Geometria CA: Wnioskowanie dedukcyjne

... Dobrze, dziś rozwiążemy kilka opublikowanych zadań (California Standards), będą to zadania z geometrii. Oto pierwsze pytanie. Jego treść brzmi: "które z poniższych sformułowań najlepiej opisuje rozumowanie dedukcyjne?" Nie jestem zwolennikiem pytania wprost o definicje na zajęciach z matematyki. Ale zróbmy to, mam nadzieję, że pomoże Wam to zrozumieć czym jest rozumowanie dedukcyjne. Jakkolwiek, uważam, że samo rozumowanie dedukcyjne jest bardziej naturalne niż definicja, którą tutaj podają. Zanim przeczytamy możliwe odpowiedzi, pozwólcie, że powiem czym ono jest. Wtedy dopasujemy do tego którąś z podanych definicji. Z rozumowaniem dedukcyjnym mamy do czynienia, gdy otrzymujemy pewne stwierdzenia, i z tych stwierdzeń dedukujemy, wyciągamy wnioski, że jakieś inne stwierdzenie musi być prawdziwe. Dla przykładu, powiedzmy, że wszyscy chłopcy są wysocy. Jeśli powiem, że wszyscy chłopcy są wysocy, oraz że Bill jest chłopcem, Bill jest chłopcem. To dwa oddzielne słowa: 'a' i 'boy'. I wtedy powiemy, OK, jeśli te dwa stwierdzenia są prawdziwe, jakie wnioski możemy z nich wyciągnąć? Wiemy, że Bill jest chłopcem i wszyscy chłopcy są wysocy. Czyli Bill też musi być wysoki. To ostatnie stwierdzenie wydedukowaliśmy na podstawie dwóch poprzednich, o których wiedzieliśmy, że są prawdziwe. To musi być prawda, jeśli dwie poprzednie informacje były prawdziwe. Czyli Bill jest wysoki. To jest rozumowanie dedukcyjne. Rozumowanie dedukcyjne. Bill jest wysoki, nie dedukcyjny. Tak czy owak, mamy pewne stwierdzenia i z nich dedukujemy inne stwierdzenia, które musza być prawdziwe przy założeniu poprzednich. Często słyszymy też o innym rozumowaniu, rozumowaniu indukcyjnym. Z nim mamy do czynienia, gdy dostajemy kilka przykładów i na ich podstawie uogólniamy. Hm... Zresztą, nie chcę wchodzić w ten temat i mieszać, bo to jest pytanie o rozumowanie dedukcyjne. Ale warto pamiętać, że uogólnianie nie zawsze jest dobre. Ale gdy widzimy kilka przykładów i wyłania się z nich jakiś wzorzec, wtedy zazwyczaj możemy wyciągnąć wnioski i dojść do uogólnienia. Na tym polega rozumowanie indukcyjne. Ale nie o to nas tutaj pytają. Sprawdźmy czy uda nam się znaleźć definicję rozumowania dedukcyjnego w sformułowaniach California Standards. (A) Wyciągnąć logiczne wnioski ze stwierdzeń, które uznajemy za prawdziwe. Tak, wygląda na to, że to dobra odpowiedź. To dokładnie to, co zrobiliśmy. Wyciągnęliśmy logiczne wnioski na podstawie stwierdzeń, o których zakładamy, że są prawdziwe, czyli tych dwóch. Zatem zaznaczmy odpowiedź A. (B) Zaakceptowanie znaczenia słowa bez definicji. No cóż, nie wiem jak to w ogóle można robić. Jak można zaakceptować znaczenie czegoś jeśli nie zostało to uprzednio zdefiniowane? A zatem, odpowiedź B jest niepoprawna. Nie sądzę, żeby to można było w ogóle nazwać. (C) Definiowanie obiektów matematycznych w taki sposób, by odpowiadały one obiektom fizycznym. Nie, to też nie ma żadnego związku z rozumowaniem dedukcyjnym. (D) Wnioskowanie jakiejś ogólnej prawdy na podstawie pewnej liczby konkretnych przykładów. To raczej definicja tego, o czym mówiłem wcześniej, rozumowania indukcyjnego. Chcą wiedzieć