If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:10:23

Transkrypcja filmu video

A więc.. tam gdzie skończyliśmy, zadałem wam pytanie... te typy równań są całkiem oczywiste. Kiedy mamy dwa rzeczywiste pierwiastki, to jest ogólne rozwiązanie. I jeśli mamy jakieś warunki początkowe, można wyznaczyć c1 i c2. Ale pytanie, które teraz zadaję, to: co się stanie kiedy mamy dwa zespolone pierwiastki? Lub zasadniczo, kiedy próbujemy rozwiązać równanie charakterystyczne? Kiedy próbujemy rozwiązać to jako funkcję kwadratową? B do kwadratu minus 4 razy AC, otrzymujemy coś ujemnego. I otrzymujemy dwa pierwiastki będące sprzężonymi liczbami zespolonymi. I powiedzmy, że nasze dwa pierwiastki to lambda plus lub minus miu i. I właśnie przerobiliśmy kawał algebry. Powiedzieliśmy, że skoro to są pierwiastki i jeśli wstawimy je z powrotem do formuły na rozwiązanie ogólne, dostajemy to wszystko. I nadal upraszczaliśmy, aż dotarliśmy tutaj, gdzie ustaliliśmy, że y jest równe e do potęgi lambda x, pluc c1, etc, etc... I zapytaliśmy czy możemy to uprościć jeszcze bardziej? I tutaj właśnie wyciągnęliśmy równanie Eulera, lub formułę Eulera, albo definicję Eulera, w zależności czego chcemy, czego zawsze się obawiam, kiedy to widzę lub tego używam. Ale już dużo o tym mówiliśmy na filmach z rachunku różniczkowego. Moglibyśmy tego użyć, żeby dalej to uprościć, więc napisałem e do potęgi miu xi jako cosinus mu x plus i sinus mu x. I napisałem e do potęgi minus miu xi to cosinus minus miu x plus i sinus minus miu x. I moglibyśmy wykorzystać odrobinę to, co wiemy o trygonometrii. Cosinus z minus teta jest równy cosinusowi teta. I wiemy także, że sinus z minus teta jest równy minus sinus teta. Użyjmy tych równości, żeby to uprościć trochę bardziej. Czyli otrzymujemy, że y jest równe e do potęgi lambda x razy... i moglibyśmy właściwie włączyć też c1... czyli razy c1 cosinus miu x, plus i razy c1 sinus miu x, plus... wszystko to w tym nawiasie... plus c2... zamiast cosinusa z minus x, znamy tę tożsamość. Więc możemy równie dobrze to po prostu zapisać jako cosinus miu x, ponieważ cosinus z minus x to to samo, co cosinus x. Pluc i razy c2... sinus z minus miux to to samo, co minus sinus x. Czyli właściwie, weźmy to... wyciągnijmy stąd minus sinus, minus sinus miu x. I spójrzmy, wygląda na to, że dochodzimy do miejsca, w którym możemy to uprościć jeszcze bardziej. Możemy dodać dwa wyrażenia z cosinusem. Tak więc dostajemy ogólne rozwiązanie. Wiem, że to zadanie wymaga wielkiej algebraicznej wytrwałości, ale jeśli tylko nie porobi się błędów z niedbałości, okaże się to warte wysiłki, ponieważ zobaczymy skąd te rzeczy się biorą. Czyli bierzemy y... rozwiązanie ogólne to y równe e do potęgi lambda x, razy... dodajmy dwa wyrażania z cosinusem miu x... czyli to jest c1 plus c2 razy cosinus miu x. I dodajmy dwa wyrażenia z sinusem miu x. Czyli plus i... możemy to nazwać c1i... chodzi o to... minus c2i razy sinus miu x. I już prawie skończyliśmy upraszczanie. Ostatnia rzecz, którą możemy uprościć to... dobrze wiadomo, że c1 i c2 to arbitralne stałe... więc zdefiniujmy to jako jakąś inną stałą. Nie wiem, nazwijmy ją... nazwę ją po prostu c3, żeby nie wprowadzać zamieszania używając c1 dwukrotnie, nazwę to c3. A teraz to może być dla ciebie niewielki wysiłek, ale jeśli się zastanowisz, to naprawdę ma sens. To jest wciąż tylko stała, prawda? Szczególnie jeśli powiem, wiesz co, nie ograniczam stałych do liczb rzeczywistych. c może być liczbą urojoną. Jeśli c jest liczbą urojoną, albo jakimś rodzajem liczby zespolonej, nie wiemy nawet czy to jest koniecznie liczba urojona. I nie zamierzamy zakładać o tym czegokolwiek. Powiedzmy tylko, że to jest jakaś inna arbitralna stała. Nazwijmy ją c4 i będziemy się nią martwić, kiedy dostaniemy warunki początkowe. Ale co to nam daje, jeśli zrobimy to uproszczenie, właściwe otrzymujemy od razu ogólne rozwiązanie naszego równania różniczkowego, gdzie równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone. I teraz wezmę nowy kolor. To jest y jest równe e do potęgi lambda x, razy jakaś stała... nazwę