

$A (B + C) = A B + A C$ ‍
$(B + C) A = B A + C A$ ‍

Jeśli macierz

A

została wymnożona z lewej strony, musimy upewnić się, że każdy iloczyn w sumie będzie miał

A

po lewej stronie! Podobnie, jeśli macierz

A

jest wymnożona z prawej strony, upewnij się, że każdy iloczyn w sumie ma

A

po prawej stronie!

Przedstawmy te własności, korzystając z macierzy

A = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]

oraz

C = [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]

$\begin{aligned} A (B + C) & = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] ([\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]) \\ = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 3 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 11 & 13 \\ 18 & 21 \end{array}] \\ A B + A C & = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 6 & 3 \\ 9 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 10 \\ 9 & 16 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 11 & 13 \\ 18 & 21 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że te dwie macierze są takie same.

Wyznaczmy też

(B + C) A

oraz

B A + C A

$\begin{aligned} (B + C) A & = ([\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]) [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 3 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 23 & 14 \\ 15 & 9 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} B A + C A & = [\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 9 & 5 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 14 & 9 \\ 12 & 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 23 & 14 \\ 15 & 9 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

I ponownie, zauważ, że dwie macierze są równoważne.

Te przykłady pokazują nam też, że

A (B + C) \neq (B + C) A

oraz że

A B + A C \neq B A + C A

. To przypomina nam, że przemienność nie działa w mnożeniu macierzy. Musimy dodatkowo pamiętać o tym przy kolejności w wyrażeniach będących macierzami!

Element neutralny mnożenia

Macierz jednostkowa

n \times n

, oznaczona jako

I_{n}

, ma

n

rzędów i

n

kolumn. Elementy po przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu to same

1

, a pozostałe elementy są równe

0

Na przykład:

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

Z własności elementu neutralnego mnożenia wynika, że iloczyn dowolnej macierzy

n \times n

A

I_{n}

to zawsze

A

, niezależnie od kolejności, w której wykonujemy mnożenie. Innymi słowy

A \cdot I = I \cdot A = A

Rola, jaką odgrywa macierz jednostkowa

n \times n

w mnożeniu macierzy jest podobna do tej, jaką odgrywa liczba

1

w mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli

a

jest liczbą rzeczywistą, to wiemy, że

a \cdot 1 = a

1 \cdot a = a

Własność mnożenia przez zero

Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe

0

. Na przykład macierz zerowa

3 \times 3

wygląda następująco

O_{3 \times 3} = [\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

Macierz zerową oznaczamy zazwyczaj przez

O

, w razie potrzeby możemy też dodać indeks dolny, wskazujący na wymiary macierzy.

Z własności mnożenia przez zero wynika, że iloczyn dowolnej macierzy

n \times n

i macierzy zerowej

n \times n

to macierz zerowa

n \times n

. Innymi słowy

A \cdot O = O \cdot A = O

Rola, jaką odgrywa macierz zerowa

n \times n

w mnożeniu macierzy jest podobna do tej, jaką odgrywa liczba

0

w mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli

a

jest liczbą rzeczywistą, to wiemy, że

a \cdot 0 = 0

0 \cdot a = 0

Własności wymiarów macierzy

Jedyna własność, która jest własnością wyłącznie macierzy, to jej wymiary. Ta własność ma dwie części:

Iloczyn dwóch macierzy będzie określony, jeśli liczba kolumn w pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
Jeśli iloczyn jest określony, wynikowa macierz będzie miała taką samą liczbę wierszy jak pierwsza macierz i taką samą liczbę kolumn jak druga macierz.

Na przykład jeśli

A

to macierz

3 \times 2

B

to macierz

2 \times 4

, to własność wymiarów mówi nam, że:

Iloczyn $A B$ ‍ jest określony.
$A B$ ‍ będzie macierzą $3 \times 4$ ‍.

Sprawdź, czy rozumiesz

Kiedy już znasz wszystkie własności mnożenia macierzy przez macierz, sprawdźmy, czy możesz użyć ich do określenia równoważnych macierzy.

W poniższych zadaniach

A

B

C

to macierze

2 \times 2

, a

O

to macierz zerowa

2 \times 2

2) Które z poniższych wyrażeń są równe $A (B + C)$ ‍?

3) Które z poniższych wyrażeń są równe $I_{2} (A B)$ ‍?

4) Które z poniższych wyrażeń są równe $O (A + B)$ ‍?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Wstęp do analizy matematycznej (wersja z roku 2018)

Kurs: Wstęp do analizy matematycznej (wersja z roku 2018) > Rozdział 4