czym jest rozumowanie dedukcyjne, więc zaznaczam odpowiedź A. Wyciągnąć logiczne wnioski ze stwierdzeń, które uznajemy za prawdziwe. ... Następne pytanie. ... OK, pozwólcie, że skopiuję i wkleję je tutaj. ... Kopiowanie i wklejanie zadania geometrycznego jest bardzo pożyteczne, bo nie musimy rysować wszystkiego od początku. A zatem, na rysunku poniżej, kąt 1, który znajduje się tutaj... ...a ten symbol, warto to zapamiętać, oznacza przystawanie. ... Kiedy mówimy, ze dwa kąty przystają do siebie, w tym wypadku jest powiedziane, że kąt 1 przystaje do kąta 4, to mamy na myśli, że maja tę samą miarę. Jedyna różnica między przystawaniem, a byciem równym, jest taka, że kąty mogą mieć tę samą miarę, lecz być skierowane w różnych kierunkach. A ramiona kątów mogą być różnej długości. Choć ja często i w tym przypadku mówię, że kąty są równe. Ale jeśli chodzi o przystawanie, to właśnie to oznacza. To po prostu znaczy, że miary kątów są takie same. Możemy to tu narysować. Kąt 1 przystaje do kąta 4. To oznacza, że miary tych katów są równe. Nieważne czy mierzymy je w stopniach czy radianach. A teraz, do jakich wniosków mamy dojść wg autorów zadania? Które z poniższych wniosków nie są prawdziwe? Nie są prawdziwe. Nie są. (A) Katy 3 i 4 są przyległe. Co to znaczy, że są przyległe? To znaczy, że kąt 3 dodać kąt 4 daje w sumie 180 stopni. Taka jest definicja kątów przyległych. ... Przyległych. ... A teraz, kąty 3 i 4, te kąty są wierzchołkowe. Możemy się z nimi pobawić. Jeśli by wziąć te dwie proste i jakoś zmienić kąt, pod którym się przecinają, wtedy zobaczylibyśmy, że kąty 3 i 4 są kątami przystającymi. Zawsze będą miały równą miarę. Więc są równe. A jeśli kąt 4... my nie wiemy jaką ma miarę... jeśli kąt 4 ma 95 stopni, to kąt 3 także będzie miał 95 stopni. Jeśli kąt 4 ma 30 stopni, to kąt 3 także ma 30 stopni. Także mogę podać wiele przykładów takich, że ich suma nie będzie równa 180. Jedyny przypadek, w którym te kąty dawałyby w sumie 180, kąt 3 dodać kąt 4, to przypadek, gdy kąt 4 miałby 90 stopni oraz kąt 3 też miałby 90 stopni. Ale my tego nie wiemy. Jedyne co wiemy to to, że kąty 4 i 1 są równe, przynajmniej pod względem ich miary. Także od razu zaznaczyłbym A. Bo to nie musi być prawda. To byłaby prawda tylko wtedy, gdy obydwa kąty miałyby po 90 stopni. Weźmy kolejny podpunkt, (B), prosta L jest równoległa do prostej M. To prawda. Jeśli ten kąt jest równy temu kątowi... tak najlepiej o tym myśleć, że te kąty są równe... możecie obejrzeć sobie filmiki o mojej zabawie z kątami... tam się tym zajmujemy. Kąty wierzchołkowe są równe. To powinno być dla Was intuicyjnie oczywiste. Bo łatwo sobie wyobrazić, że jeśli weźmiemy te dwie proste, i jeśli byśmy zmienili kąt ich przecięcia, nieważne na jaki kąt, one zawsze będą sobie równe. Także kąt 1 przystaje do kąta 2. Zatem jeśli te dwie proste są równoległe, jeśli L i M są równoległe, to kąty 2 i 4 będą takie same. Można o tym myśleć inaczej. Jeśli kąty 4 i 1 są takie same, to 1 jest taki sam jak 2, a to z kolei oznacza, że 4 jest taki sam jak 2. A jeśli 4 i 2 są takie same, to to oznacza, ze te dwie proste są równoległe. ... Także ta odpowiedź jest bez wątpienia prawdziwa. Kąt 1 przystaje do kąta 3. Raz jeszcze, jeśli kąt 1 przystaje do kąta 4, to te dwa są przystające, i kąt 3 przystaje do kąta 4, ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Zamiast mówić przystające, będę mówił równe. Jeśli to jest równe temu, to to jest równe temu, zatem to jest równe temu. Dobrze. A teraz, ostatni podpunkt, 2 przystaje do 3. 