ją c3. To mogłoby być c1, to mogłoby być c100, cokolwiek. Jakaś stała razy cosinus miu x, plus jakaś inna stała... i nazwałem ją c4, to nie musi być c4, ja tylko chciałem uniknąć pomylenia jej z tymi... plus jakaś inna stała razy sinus miu x. Są dwie rzeczy, które chcę, byś sobie uświadomił. Pierwsza to to, że nie zrobiliśmy niczego innego. Koniec końców, po prostu wzięliśmy dwa pierwiastki i podstawiliśmy je z powrotem to tych równań r1 i r2. Różnicą jest to, że po prostu wciąż to upraszczaliśmy algebraicznie aż pozbyliśmy się i. To wszystko, co zrobiliśmy. Tutaj naprawdę nie było niczego nowego poza odrobiną algebry i zastosowaniem formuły Eulera. Ale kiedy r1 i r2 zawierały liczby zespolone, dotarliśmy do tego uproszczenia. Tak więc w ogólności, kiedy masz równanie charakterystyczne i twoje pierwiastki wynoszą plus lub minus.... przepraszam, nie. Twoje dwa pierwiastki to lambda plus lub minus miu i, wtedy to będzie rozwiązanie ogólne. A jeśli musiałbyś to zapamiętać, chociaż wcale tego od ciebie nie chcę, powinieneś być w stanie samemu to sobie wyprowadzić. Ale to nie jest trudne... i właściwie jeśli kiedykolwiek tego zapomnisz, rozwiąż swoje charakterystyczne równanie, weź swoje liczby zespolone i podstaw je z powrotem do równania. I wtedy z liczbami rzeczywistymi, zamiast lambdy i miu, z liczbami rzeczywistymi, po prostu zrób te uproszczenia, które my zrobiliśmy. I dojdziesz do tego samego punktu. Ale jeśli podchodzisz do egzaminu i nie chcesz marnować czasu i chcesz być w stanie zrobić coś całkiem szybko, możesz po prostu zapamiętać, że jeśli mam pierwiastek zespolony, albo jeśli mam pierwiastki zespolone mojego równania charakterystycznego, lambda plus lub minus miu i, wtedy moje rozwiązanie ogóle to e do potęgi lambda x, razy jakaś stała, razy cosinus miu x, plus jakaś stała, razy sinus miu x. I zobaczmy czy możemy rozwiązać zadanie naprawdę szybko, jeśli to zawiera. Więc powiedzmy, że mam równanie różniczkowe y bis plus pierwsza pochodna plus y jest równe 0. Czyli nasze równanie charakterystyczne to r kwadrat plus r plus 1 równe 0. Skorzystajmy z formuły kwadratowej. Czyli pierwiastki będą wynosić minus B, czyli minus 1, plus lub minus pierwiastek kwadratowy z B kwadrat... B kwadrat to 1... minus 4 AC... A i C wynoszą 1... czyli to jest minus 4. Wszystko dzielimy przez 2, prawda? 2 razy A. Wszystko przez 2. Czyli pierwiastki będą wynosić minus 1 plus minus pierwiastek kwadratowy z minus 3, przez 2. Albo możemy to przepisać jako, pierwiastki są równe... r jest równe minus 1/2 plus minus... równie dobrze możemy to zapisać jako i razy pierwiastek kwadratowy z 3, albo pierwiastek kwadratowy z 3, razy i, przez 2. Możemy też zapisać to jako pierwiastek kwadratowy z 3 przez 2, razy i. Właściwie, to chyba najlepszy sposób zapisu. Po prostu wyciągasz i. I to wyciąga minus 1 i zostaje ci pierwiastek kwadratowy z 3, dzielone na 2. I to są pierwiastki. A teraz, jeśli chcemy otrzymać rozwiązanie ogólne, musimy tylko wrzucić to z powrotem tutaj. I będziemy mieli rozwiązanie ogólne. Zapiszę to tutaj. Czyli nasze rozwiązanie ogóle to y równe e do potęgi części rzeczywistej naszego zespolonego sprzężenia. Czyli e do potęgi minus 1/2 razy x, prawda? To jest nasza lambda. Razy jakaś stała... Napiszę teraz c1... c1 razy cosinus z urojonej części bez i... czyli cocinus z pierwiastka kwadratowego z 3, przez 2, razy x, plus c2 razy sinus z pierwiastka kwadratowego z 3, przez 2, razy x. Nie najgorzej. Otrzymaliśmy zespolone pierwiastki i naprawdę nie zabrało to więcej czasu niż wtedy, gdy były dwa pierwiastki rzeczywiste. Musisz sobie to uświadomić. A teraz musisz tylko znaleźć... użyj równania kwadratowego, żeby znaleźć zespolone pierwiastki równania charakterystycznego. I uświadom sobie, że to jest lambda. To minus 1/2 to lambda. I że pierwiastek kwadratowy z 3, przez 2, jest równe miu. I później podstaw z powrotem do rozwiązania, które mamy. Jak by nie było. w następnym filmiku, zrobię inne takie zadanie i będziemy mieli warunki początkowe i będziemy mogli wyznaczyć c1 i c2. Do zobaczenia w następnym filmiku. ...