Wzory na średnią i wariancję rozkładu Bernoulliego

... W ostatnim filmiku wyznaczyliśmy średnią, wariancję i odchylenie standardowe rozkładu Bernoullego dla podanych liczb. W tym filmiku chcę to uogólnić. I wyznaczyć formuły na średnią i wariancję rozkładu Bernoullego, kiedy nie mamy podanych konkretnych liczb. Kiedy wiemy tylko, że prawdopodobieństwo sukcesu to p, a prawdopodobieństwo porażki to 1-p. Przyjrzyjmy się temu, weźmy populację, w której prawdopodobieństwo sukcesu... przyjmijmy, że sukces oznacza 1... wynosi p, a prawdopodobieństwo porażki... prawdopodobieństwo porażki to 1-p. Cokolwiek by to było. I oczywiście, jeśli dodasz te dwie wartości, jeśli spojrzysz na nie jako procenty, zsumują się do 100%. A jeśli dodasz te dwie wartości, zsumują się do 1. I musi tak być, ponieważ to są jedyne dwie możliwości, które mogą zajść. Jeśli szansa sukcesu to 60%, to szansa porażki musi wynieść 40%. Szansa sukcesu 70%, szansa porażki 30%. Z taką definicją... a to jest najbardziej ogólna definicja rozkładu Bernoullego. ...rozkładu Bernoullego... To jest dokładnie to, co robiliśmy w ostatnim filmiku, teraz chcę obliczyć wartość oczekiwaną, która jest tym samym co średnia tego rozkładu, a do tego chcę obliczyć wariancję, która jest tym samym, co oczekiwany kwadrat odległości wartości od średniej. Więc zróbmy to. Ile tutaj wynosi średnia? Czym będzie średnia? To po prostu ważona prawdopodobieństwami suma wartości, które mogą się pojawić. Czyli mamy prawdopodobieństwo 1-p, że dostaniemy porażkę, czyli 0. Czyli mamy prawdopodobieństwo 1-p, że dostaniemy 0, razy 0. A do tego dostaniemy 1 z prawdopodobieństwem p, plus p razy 1. To jest dość proste do policzenia. 0 razy cokolwiek to 0. Czyli to się kasuje. A p razy 1 to po prostu p. ... to po prostu p... To całkiem oczywiste. Średnia, czyli wartość oczekiwana tego rozkładu, to p. A p może być tutaj lub gdzie indziej. Czyli jeszcze raz wychodzi wartość, której właściwie nie możemy otrzymać w tym rozkładzie, co jest interesujące. Ale to jest wartość oczekiwana. A czym będzie wariancja? Czym jest wariancja tego rozkładu? Pamiętaj, to jest ważona suma odległości od średniej podniesionych do kwadratu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy 0? Już to wyznaczyliśmy. Dostaniemy 0 z prawdopodobieństwem 1-p. Czyli to jest część od prawdopodobieństwa. A czym jest podniesiona do kwadratu odległość od 0 do naszej średniej? Cóż, podniesiona do kwadratu odległość od 0 do naszej średniej... zapiszę to tutaj... to będzie 0, to jest wartość, którą się zajmujemy... zapiszę to na niebiesko, bo już napisałem 0... 0 minus nasza średnia... zapiszę to innym kolorem... minus nasza średnia. To jest zbyt podobne do tego pomarańczowego. Zapiszę to na biało. 0 minus nasza średnia, która wynosi p, plus prawdopodobieństwo, że dostaniemy 1, które wynosi p... to jest odległość podniesiona do kwadratu, muszę być bardzo ostrożny. To jest ważona prawdopodobieństwami suma podniesionych do kwadratu odległości od średniej. A teraz czym jest odległość... teraz mamy 1... i czym jest różnica między 1 a średnią? To 1 minus nasza średnia, która wynosi p. I tutaj też będziemy chcieli kwadrat. To wyrażenie tutaj to będzie wariancja. A teraz to obliczmy. Tak więc to będzie 1 minus p. Teraz 0 minus p to będzie minus p. Jeśli podniesiesz to do kwadratu, dostaniesz p kwadrat. Czyli to będzie p kwadrat. Teraz plus p razy... czym jest 1 minus p do kwadratu? 1 minus p do kwadratu to będzie 1 kwadrat, czyli po prostu 1, minus 2 razy iloczyn tych dwóch, czyli tutaj będzie minus 2p i jeszcze dodać minus p do kwadratu, czyli plus p kwadrat, właśnie tak. A teraz wszystko wymnóżmy. To będzie, to wyrażenie wyniesie p kwadrat minus p do trzeciej. A to tutaj, to całe wyrażenie wyniesie plus... p razy 1 to p, p razy minus 2p to minus 2 razy p kwadrat, a p razy p kwadrat to p do trzeciej. Teraz możemy to uprościć. p do trzeciej się skraca z p do trzeciej. I teraz mamy p kwadrat minu 2 razy p kwadrat. Czyli to wyniesie... mamy tutaj to p, więc to będzie równe p... I teraz trzeba dodać p kwadrat do minus 2 razy p kwadrat, zostanie minus p kwadrat, więc... minus p kwadrat... A jeśli chcesz wyłączyć czynnik p przed nawias, to będzie równe p razy... jeśli podzielisz p przez p, otrzymasz 1, p kwadrat przez p to p... Więc wychodzi p razy 1 minus p, całkiem ładna, przejrzysta formuła. Tak więc nasza wariancja wynosi p razy 1 minus p. A jeśli chcemy zrobić krok dalej i obliczyć odchylenie standardowe, to będzie po prostu pierwiastek kwadratowy z wariancji, który wynosi pierwiastek kwadratowy z p razy 1 minus p. I możemy nawet sprawdzić, że to naprawdę działa dla przykładu, który zrobiliśmy wcześniej. Nasza średnia to p, czyli szansa sukcesu. Widzimy, że rzeczywiście tak wyszło, to było 0.6. I wiemy, że nasza wariancja to zasadniczo prawdopodobieństwo sukcesu razy prawdopodobieństwo porażki. To jest nasza wariancja, tutaj. Prawdopodobieństwo sukcesu w tym przykładzie wynosiło 0.6, prawdopodobieństwo porażki 0.4. Jak wymnożysz te dwie liczby, dostaniesz 0.24, czyli dokładnie to, co otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie. A jeśli obliczysz pierwiastek kwadratowy z tego, żeby wyznaczyć odchylenie standardowe, czyli to co robimy tutaj, to będzie 0.49. Mam nadzieję, że okazało się to pomocne, będziemy korzystać z tego później, we wnioskowaniu statystycznym. ...