Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5

Lekcja 1: Praktyczne zastosowania twierdzenia o wartości średniej

Sprawdzanie założeń twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej

Twierdzenie Lagrange'a (twierdzenie o wartości średniej) wymaga, aby funkcja była różniczkowalna. Zobaczmy, dlaczego tak jest i nauczmy się stosować to twierdzenie w konkretnych przypadkach. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej to - podobnie jak twierdzenia Darboux i Weierstrassa - twierdzenie o istnieniu. Spróbujemy teraz zrozumieć, na czym polega to twierdzenia i jak je umiejętnie stosować.

Twierdzenie Lagrange'a i jego założenia

Dla funkcji

f

różniczkowalnej na przedziale między

a

b

twierdzenie Lagrange'a gwarantuje istnienie takiego argumentu

c

leżącego w tym przedziale, dla którego

f^{'} (c)

jest równe średniemu tempu wzrostu funkcji na tym przedziale.

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Oznacza to, że na łuku będącym wykresem funkcji na tym przedziale istnieje taki punkt, że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do siecznej poprowadzonej przez przez końce łuku.

Dokładne warunki, przy których zachodzi twierdzenia Lagrange'a, to różniczkowalność

f

na przedziale otwartym

(a, b)

i jej ciągłość na przedziale domkniętym

[a, b]

. Ponieważ różniczkowalność zapewnia ciągłość, założenie to jest równoważne różniczkowalności

f

(a, b)

oraz ciągłości tej funkcji w punktach

x = a

x = b

Odwoływanie się do parametrów takich jak

a

b

oraz przedziałów otwartych i domkniętych jest ważne, jeśli chcemy zachować ścisłość matematyczną, w zasadzie jednak warunki te oznaczają tyle, że:

Aby zachodziło twierdzenie Lagrange'a funkcja musi być różniczkowalna na odpowiednim przedziale i ciągła na jego końcach.

Dlaczego ważna jest różniczkowalność na przedziale

Aby lepiej pojąć, dlaczego to założenie jest potrzebne, rozpatrzmy funkcję

f

. Ma ona ostry "dzióbek" pomiędzy

x = a

x = b

, zatem nie jest różniczkowalna na całym przedziale

(a, b)

Istotnie, funkcja ta ma tylko dwie możliwe styczne, ale żadna z nich nie jest równoległa do siecznej między

x = a

x = b

Dlaczego istotna jest ciągłość na końcach

Aby to lepiej zrozumieć, rozważmy funkcję

g

Dopóki

g

jest różniczkowalna na przedziale

(a, b)

i ciągła w punktach

x = a

oraz

x = b

, teza twierdzenia Lagrange'a jest spełniona.

Zmieńmy jednak do funkcję

g

tak, aby nie była ciągła w punkcie

x = b

. Innymi słowy, granica prawostronna

lim_{x \to b^{-}} g (x)

pozostaje niezmieniona, ale wartość funkcji w tym punkcie jest teraz inna.

Zauważ, że wszystkie możliwe do określenia styczne są z konieczności rosnące, podczas gdy sieczna jest funkcją malejącą. Nie istnieje zatem żadna styczna równoległa do siecznej.

W ogólnym przypadku, jeśli funkcja nie jest ciągła na końcach przedziału, sieczna łącząca punkty na wykresie funkcji odpowiadające końcom tego przedziału nie będzie miała nic wspólnego ze stycznymi do wykresu funkcji wewnątrz przedziału.

W zestawie przykładów 1 zbadamy, czy do funkcji

h

można zastosować na różnych przedziałach twierdzenie Lagrange'a.

Zadanie 1.A

Czy twierdzenie Lagrange'a zachodzi dla $h$ ‍ na przedziale $[- 5, - 1]$ ‍?

Zadanie 2

Wykres funkcji

f

ma pionową styczną w punkcie o odciętej

x = 2

Czy twierdzenie Lagrange'a zachodzi dla $f$ ‍ na przedziale $[- 1, 5]$ ‍?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Uwaga: Gdy twierdzenia Lagrange'a nie da się zastosować, jedyne co można powiedzieć to tyle, że nie mamy pewności, czy wniosek jest prawdziwy. Nie oznacza to, że teza nie jest prawdziwa.

Innymi słowy, może się zdarzyć i tak, że styczna będzie równoległa do siecznej, choć założenie twierdzenia Lagrange'a nie będzie spełnione. Nie mamy jedynie pewności, że teza jest prawdziwa, gdy warunki twierdzenia Lagrange'a nie zachodzą.

Na przykład w wypadku ostatnio rozważanej funkcji

f

nie możemy zastosować twierdzenia Lagrange'a, a mimo to istnieją w przedziale

[- 1, 5]

dwa punkty, dla których wystawione w tych punktach styczne są równoległe do siecznej przechodzącej przez punkty o argumentach w końcach tego przedziału.

Zadanie 3

Poniższa tabelka podaje wartości funkcji

h

$x$ ‍	$3$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍	$11$ ‍
$h (x)$ ‍	$1$ ‍	$5$ ‍	$- 2$ ‍	$- 6$ ‍

Kuba stwierdził, że skoro

\frac{h (7) - h (3)}{7 - 3} = 1

, zatem musi istnieć taki argument

c

z przedziału

[3, 7]

, dla którego zachodzi

h^{'} (c) = 1

Dla którego z poniższych założeń stwierdzenie Kuby jest prawdziwe?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty błąd: nie zauważenie, że warunki są spełnione

Rozważmy na przykład zadanie 3. Zazwyczaj oczekujemy, że warunki , jakie muszą być spełnione byśmy mogli zastosować twierdzenie Lagrange'a będą wyglądały następująco:

$h$ ‍ jest różniczkowalna na $(3, 7)$ ‍ i ciągła na $[3, 7]$ ‍.
$h$ ‍ jest różniczkowalna na $(3, 7)$ ‍ i ciągła w punktach $x = 3$ ‍ i $x = 7$ ‍.

Nie zawsze jednak informacje o funkcji będą podane w taki akurat sposób. Na przykład, gdy

h

jest różniczkowalna na

[3, 7]

, warunki są spełnione, bo różniczkowalność pociąga za sobą ciągłość.

Innym przykładem będzie funkcja

h

różniczkowalna na większym przedziale, np.

(2, 8)

. Choć nic się tu nie mówi o ciągłości, z różniczkowalności funkcji na

(2, 8)

wynika jej różniczkowalność na

(3, 7)

oraz ciągłość na

[3, 7]

Zadanie 4

f

jest różniczkowalna, ponadto

f (1) = - 2

oraz

f (5) = 2

Dopasuj właściwy wniosek do odpowiedniego twierdzenia o istnieniu.

1

Częsty błąd: Stosowanie niewłaściwego twierdzenia o istnieniu

Jak dotąd poznaliśmy trzy różne twierdzenia o istnieniu: twierdzenie Darboux, twierdzenie Weierstrassa oraz twierdzenie Lagrange'a. Mają one podobną konstrukcję logiczną, ale zachodzą przy różnych założeniach i gwarantują istnienie różnych punktów.

Twierdzenie Darboux zapewnia, że funkcja przybiera pewną wartość znajdującą się pomiędzy dwiema danymi wartościami
twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie punktu, w którym funkcja osiąga maksimum lub minimum
twierdzenie Lagrange'a zapewnia istnienie punktu, w którym pochodna funkcji przyjmuje pewną wartość

Przed zastosowaniem jednego z twierdzeń o istnieniu upewnij się najpierw, czy zrozumiałeś zadanie na tyle dobrze, by wiedzieć, które twierdzenie należy w tym wypadku zastosować.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.