2 przystaje do 3. Rozumując podobnie mamy, że jeśli 1 przystaje do 4, i skoro 1 i 2 są wierzchołkowe, to będzie taki sam jak 2 i 4, bo on jest wierzchołkowy z 3, przystaje do niego, czyli te wszystkie kąty muszą być takie same. Zatem kąty 2 i 3 także są przystające. Czyli wszystkie pozostałe podpunkty, B, C i D, musza być prawdziwe. Zatem ostatecznie wybieramy odpowiedź A. Następne pytanie. Następne pytanie. ... Pozwólcie, że je skopiuję i tu wkleję. OK. OK. Rozważmy poniższe rozumowania. I. Każda wielokrotność czwórki jest parzysta, 376 jest wielokrotnością czwórki. Przeto, 376 jest liczba parzystą. Zgoda. II. Liczba może być przedstawiona w postaci liczby okresowej jeśli jest rzeczywista. Pi nie może być zapisana w postaci liczby okresowej. Zatem pi nie jest rzeczywista. Które, jeśli jakiekolwiek, korzystają z rozumowania dedukcyjnego? Dobrze, pierwsze stwierdzenie, każda wielokrotność 4 jest parzysta. 376 jest wielokrotnością 4. To jest rozumowanie dedukcyjne. Bo wiemy, że każda wielokrotność 4 jest parzysta. Jeśli weźmiemy jakąkolwiek wielokrotność 4, będzie ona parzysta. 376 jest wielokrotnością 4. I dlatego musi być parzysta. To rozumowanie jest logicznie poprawne. Zatem pierwsze stwierdzenie to bez wątpienia rozumowanie dedukcyjne. Spójrzmy na stwierdzenie numer 2. Liczba może być zapisana w postaci liczby okresowej jeśli jest liczbą rzeczywistą. Zatem jeśli liczba jest rzeczywista, to można ją zapisać w postaci liczby okresowej. ...liczby okresowej... Na przykład 0,33333... To jest 1/3. Tylko to mamy na myśli mówiąc liczba okresowa. Dobrze. Zwróćmy uwagę na to stwierdzenie: liczba może być zapisana w postaci liczby okresowej jeśli jest rzeczywista. Nie jest powiedziane, że liczba okresowa musi być liczbą rzeczywistą. To jedynie oznacza, że liczba rzeczywista może być zapisana w postaci liczby okresowej. To stwierdzenie nie pozwala iść w drugą stronę. Nie jest powiedziane, że liczba okresowa zawsze da się zapisać jako liczba rzeczywista. Jest tylko powiedziane, że jeśli jest rzeczywista, to da się przedstawić w postaci liczby okresowej. W porządku. Następnie jest powiedziane, że pi nie da się zapisać w postaci liczby okresowej. PI nie da się zapisać w postaci liczby okresowej. Jeśli pi nie można przedstawić jako liczby okresowej, to czy pi jest rzeczywista? No cóż, jeśli pi byłoby rzeczywiste, jeśli pi należałoby do tego zbioru, jeśli pi byłoby rzeczywiste, to wówczas dałoby się zapisać w postaci liczby okresowej. Ale jest powiedziane, że pi nie można zapisać w postaci liczby okresowej. Przeto, pi nie może być liczbą rzeczywistą. Nie może należeć do zbioru liczb rzeczywistych. Zatem to także brzmi jak rozumowanie dedukcyjne. Czyli zarówno I. jak i II. korzystają z rozumowania dedukcyjnego. Z tego co wiem. Skończył mi się czas. Do zobaczenia w następnym filmiku. ...