If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Sprawdzanie założeń twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej

Twierdzenie Lagrange'a (twierdzenie o wartości średniej) wymaga, aby funkcja była różniczkowalna. Zobaczmy, dlaczego tak jest i nauczmy się stosować to twierdzenie w konkretnych przypadkach. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej to - podobnie jak twierdzenia Darboux i Weierstrassa - twierdzenie o istnieniu. Spróbujemy teraz zrozumieć, na czym polega to twierdzenia i jak je umiejętnie stosować.

Twierdzenie Lagrange'a i jego założenia

Dla funkcji f różniczkowalnej na przedziale między a a b twierdzenie Lagrange'a gwarantuje istnienie takiego argumentu c leżącego w tym przedziale, dla którego f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis jest równe średniemu tempu wzrostu funkcji na tym przedziale.
f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, start fraction, f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, b, minus, a, end fraction
Oznacza to, że na łuku będącym wykresem funkcji na tym przedziale istnieje taki punkt, że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do siecznej poprowadzonej przez przez końce łuku.
Dokładne warunki, przy których zachodzi twierdzenia Lagrange'a, to różniczkowalność f na przedziale otwartym left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis i jej ciągłość na przedziale domkniętym open bracket, a, comma, b, close bracket. Ponieważ różniczkowalność zapewnia ciągłość, założenie to jest równoważne różniczkowalności f na left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis oraz ciągłości tej funkcji w punktach x, equals, a i x, equals, b.
Odwoływanie się do parametrów takich jak a i b oraz przedziałów otwartych i domkniętych jest ważne, jeśli chcemy zachować ścisłość matematyczną, w zasadzie jednak warunki te oznaczają tyle, że:
Aby zachodziło twierdzenie Lagrange'a funkcja musi być różniczkowalna na odpowiednim przedziale i ciągła na jego końcach.

Dlaczego ważna jest różniczkowalność na przedziale

Aby lepiej pojąć, dlaczego to założenie jest potrzebne, rozpatrzmy funkcję f. Ma ona ostry "dzióbek" pomiędzy x, equals, a i x, equals, b, zatem nie jest różniczkowalna na całym przedziale left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis.
Istotnie, funkcja ta ma tylko dwie możliwe styczne, ale żadna z nich nie jest równoległa do siecznej między x, equals, a i x, equals, b.

Dlaczego istotna jest ciągłość na końcach

Aby to lepiej zrozumieć, rozważmy funkcję g.
Dopóki g jest różniczkowalna na przedziale left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis i ciągła w punktach x, equals, a oraz x, equals, b, teza twierdzenia Lagrange'a jest spełniona.
Zmieńmy jednak do funkcję g tak, aby nie była ciągła w punkcie x, equals, b. Innymi słowy, granica prawostronna limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis pozostaje niezmieniona, ale wartość funkcji w tym punkcie jest teraz inna.
Zauważ, że wszystkie możliwe do określenia styczne są z konieczności rosnące, podczas gdy sieczna jest funkcją malejącą. Nie istnieje zatem żadna styczna równoległa do siecznej.
W ogólnym przypadku, jeśli funkcja nie jest ciągła na końcach przedziału, sieczna łącząca punkty na wykresie funkcji odpowiadające końcom tego przedziału nie będzie miała nic wspólnego ze stycznymi do wykresu funkcji wewnątrz przedziału.
W zestawie przykładów 1 zbadamy, czy do funkcji h można zastosować na różnych przedziałach twierdzenie Lagrange'a.
Zadanie 1.A
Czy twierdzenie Lagrange'a zachodzi dla h na przedziale open bracket, minus, 5, comma, minus, 1, close bracket?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
Wykres funkcji f ma pionową styczną w punkcie o odciętej x, equals, 2.
Czy twierdzenie Lagrange'a zachodzi dla f na przedziale open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Uwaga: Gdy twierdzenia Lagrange'a nie da się zastosować, jedyne co można powiedzieć to tyle, że nie mamy pewności, czy wniosek jest prawdziwy. Nie oznacza to, że teza nie jest prawdziwa.
Innymi słowy, może się zdarzyć i tak, że styczna będzie równoległa do siecznej, choć założenie twierdzenia Lagrange'a nie będzie spełnione. Nie mamy jedynie pewności, że teza jest prawdziwa, gdy warunki twierdzenia Lagrange'a nie zachodzą.
Na przykład w wypadku ostatnio rozważanej funkcji f nie możemy zastosować twierdzenia Lagrange'a, a mimo to istnieją w przedziale open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket dwa punkty, dla których wystawione w tych punktach styczne są równoległe do siecznej przechodzącej przez punkty o argumentach w końcach tego przedziału.
Zadanie 3
Poniższa tabelka podaje wartości funkcji h:
x371011
h, left parenthesis, x, right parenthesis15minus, 2minus, 6
Kuba stwierdził, że skoro start fraction, h, left parenthesis, 7, right parenthesis, minus, h, left parenthesis, 3, right parenthesis, divided by, 7, minus, 3, end fraction, equals, 1, zatem musi istnieć taki argument c z przedziału open bracket, 3, comma, 7, close bracket , dla którego zachodzi h, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 1.
Dla którego z poniższych założeń stwierdzenie Kuby jest prawdziwe?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty błąd: nie zauważenie, że warunki są spełnione

Rozważmy na przykład zadanie 3. Zazwyczaj oczekujemy, że warunki , jakie muszą być spełnione byśmy mogli zastosować twierdzenie Lagrange'a będą wyglądały następująco:
  • h jest różniczkowalna na left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis i ciągła na open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
  • h jest różniczkowalna na left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis i ciągła w punktach x, equals, 3 i x, equals, 7.
Nie zawsze jednak informacje o funkcji będą podane w taki akurat sposób. Na przykład, gdy h jest różniczkowalna na open bracket, 3, comma, 7, close bracket, warunki są spełnione, bo różniczkowalność pociąga za sobą ciągłość.
Innym przykładem będzie funkcja h różniczkowalna na większym przedziale, np. left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis. Choć nic się tu nie mówi o ciągłości, z różniczkowalności funkcji na left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis wynika jej różniczkowalność na left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis oraz ciągłość na open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
Zadanie 4
f jest różniczkowalna, ponadto f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 2 oraz f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2.
Dopasuj właściwy wniosek do odpowiedniego twierdzenia o istnieniu.

Częsty błąd: Stosowanie niewłaściwego twierdzenia o istnieniu

Jak dotąd poznaliśmy trzy różne twierdzenia o istnieniu: twierdzenie Darboux, twierdzenie Weierstrassa oraz twierdzenie Lagrange'a. Mają one podobną konstrukcję logiczną, ale zachodzą przy różnych założeniach i gwarantują istnienie różnych punktów.
  • Twierdzenie Darboux zapewnia, że funkcja przybiera pewną wartość znajdującą się pomiędzy dwiema danymi wartościami
  • twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie punktu, w którym funkcja osiąga maksimum lub minimum
  • twierdzenie Lagrange'a zapewnia istnienie punktu, w którym pochodna funkcji przyjmuje pewną wartość
Przed zastosowaniem jednego z twierdzeń o istnieniu upewnij się najpierw, czy zrozumiałeś zadanie na tyle dobrze, by wiedzieć, które twierdzenie należy w tym wypadku zastosować.