Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5
Lekcja 1: Praktyczne zastosowania twierdzenia o wartości średniej- Twierdzenie o wartości średniej
- Znajdowanie argumentu dla którego pochodna jest równa średniej zmianie
- Przykład zastosowania twierdzenia o wartości średniej
- Praktyczne zastosowania twierdzenia o wartości średniej
- Uzasadnienie stosowalności twierdzenia o wartości średniej w przypadku, gdy funkcja zadana jest w postaci tabeli wartości
- Uzasadnienie stosowalności twierdzenia o wartości średniej w przypadku, gdy funkcja zadana jest w postaci równania
- Sprawdzanie założeń twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej
- Uzasadnienia oparte o twierdzenie o wartości średniej
- Twierdzenie o wartości średniej - zastosowanie
- Przegląd wiadomości o twierdzeniu Lagrange'a
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Sprawdzanie założeń twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej
Twierdzenie Lagrange'a (twierdzenie o wartości średniej) wymaga, aby funkcja była różniczkowalna. Zobaczmy, dlaczego tak jest i nauczmy się stosować to twierdzenie w konkretnych przypadkach. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej to - podobnie jak twierdzenia Darboux i Weierstrassa - twierdzenie o istnieniu. Spróbujemy teraz zrozumieć, na czym polega to twierdzenia i jak je umiejętnie stosować.
Twierdzenie Lagrange'a i jego założenia
Dla funkcji różniczkowalnej na przedziale między a twierdzenie Lagrange'a gwarantuje istnienie takiego argumentu leżącego w tym przedziale, dla którego jest równe średniemu tempu wzrostu funkcji na tym przedziale.
Oznacza to, że na łuku będącym wykresem funkcji na tym przedziale istnieje taki punkt, że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do siecznej poprowadzonej przez przez końce łuku.
Dokładne warunki, przy których zachodzi twierdzenia Lagrange'a, to różniczkowalność na przedziale otwartym i jej ciągłość na przedziale domkniętym . Ponieważ różniczkowalność zapewnia ciągłość, założenie to jest równoważne różniczkowalności na oraz ciągłości tej funkcji w punktach i .
Odwoływanie się do parametrów takich jak i oraz przedziałów otwartych i domkniętych jest ważne, jeśli chcemy zachować ścisłość matematyczną, w zasadzie jednak warunki te oznaczają tyle, że:
Aby zachodziło twierdzenie Lagrange'a funkcja musi być różniczkowalna na odpowiednim przedziale i ciągła na jego końcach.
Dlaczego ważna jest różniczkowalność na przedziale
Aby lepiej pojąć, dlaczego to założenie jest potrzebne, rozpatrzmy funkcję . Ma ona ostry "dzióbek" pomiędzy i , zatem nie jest różniczkowalna na całym przedziale .
Istotnie, funkcja ta ma tylko dwie możliwe styczne, ale żadna z nich nie jest równoległa do siecznej między i .
Dlaczego istotna jest ciągłość na końcach
Aby to lepiej zrozumieć, rozważmy funkcję .
Dopóki jest różniczkowalna na przedziale i ciągła w punktach oraz , teza twierdzenia Lagrange'a jest spełniona.
Zmieńmy jednak do funkcję tak, aby nie była ciągła w punkcie . Innymi słowy, granica prawostronna pozostaje niezmieniona, ale wartość funkcji w tym punkcie jest teraz inna.
Zauważ, że wszystkie możliwe do określenia styczne są z konieczności rosnące, podczas gdy sieczna jest funkcją malejącą. Nie istnieje zatem żadna styczna równoległa do siecznej.
W ogólnym przypadku, jeśli funkcja nie jest ciągła na końcach przedziału, sieczna łącząca punkty na wykresie funkcji odpowiadające końcom tego przedziału nie będzie miała nic wspólnego ze stycznymi do wykresu funkcji wewnątrz przedziału.
W zestawie przykładów 1 zbadamy, czy do funkcji można zastosować na różnych przedziałach twierdzenie Lagrange'a.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Uwaga: Gdy twierdzenia Lagrange'a nie da się zastosować, jedyne co można powiedzieć to tyle, że nie mamy pewności, czy wniosek jest prawdziwy. Nie oznacza to, że teza nie jest prawdziwa.
Innymi słowy, może się zdarzyć i tak, że styczna będzie równoległa do siecznej, choć założenie twierdzenia Lagrange'a nie będzie spełnione. Nie mamy jedynie pewności, że teza jest prawdziwa, gdy warunki twierdzenia Lagrange'a nie zachodzą.
Na przykład w wypadku ostatnio rozważanej funkcji nie możemy zastosować twierdzenia Lagrange'a, a mimo to istnieją w przedziale dwa punkty, dla których wystawione w tych punktach styczne są równoległe do siecznej przechodzącej przez punkty o argumentach w końcach tego przedziału.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Częsty błąd: nie zauważenie, że warunki są spełnione
Rozważmy na przykład zadanie 3. Zazwyczaj oczekujemy, że warunki , jakie muszą być spełnione byśmy mogli zastosować twierdzenie Lagrange'a będą wyglądały następująco:
jest różniczkowalna na i ciągła na . jest różniczkowalna na i ciągła w punktach i .
Nie zawsze jednak informacje o funkcji będą podane w taki akurat sposób. Na przykład, gdy jest różniczkowalna na , warunki są spełnione, bo różniczkowalność pociąga za sobą ciągłość.
Innym przykładem będzie funkcja różniczkowalna na większym przedziale, np. . Choć nic się tu nie mówi o ciągłości, z różniczkowalności funkcji na wynika jej różniczkowalność na oraz ciągłość na .
Częsty błąd: Stosowanie niewłaściwego twierdzenia o istnieniu
Jak dotąd poznaliśmy trzy różne twierdzenia o istnieniu: twierdzenie Darboux, twierdzenie Weierstrassa oraz twierdzenie Lagrange'a. Mają one podobną konstrukcję logiczną, ale zachodzą przy różnych założeniach i gwarantują istnienie różnych punktów.
- Twierdzenie Darboux zapewnia, że funkcja przybiera pewną wartość znajdującą się pomiędzy dwiema danymi wartościami
- twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie punktu, w którym funkcja osiąga maksimum lub minimum
- twierdzenie Lagrange'a zapewnia istnienie punktu, w którym pochodna funkcji przyjmuje pewną wartość
Przed zastosowaniem jednego z twierdzeń o istnieniu upewnij się najpierw, czy zrozumiałeś zadanie na tyle dobrze, by wiedzieć, które twierdzenie należy w tym wypadku zastosować.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji